Hilbertova transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. listopadu 2019; kontroly vyžadují 9 úprav .

Hilbertova transformace v matematice a zpracování signálu je lineární operátor , který mapuje každou funkci reálné proměnné na funkci ve stejné doméně konvolucí původní funkce s funkcí . Ve fyzice jsou tyto vztahy známé jako Kramers-Kronigovy vztahy , které dávají do souvislosti imaginární a skutečné části komplexní odezvové funkce systému. $u(t)$ $H(u)(t)$ $1/(\pi t)$

Definice

Hilbertova transformace je definována následovně (zde vp znamená hlavní hodnotu Cauchyho nevlastního integrálu ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\jméno operátora {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

nebo přesněji:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ limity _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Vlastnosti

Výsledkem dvojitého použití Hilbertovy transformace je původní funkce s opačným znaménkem:

H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),

za předpokladu, že existují obě transformace.

Hilbertova transformace dává funkci ortogonální k funkci [1] . ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )))$ $u(t)$

Vztah s Fourierovou transformací

Hilbertova transformace je multiplikátor ve spektrální doméně.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\jméno operátora {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega ),

kde je varianta přímé Fourierovy transformace bez normalizačního faktoru. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Reverzní transformace

H^{-1}=-H.

Některé Hilbertovy transformace

V následující tabulce je parametr frekvence reálné číslo. $\omega$

Signál $u(t)\,$	Hilbertova transformace $H(u)(t)$
konstantní	0
$\sin \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin \omega t$
${\displaystyle e^{i\omega t))$	$\operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t\over t^{2}+1$
$e^{-t^{2))$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ ( F ( t ) je Dawsonův integrál )
Sinc ${\frac {\sin t}{t))$	${\frac {1-\cos t}{t))$
Charakteristická funkce nad segmentem [ a , b ] $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Obdélníková funkce (zvláštní případ předchozí) $\sqcap(t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
delta funkce $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$

Geometrický smysl

Pro -periodické funkce, tj. definované na jednotkové kružnici, má Hilbertova transformace interpretaci z hlediska geometrie nekonečně-dimenzionálních homogenních prostorů . Skupina orientaci zachovávajících difeomorfismů kružnice má totiž kvocientový prostor vzhledem k podgrupě tvořené rotacemi (tj. orientaci zachovávající izometrie kružnice). Nazývá se Kirillov -Yurievův prostor a má homogenní komplexní strukturu. Přidruženým tenzorem je Hilbertova transformace. Prostor tečny ke Kirillov-Yur'evovu prostoru je skutečně podílem algebry vektorových polí na kružnici s ohledem na konstantní vektorová pole. Svazek tečny ke kružnici je triviální, takže vektorová pole lze identifikovat s -periodickými funkcemi, v takovém případě se konstantní vektorová pole stanou konstantami. Na kvocientu funkcí na kruhu v konstantách se Hilbertova transformace skutečně chová jako operátor komplexní struktury (tj. operátor na druhou ); jeho vlastním podprostorem pro vlastní hodnotu (co se v Hodgeově teorii nazývá podprostor ) je Hardyho prostor — hraniční hodnoty spojitých funkcí na jednotkovém disku, holomorfní na jeho vnitřku (jinými slovy, -periodické funkce, jejichž všechny nenulové Fourierovy harmonické mají kladná čísla). $2\pi$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Id}$ ${\sqrt {-1}}$ $(1,0)$ $2\pi$

Kirillov-Yur'evův prostor připouští svazek přes jiný nekonečně-rozměrný homogenní prostor , faktor skupiny difeomorfismu s ohledem na hraniční hodnoty Möbiovy transformace (lineárně-frakční) diskových transformací. Je snadné vidět, že vlákna tohoto svazku jsou homogenní prostory biholomorfní k jednotkovým diskům. Tento svazek popularizoval A. G. Sergeev . $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

Můžete pracovat i obráceně. Dalším známým příkladem kruhového svazku, jehož základna má přirozenou komplexní strukturu, je Hopfův svazek . Kužel nad koulí lze identifikovat s komplexním vektorovým prostorem , ze kterého byla vyhozena nula. Podobně lze grupu rozšířit o grupu (takové rozšíření je algebraickým analogem obnovy kužele) tak, že výsledná grupa bude mít strukturu nekonečněrozměrné komplexní Lieovy grupy. Na úrovni Lieových algeber je toto rozšíření dáno Gelfand - Fuchsovým kocyklem , který je z hlediska funkcí na kružnici zapsán jako . Odpovídající skupina se nazývá skupina Virasora (někdy Botta -Virasora) a má zásadní význam v teorii strun a dalších odvětvích konformní teorie pole . $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ $\mathbb {R} _{>0}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right |dx$

Viz také

Poznámky

↑ Grigoriev A. A. Přednášky o teorii signálů S. 13. Datum přístupu: 21. června 2017. Archivováno 3. července 2014. (neurčitý)

Integrální transformace
Abelova transformace Bessel transformuje Bushman transformace Gegenbauerova transformace Hilbertova transformace Kontorovič-Lebeděvova transformace Laplaceova transformace Meyerova transformace Mehler-Fockova transformace Mellinova transformace Nerainova transformace Radonová transformace Stieltjes transformovat Fourierova transformace Hankelova transformace Hartleyho transformace

Příspěvek Davida Hilberta k vědě
prostory	Hilbertův prostor PředHilbertův prostor Gilbertova cihla
axiomatika	Hilbertova axiomatika
Věty	Hilbertova věta 90 Hilbertova základní věta Hilbertova nulová věta Hilbert-Schmidtova věta
Operátoři	Hilbertova transformace Operátor Hilbert-Schmidt
Obecná teorie relativity	Einstein-Hilbertovy rovnice " Hilbert a rovnice gravitačního pole "
jiný	Hilbertovy problémy Hilbertova křivka Hilbertova matice Problém Hilbert-Arnold Hilbertova řada a Hilbertův polynom Paradox "Grand Hotel"