Reflexní podkategorie

V matematice se o podkategorii A kategorie B říká , že je reflektivní , pokud má funktor vložení A do B levý adjunkt . Tento doplňkový funktor se často nazývá reflektor . Duální definice je A koreflektivní, má - li funktor vložení pravé adjunkt.

Explicitní definice

O podkategorii A kategorie B se říká , že je reflektivní v B , pokud pro každý objekt B kategorie B existuje objekt kategorie A a B - morfismus tak, že pro jakýkoli B -morfismus existuje jedinečný A -morfismus. takové, že : $A_{B}$ $r_{B}\dvojtečka B\to A_{B}$ $f\colon B\to A$ ${\overline {f}}\dvojtečka A_{B}\to A$ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$

Dvojice se nazývá A-reflektor B . Morfismus se nazývá A-odrážející šipka. $(A_{B},r_{B})$ $r_{B}$

Příklady

Algebra

Kategorie abelovských skupin Ab je reflektivní podkategorií kategorie skupin Grp . Reflektor je funktor, který posílá každou skupinu k její abelianizaci . Kategorie skupin je zase reflektující podkategorií kategorie pologrup s dělením.
Kategorie polí je reflektivní podkategorií kategorie integrálních kruhů (s injektivními kruhovými homomorfismy). Reflektor je funktor, který posílá prstenec do jeho podílového pole .
Kategorie abelovských torzních skupin je koreflektující podkategorií kategorie abelovských skupin . Reflektor vysílá abelovskou skupinu do své torzní podskupiny .
Kategorie vektorových prostorů nad daným polem k je reflektivní podkategorií kategorie množin. Reflektor je funktor, který posílá množinu B do volného vektorového prostoru generovaného prvky B nad k .

Topologie

Kolmogorovovy prostory (T 0 -prostory) jsou reflektivní podkategorií Top , kategorie topologických prostorů , a Kolmogorovův faktor je reflektor.
Kategorie kompaktních Hausdorffových prostorů je reflektivní podkategorií topologických prostorů s Tichonovovým axiomem. Reflektor - Stone-Cech zhutnění .
Kategorie úplných metrických prostorů s jednotně spojitým zobrazením je reflektující kompletní podkategorií kategorie metrických prostorů. Reflektor je dokončením metrického prostoru .

Funkční analýza

Kategorie Banachových prostorů je reflektivní úplnou podkategorií kategorie normovaných prostorů a ohraničených lineárních operátorů . Reflektor - doplňování dle normy.

Poznámky

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstraktní a konkrétní kategorie (neopr.) . — New York: John Wiley & Sons , 1990.
Peter Freyd, Andre Ščedrov. Kategorie, Alegorie (neurčité) . - North-Holland , 1990. - (Mathematical Library Vol 39). - ISBN 978-0-444-70368-2 .
Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (neopr.) . — Berlín: Springer , 1968.
Mark V. Lawson. Inverzní pologrupy: teorie parciálních symetrií . - World Scientific , 1998. - ISBN 978-981-02-3316-7 .