Povrch Bolza

Bolzova plocha ( Bolzova křivka ) je kompaktní Riemannova plocha rodu 2 s maximálním možným řádem skupiny konformního automorfismu pro tento řád, konkrétně s grupou GL 2 (3) řádu 48. Kompletní grupa automorfismu (včetně odrazů ) je polopřímý součin řádu 96. Afinní model povrchu Bolzy lze získat jako místo bodů splňujících rovnici ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2))$

y^{2}=x^{5}-x

v . Bolzův povrch je hladké prodloužení afinní křivky. Ze všech hyperbolických ploch rodu 2 má Bolzova plocha nejvyšší systolu . Jako hypereliptický Riemannův povrch vzniká jako rozvětvený dvojitý obal Riemannovy koule s body větvení v šesti vrcholech pravidelného osmistěnu do koule, jak je jasně vidět z výše uvedeného vzorce. ${\mathbb C}^{2}$

Trojúhelníkový povrch

Bolzova plocha je (2,3,8)-trojúhelníková plocha ( Schwarzův trojúhelník ): Fuchsova grupa , která definuje Bolzovu plochu, je podgrupou grupy tvořené odrazy vzhledem ke stranám hyperbolického lomeného trojúhelníku . Tato podskupina je podskupinou s indexem reflexní skupiny, která se skládá ze součinu sudého počtu odrazů a která má abstraktní reprezentaci z hlediska generátorů a vztahů i . Fuchsova grupa , která definuje Bolzovu plochu, je také podgrupou (3,3,4) trojúhelníkové grupy , což je podgrupa s indexem 2 trojúhelníkové grupy (2,3,8). Skupina (2,3,8) nemá implementaci kvaternionové algebry , ale skupina (3,3,4) ano. ${\tfrac {\pi }{2)),{\tfrac {\pi }{3)),{\tfrac {\pi }{8))$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8))$ $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8))$ $\Gamma$

Při působení Poincarého disku je základní oblastí Bolzova povrchu pravidelný osmiúhelník s úhly v bodech. $\Gamma$ ${\tfrac {\pi }{4}}$

p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi } {4}}\right)}

kde . Protilehlé strany oktagonu jsou identifikovány při akci fuchsovské skupiny. Matice slouží jako generátory: $k=0,\ldots ,7$

g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{ 4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix} }

kde a , spolu s jejich převrácenými hodnotami. Generátory splňují vztah: $\alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}$ $k=0,\ldots ,3$

g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1 }g_{3}=1.

Viz také

Hyperbolická křivka
Kleinův kvartik
povrch Macbeath

Literatura

Oskar Bolza. O binární sextice s lineárními transformacemi na sebe // American Journal of Mathematics. - 1887. - T. 10 , čís. 1 . — S. 47–70 . - doi : 10.2307/2369402 . — .
Katz M., Sabourau S. Optimální systolická nerovnost pro metriky CAT(0) v rodu dva // Pacific J. Math. . - 2006. - T. 227 , č. 1 . — S. 95–107 . - doi : 10.2140/pjm.2006.227.95 . — arXiv : math.DG/0501017 .
Maclachlan C., Reid A. Aritmetika hyperbolických 3-manifoldů. - New York: Springer, 2003. - T. 219. - (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4 .

Algebraické křivky

Racionální
křivky

Kuželosečka definovaná pěti body
Projektivní linie
Racionální normální křivka
Riemannova koule
Nerovinná křivka třetího řádu

Eliptické
křivky

Analytická teorie	Eliptická funkce Eliptický integrál Základní dvojice období modulární forma
Aritmetická teorie	Počítání bodů na eliptické křivce Dělicí polynomy Hasseova věta o eliptických křivkách Mazurova torzní věta Modulární eliptická křivka Věta o modularitě Mordellova-Weilova věta Nagellova-Lutzova věta Nadsingulární eliptická křivka Shufův algoritmus Shoof-Elkis-Atkinův algoritmus
Aplikace	Eliptická kryptografie Test primality s eliptickými křivkami

vyšší
rod

De Francisova věta
Faltingsova věta
Hurwitzova věta o automorfismu
Povrch Hurwitz
hyperbolická křivka

Ploché
křivky

Riemannovy
povrchy

Belyho teorém
Povrch Bolz
Kompaktní riemannovská drsnost
Dětská kresba
Abelovský diferenciál
Klein quartic
Riemannova věta o existenci
Riemann-Rochův teorém
Teichmüllerův prostor
Torelliho teorém

Budovy

Duální křivka
Polární a polární
Hladké pokračování

Struktura
křivky

Dělitelé křivek	Mapování Abel–Jacobi Teorie Brill-Noether Cliffordova věta o speciálních dělitelích Gonalita adhebraické křivky Odrůda Jacobi Riemann-Rochův teorém Weierstrassův bod Weylův zákon reciprocity
Moduly	Formule ELSV Gromov-Wittenův invariant Hodgeův svazek Riemannovy povrchové moduly stabilní křivka
Morfismy	Hasse-Wittova matice Riemann-Hurwitzův vzorec Prima rozdělovač Weberova věta
Singulární body	Izolovaný bod křivky dvojitý bod Casp delta invariantní Samodotykový bod
Vektorové svazky	Birkhoff-Grothendieckův teorém Stabilní vektorový balíček Vektorové svazky algebraických křivek