Konstantní Catalana

Katalánská konstanta je číslo nalezené v různých aplikacích matematiky - zejména v kombinatorice . Nejčastěji se označuje písmenem G , méně často - K nebo C. Lze jej definovat jako součet nekonečné řady střídavých znamének :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\tečky

Jeho číselná hodnota je přibližně [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (sekvence A006752 v OEIS )

Není známo, zda G je racionální nebo iracionální číslo.

Konstanta Catalana byla pojmenována po belgickém matematikovi Eugène Charles Catalan ( francouzsky: Eugène Charles Catalan ).

Vztah k jiným funkcím

Katalánská konstanta je speciální případ Dirichletovy beta funkce :

G=\beta (2).

Odpovídá také konkrétní hodnotě Clausenovy funkce , která souvisí s imaginární částí dilogaritmu

G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ right)=\jméno operátora {Im} {\big (}\jméno operátora {Li} _{2}(i){\big )}.

Kromě toho je spojena s hodnotami trigama funkce (zvláštní případ funkce polygama ) zlomkových argumentů

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

tak

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\right)\right].

Simon Pluff našel nekonečné množství identit mezi trigamma funkcíakatalánskou konstantou G . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

Katalánskou konstantu lze také vyjádřit jako dílčí hodnoty Barnesovy G funkce a gama funkce :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)))G({\tfrac {7}{8)))}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8)))}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8 ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\right)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\vpravo).

Integrální reprezentace

Níže jsou uvedeny některé integrální reprezentace katalánské konstanty G z hlediska integrálů elementárních funkcí :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2))}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Může být také reprezentován integrálem úplného eliptického integrálu prvního druhu K( x ):

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Rychlé konvergentní řady

Následující vzorce obsahují rychle konvergentní řady a jsou užitečné pro numerické výpočty:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n))}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right).$

Teoretické zdůvodnění pro použití tohoto typu řad uvedl Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar pro první vzorec [2] a David J. Broadhurst pro druhý vzorec [3] . Algoritmy pro rychlý výpočet katalánské konstanty sestrojil E. A. Karatsuba [4] [5] .

Pokračovací zlomky

Pokračující zlomek katalánské konstanty (sekvence A014538 v OEIS ) je následující:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\tečky ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

Jsou známy následující zobecněné spojité zlomky pro katalánskou konstantu:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\tečky +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots ))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\dots }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Výpočet desetinných číslic

Počet známých platných číslic katalánské konstanty G se v posledních desetiletích výrazně zvýšil, a to jak díky zvýšenému výkonu počítače, tak díky vylepšeným algoritmům [7] .

Počet známých platných číslic katalánské konstanty G

datum	Počet platných číslic	Autoři výpočtu
1865	čtrnáct	Eugene Charles Catalan
1877	dvacet	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Greg J. Poplatek
1996	50 000	Greg J. Poplatek
1996, 14. srpna	100 000	Greg J. Fee a Simon Plouff
1996, 29. září	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrik Demichel
1998, 4. ledna	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon a Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon a Pascal Sebah
říjen 2006	5 000 000 000	Shigeru Kondo a Steve Pagliarulo [8]
Srpen 2008	10 000 000 000	Shigeru Kondo a Steve Pagliarulo [9]
31. ledna 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]
16. dubna 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan [10]

Viz také

Poznámky

↑ Katalánská konstanta na 1 500 000 míst (HTML). gutenberg.org. Získáno 5. února 2011. Archivováno z originálu 24. září 2009. (neurčitý)
↑ B. C. Berndt, Ramanujanův zápisník, I. část, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, „ Polylogaritmické žebříky, hypergeometrické řady a desetimiliontá číslice ζ(3) a ζ(5) Archivováno 13. července 2019 na Wayback Machine “, (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Rychlý výpočet transcendentálních funkcí // Problémy přenosu informací. - 1991. - T. 27 , č. 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Rychlý výpočet některých speciálních integrálů matematické fyziky. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; str. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Matematické konstanty 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Archived 15. ledna 2011 na Wayback Machine
↑ Web Shigeru Kondo Archivováno 11. února 2008.
↑ Konstanty a záznamy výpočtu . Získáno 6. února 2011. Archivováno z originálu 15. ledna 2011. (neurčitý)
↑ 12 Velké výpočty . Získáno 6. února 2011. Archivováno z originálu 9. prosince 2009. (neurčitý)

Odkazy

Victor Adamchik, 33 zastoupení pro katalánskou konstantu
Viktor Adamčík. Určitá řada spojená s katalánskou konstantou // Zeitschr . F. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): časopis. - 2002. - Sv. 21 , č. 3 . - str. 1-10 .
Simon Plouffe, Několik identit (III) s Catalan Archived 20. dubna 2009 na Wayback Machine , (1993)
Simon Plouffe, Několik identit s katalánskou konstantou a Pi² Archivováno 21. dubna 2009 na Wayback Machine , (1999)
Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Katalánská konstanta: Zobecněné mocninné řady ve Wolframových funkcích
Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujanův vzorec) (1996)
David M. Bradley. Třída vzorců zrychlení řady pro katalánskou konstantu // The Ramanujan Journal : journal. - 1999. - Sv. 3 , ne. 2 . - S. 159-173 . - doi : 10.1023/A:1006945407723 .
David M. Bradley (2007), Třída vzorců sériového zrychlení pro katalánskou konstantu, arΧiv : 0706.0356 .

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka