Obecná topologie

Obecná topologie ( množinově teoretická topologie ) je obor topologie , který studuje koncepty spojitosti a limity v nejobecnějším smyslu.

Tradiční přístup k obecné topologii je množinově teoretický . Množina se nazývá topologický prostor , když je dána určitá rodina jejích otevřených podmnožin , která splňuje axiomy. Existuje mnoho možných způsobů, jak definovat strukturu topologického prostoru na jedné množině: od diskrétní až po nehausdorffskou antidiskrétní (triviální) topologii , slepením všech bodů dohromady.

Základní pojmy teorie množin, jako jsou množina , funkce , ordinální čísla , kardinální čísla , axiom výběru , Zornovo lemma , nejsou předmětem obecné topologie, ale jsou jí aktivně využívány. Obecná topologie zahrnuje následující sekce: vlastnosti topologických prostorů a jejich zobrazení, operace s topologickými prostory a jejich zobrazení, klasifikace topologických prostorů. Nezávislým směrem obecné topologie je teorie dimenzí .

Na rozdíl od diferenciální a algebraické topologie je obecná topologie zaměřena na studium nejobecnější formy souvislého zobrazení topologických prostorů do sebe, nikoli do prostorů vybavených složitějšími strukturami, především algebraickými .

Glosář obecné topologie zahrnuje pojmy jako sousedství , uzávěry množin (stejně jako vnitřky ), kompaktnost množin a konvergence sekvencí a filtrů . Pojem limity funkce, zavedený v obecné topologii, umožňuje další zobecnění v rámci teorie pseudotopologických prostorů .

Historie

Obecná topologie vznikla na konci 19. století a formovala se jako samostatná matematická věda na počátku 20. století . Zásadní díla patří Felixovi Hausdorffovi , Henri Poincarému , Pavlu Alexandrovovi , Pavlu Urysonovi , Leutzenu Brauerovi . Zejména byl řešen jeden z hlavních problémů obecné topologie – nalezení nezbytných a dostatečných podmínek pro metrizovatelnost topologického prostoru.

Nejrychlejší rozvoj obecné topologie jako samostatného vědního oboru nastal v polovině 20. století, na počátku 21. století jde spíše o pomocnou disciplínu, která „slouží“ mnoha oblastem matematiky: algebraická topologie , funkcionální analýza , komplexní analýza , teorie grafů .

Literatura

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Hlavní body ve vývoji topologie teorie množin
• Alexandrov P. S. Úvod do teorie množin a obecné topologie - M .: Nauka , 1977
• Archangelsky A. V., Ponomarev V. I. Základy obecné topologie v problémech a cvičeních - M .: Nauka , 1974
• Bourbaki N. Základy matematiky. Obecná topologie. Základní struktury - M .: Nauka , 1968
• Kelly J. L. Obecná topologie -M.:Nauka, 1968
• Engelking R. Obecná topologie - M .: Mir, 1986
• Viro O. Ya, Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementární topologie . Tutoriál v úlohách (rus., angl.)
• Sosinsky A. B. Úvod do topologie - M. : MTsNMO, 2020