Střed

Střed segmentu je bod na daném segmentu , který je ve stejné vzdálenosti od obou konců daného segmentu. Je to těžiště jak celého segmentu, tak jeho koncových bodů.

Souřadnice

Střed segmentu v -rozměrném prostoru, jehož konce jsou body a , je dán vzorcem: $n$ $A=(a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n})$ $B=(b_{1},b_{2},\tečky ,b_{n})$

{\frac {A+B}{2))

Tedy -tá souřadnice středu ( ) je: $i$ $i=1,2,\tečky ,n$

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}

Konstrukce

Pokud jsou zadány dva body, lze najít střed jimi tvořeného segmentu pomocí kružítka a pravítka . Chcete-li najít střed segmentu v rovině , můžete nejprve vytvořit dva oblouky o stejném (a dostatečně velkém) poloměru se středy na koncích segmentu a poté nakreslit přímku přes průsečíky těchto oblouků. Bod, kde výsledná přímka protíná segment, je jeho střed.

Pomocí Mohr-Mascheroniho věty je také možné najít střed úsečky pouze pomocí kružítka: v prvním kroku je pro úsečku zkonstruován bod , symetrický k bodu vzhledem k bodu ; ve druhém kroku je vytvořena inverze bodu vzhledem ke kružnici o poloměru se středem v bodě ; výsledný bod je středem segmentu [1] [2] [3] . $(AB)$ $C$ $A$ $B$ $C$ $|AB|$ $A$ $(AB)$

Střed úsečky můžete sestrojit také pouze pomocí pravítka, pokud je v rovině kružnice s vyznačeným středem [4] .

Geometrické vlastnosti

Střed libovolného průměru kruhu je středem kruhu. Kolmice k jakékoli tětivě procházející jejím středem prochází středem kružnice. Motýlí teorém říká, že pokud je střed akordu a dvou dalších akordů a prochází středem , pak protínají tětivu v bodech , respektive takovým způsobem, že je středem segmentu . $M$ $PQ$ $AB$ $CD$ $INZERÁT$ $před naším letopočtem$ $PQ$ $X$ $Y$ $M$ $XY$

Střed elipsy je středem segmentu spojujícího dvě ohniska elipsy.

Středem segmentu spojujícího vrcholy hyperboly je střed hyperboly.

Kolmice ke středům stran trojúhelníku se protínají v jednom bodě a tento bod je středem kružnice opsané . Střed devíti bodů trojúhelníku je středem úsečky spojující střed kružnice opsané s ortocentrem daného trojúhelníku. Vrcholy středního trojúhelníku daného trojúhelníku leží ve středních bodech stran trojúhelníku.

V pravoúhlém trojúhelníku je středem kružnice opsané středem přepony . V rovnoramenném trojúhelníku se prostředníček , výška a sečna úhlu ve vrcholu shodují s Eulerovou přímkou a osou symetrie a tato přímka prochází středem základny.

Dva bimediány konvexního čtyřúhelníku jsou úsečky spojující středy protilehlých stran. Dva bimediány a segment spojující středy úhlopříček se protínají v jednom bodě, který je středem těchto tří segmentů [5] . Brahmaguptův teorém říká, že je-li čtyřúhelník vepsaný do kruhu kolmý (tj. s kolmými úhlopříčkami ), pak kolmice ke stranám od průsečíku úhlopříček vždy procházejí středem protilehlé strany. Varignonův teorém říká, že středy stran libovolného čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku , a pokud je čtyřúhelník také samodisjunktní, pak se plocha rovnoběžníku rovná polovině plochy čtyřúhelníku. Newtonova čára je čára spojující středy dvou úhlopříček konvexního čtyřúhelníku, který není rovnoběžníkem. Úsečky spojující středy protilehlých stran konvexního čtyřúhelníku se protínají v bodě ležícím na Newtonově přímce.

Pravidelný mnohoúhelník má kružnici , která je tečnou ke všem stranám mnohoúhelníku ve středních bodech jeho stran. V pravidelném mnohoúhelníku se sudým počtem stran jsou středy úhlopříček spojujících protilehlé středy středem mnohoúhelníku. Mediánový mnohoúhelník je mnohoúhelník, jehož vrcholy jsou středy hran původního mnohoúhelníku. Protažený středový polygon vepsaného mnohoúhelníku P je další vepsaný mnohoúhelník vepsaný do stejné kružnice a jeho vrcholy jsou středy oblouků mezi vrcholy P [6] . Opakováním operace vytvoření mnohoúhelníku natažených středů vznikne posloupnost mnohoúhelníků, jejichž tvar konverguje k pravidelnému mnohoúhelníku [6] [7] .

Zobecnění

Střed segmentu je afinní invariant , takže souřadnicové vzorce lze použít pro jakýkoli afinní souřadnicový systém .

Střed segmentu nelze definovat v projektivní geometrii : jakýkoli vnitřní bod segmentu lze projektivně mapovat na jakýkoli jiný bod uvnitř (stejného nebo jakéhokoli jiného) projektivního segmentu. Upevnění jednoho takového bodu jako středového bodu definuje afinní strukturu na projektivní čáře obsahující tento segment. Čtvrtým bodem harmonické čtveřice pro takový „střední bod“ a dva koncové body je bod v nekonečnu [8] .

Pojetí středu segmentu může být představeno na geodesics v Riemannian manifold , ale na rozdíl od affine případu, střed segmentu nemusí být jedinečný.

Poznámky

↑ Kostovský, 1984 , s. dvacet.
↑ Courant, Robbins, 2001 , str. 172-179.
↑ Wolfram mathworld (nedostupný odkaz) (29. září 2010). Získáno 20. července 2015. Archivováno z originálu 25. listopadu 2016. (neurčitý)
↑ Adler, 1940 , str. 67-72.
↑ Altshiller-Court, 2007 .
↑ 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003 , str. 255-270.
↑ Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008 .
↑ Coxeter, 1949 , str. 119.

Literatura

A. N. Kostovského. Geometrické konstrukce s jedním kompasem. - M . : "Nauka" Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, 1984. - (Populární přednášky o matematice).
August Adler. Teorie geometrických konstrukcí. - Leningrad: Státní vzdělávací a pedagogické nakladatelství Lidového komisariátu školství RSFSR, pobočka Leningrad, 1940.
R. Courant, G. Robbins. Co je matematika?. - 3. - MTSNMO, 2001. - ISBN 5-900916-45-6.
Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markovovy řetězce a dynamická geometrie polygonů // Lineární algebra a její aplikace. - 2003. - T. 367 . - doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 .
Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18. podzimní seminář o výpočetní geometrii . — 2008.
HSM Coxeter . Skutečná projektivní rovina. - New York, Toronto, Londýn: McGraw-Hill, 1949.
H. S. M. Coxeter. Skutečná projektivní rovina. - M .: Fizmatlit, 1959.
Nathan Altshiller-Court. Vysokoškolská geometrie. - Mineola, New York: Dover Publ., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .

Odkazy

Animace – ukazuje charakteristiky středu úsečky
Co je Midpoint Formula