Skalární součin

Bodový součin (někdy nazývaný vnitřní součin ) - výsledek operace na dvou vektorech , což je skalární , tedy číslo , které nezávisí na volbě souřadnicového systému . Používá se při určování délky vektorů a úhlu mezi nimi.

Obvykle se pro skalární součin vektorů používá jeden z následujících zápisů. $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

nebo jednoduše

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

a druhý zápis se používá v kvantové mechanice pro stavové vektory [1] .

\langle a|b\rangle ;

V nejjednodušším případě , konkrétně v případě konečně-rozměrného reálného euklidovského prostoru, někdy používají "geometrickou" definici skalárního součinu nenulových vektorů a jako součin délek těchto vektorů kosinusem úhel mezi nimi [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

Ekvivalentní definice: skalární součin je součin délky průmětu prvního vektoru na druhý a délky druhého vektoru (viz obrázek). Pokud je alespoň jeden z vektorů nulový, pak se součin považuje za nulový [3] .

Pojem vnitřního součinu má také velké množství zobecnění pro různé vektorové prostory , tedy pro množiny vektorů s operacemi sčítání a násobení skaláry . Výše uvedená geometrická definice skalárního součinu předpokládá předběžnou definici pojmů délky vektoru a úhlu mezi nimi. V moderní matematice se používá obrácený přístup: skalární součin je definován axiomaticky a jeho prostřednictvím délky a úhly [4] . Zejména je vnitřní součin definován pro komplexní vektory , vícerozměrné a nekonečněrozměrné prostory v algebře tenzoru .

Tečkový součin a jeho zobecnění hrají extrémně velkou roli ve vektorové algebře , různobarevné teorii , mechanice a fyzice. Například práce síly při mechanickém přemístění je rovna skalárnímu součinu vektoru síly a vektoru přemístění [5] .

Definice a vlastnosti

Řekneme, že skalární součin je definován v reálném nebo komplexním vektorovém prostoru , pokud je každé dvojici vektorů přiřazeno číslo z toho číselného pole , nad kterým je dáno, splňující následující axiomy. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

Pro jakékoli tři prvky prostoru a všechna čísla platí rovnost: (linearita skalárního součinu vzhledem k prvnímu argumentu). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alpha ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
Pro všechny platí rovnost , kde pruh znamená komplexní konjugaci . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
Pro libovolnou máme: , a pouze pro (pozitivní definitivnost, resp. nedegenerace skalárního součinu). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Všimněte si, že Axiom 2 implikuje, že jde o reálné číslo. Proto má Axiom 3 smysl, navzdory komplexním (obecně) hodnotám skalárního součinu. Pokud není splněn axiom 3, pak se součin nazývá neurčitý nebo neurčitý . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Pokud nejen pro , pak se součin nazývá kvaziskalární [6] . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Z těchto axiomů se získávají následující vlastnosti:

komutativnost pro reálné vektory : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
distributivita s ohledem na sčítání :a $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
involuční linearita vzhledem k druhému argumentu :(v případě skutečného, jednoduše linearita vzhledem k druhému argumentu). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\overline {\ alpha _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (což je stejné jako u skutečného ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

Existují také vlastnosti, které s těmito axiomy nesouvisejí:

ne -asociativnost vzhledem k násobení vektorem [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalita : dva nenulové vektory aab jsouortogonální právě tehdy, když ( a , b ) = 0 ( definice níže ).

Komentář. V kvantové fyzice je skalární součin (vlnových funkcí, které mají komplexní hodnotu) obvykle definován jako lineární ve druhém argumentu (a ne v prvním), respektive, v prvním argumentu bude involučně lineární. Obvykle nedochází k záměně, protože tradiční označení tečkového součinu v kvantové fyzice je také odlišné: , tj. argumenty jsou odděleny svislou čarou namísto čárkou a závorky jsou vždy lomené. $\langle \phi |\psi \rangle$

Definice a vlastnosti v euklidovském prostoru

Skutečné vektory

V -rozměrném reálném euklidovském prostoru jsou vektory definovány svými souřadnicemi - soubory reálných čísel na ortonormálním základě . Skalární součin vektorů můžete definovat následovně [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\tečky a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\tečky b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\tečky +a_ {n}b_{n}.

Ověření ukazuje, že jsou splněny všechny tři axiomy.

Například skalární součin vektorů a bude vypočten následovně: $(1,3,-5)$ $(4,-2,-1)$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}

Lze dokázat [8] , že tento vzorec je ekvivalentní definici z hlediska projekcí nebo z hlediska kosinu: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Komplexní vektory

Pro komplexní vektory definujeme podobně [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\tečky a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\tečky b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Příklad (pro ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Vlastnosti

Kromě obecných vlastností bodového součinu platí pro vícerozměrné euklidovské vektory následující:

na rozdíl od běžného skalárního násobení, kde když ab = ac a a ≠ 0, pak b se rovná c , to neplatí pro vektorové skalární násobení: pokud a b = a c , tedy a (b − c) = 0 , pak obecně případ a a b − c jsou pouze ortogonální; ale vektor "b − c ' se obecně nerovná 0 , tj. b ≠ c ;
pravidlo součinu : pro diferencovatelné vektorové funkce a ( t ) ab ( t ) platí vztah ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
odhad úhlu mezi vektory: ve vzorci je znaménko určeno pouze kosinusem úhlu (vektorové normy jsou vždy kladné). Proto je bodový součin větší než 0, pokud je úhel mezi vektory ostrý, a menší než 0, pokud je úhel mezi vektory tupý; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
projekce vektoru do směru definovaného jednotkovým vektorem : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , protože $|\mathbf {e} |=1;$
plocha rovnoběžníku překlenutá dvěma vektory a je rovna $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Kosinová věta v reálném prostoru

Kosinová věta se snadno odvodí pomocí tečkového součinu. Nechť strany trojúhelníku jsou vektory a , b a c , z nichž první dva svírají úhel θ , jak je znázorněno na obrázku vpravo. Poté postupujte podle vlastností a definice skalárního součinu z hlediska kosinu:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf { \color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {modrá}b} -\mathbf {\color {modrá}b} \cdot \mathbf {\color {červená } }a} +\mathbf {\color {modrá}b} \cdot \mathbf {\color {modrá}b} \\&=|\mathbf {\color {červená}a} |^{2}-\mathbf { \color {červená}a} \cdot \mathbf {\color {modrá}b} -\mathbf {\barva {červená}a} \cdot \mathbf {\color {modrá}b} +|\mathbf {\color { blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color { modrá }b} +|\mathbf {\color {blue}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {red}a} |^{2}+|\mathbf {\color {modrá } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {červená}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {modrá}b} |\cos \mathbf {\color {fialová}\theta } .\\\end{aligned}}$

Související definice

V moderním axiomatickém přístupu, již na základě konceptu skalárního součinu vektorů, jsou zavedeny následující derivační koncepty [11] :

Délka vektoru, která je obvykle chápána jako jeho euklidovská norma :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(Pojem "délka" se obvykle používá pro vektory s konečnou dimenzí, ale v případě výpočtu délky křivočaré dráhy se často používá v případě nekonečně dimenzionálních prostorů).

Úhel mezi dvěma nenulovými vektory euklidovského prostoru (zejména euklidovské roviny) je číslo, jehož kosinus se rovná poměru skalárního součinu těchto vektorů k součinu jejich délek (normy): $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Tyto definice nám umožňují zachovat vzorec: a v obecném případě. Správnost vzorce pro kosinus je zaručena Cauchyho-Bunyakovského nerovností [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

Pro všechny prvky vektorového prostoru se skalárním součinem platí následující nerovnost: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Pokud je prostor pseudoeuklidovský , pojem úhlu je definován pouze pro vektory, které neobsahují izotropní čáry uvnitř sektoru tvořeného vektory. V tomto případě je úhel samotný zaveden jako číslo, jehož hyperbolický kosinus je roven poměru modulu skalárního součinu těchto vektorů k součinu jejich délek (norm):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\název operátora {ch} \varphi .

Ortogonální (kolmé) jsou vektory, jejichž skalární součin je roven nule. Tato definice platí pro jakýkoli prostor s pozitivním určitým vnitřním produktem. Například ortogonální polynomy jsou ve skutečnosti navzájem ortogonální (ve smyslu této definice) v nějakém Hilbertově prostoru.
Prostor (skutečný nebo komplexní) s pozitivně určitým vnitřním součinem se nazývá pre-Hilbertův prostor .
- V tomto případě, konečný-dimenzionální reálný prostor s pozitivně-definitivní skalární součin se také nazývá euklidovský a komplexní se nazývá hermitovský nebo unitární prostor.
Případ, kdy skalární součin není znaménkově určitý, vede k tzv. prostory s neurčitou metrikou . Skalární součin v takových prostorech již negeneruje normu (a obvykle se zavádí dodatečně). Konečněrozměrný reálný prostor s neurčitou metrikou se nazývá pseudoeuklidovský (nejdůležitější speciální případ takového prostoru je Minkowského prostor ). Mezi nekonečněrozměrnými prostory s neurčitou metrikou hrají důležitou roli Pontryaginovy a Kerinovy prostory .

Historie

Skalární součin zavedl W. Hamilton v roce 1846 [13] současně s vektorovým součinem v souvislosti s kvaterniony - respektive jako skalární a vektorová část součinu dvou kvaternionů, jejichž skalární část je rovna nule [14 ] .

Variace a zobecnění

V prostoru měřitelných reálných nebo komplexních funkcí kvadraticky integrovatelných na nějaké doméně Ω lze zavést pozitivně určitý skalární součin:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Při použití neortonormálních bází je skalární součin vyjádřen vektorovými složkami za účasti metrického tenzoru [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Přitom samotná metrika (přesněji její reprezentace v dané bázi) je tímto způsobem spojena se skalárními součiny bázových vektorů : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

Podobné konstrukce skalárního součinu lze také zavést na nekonečně dimenzionálních prostorech, například na prostorech funkcí:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

kde K je pozitivně-definitivní, v prvním případě symetrická s ohledem na permutaci argumentů (pro komplexní x - Hermitovskou) funkci (pokud potřebujete mít obvyklý symetrický pozitivně-definitivní skalární součin).

Nejjednodušší zobecnění konečně-rozměrného skalárního produktu v algebře tenzoru je konvoluce přes opakované indexy.

Viz také

Poznámky

↑ Hala B.C. Kvantová teorie pro matematiky . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 s. - (Absolventské texty z matematiky. Sv. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Archivováno 31. ledna 2016 na Wayback Machine - S. 85.
↑ Toto se týká nejmenšího úhlu mezi vektory, který nepřesahuje $\pi.$
↑ Vektorová algebra // Mathematical Encyclopedia (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , s. 30-31.
↑ Targ S. M. Práce síly // Fyzikální encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Velká ruská encyklopedie , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 s. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudryavtsev L. D. Matematická analýza. II sv. - M., Vyšší škola , 1970. - Str. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot Product Archived 29 April 2021 at Wayback Machine . Od MathWorld - Wolfram webový zdroj.
↑ Calculus II - Dot Product . tutorial.math.lamar.edu . Získáno 9. května 2021. Archivováno z originálu dne 9. května 2021. (neurčitý)
↑ Gelfand, 1971 , s. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage , sekce 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , s. 34.
↑ §9.5. Lineární prostory s vnitřním součinem: euklidovské a unitární
↑ Crowe MJ Historie vektorové analýzy – Vývoj myšlenky vektorového systému . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 s. — ISBN 0486679101 . Archivováno 6. března 2019 na Wayback Machine
↑ Hamilton WR na kvaternionech; aneb o novém systému imaginací v algebře // Filosofický časopis. 3. série. - Londýn, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , s. 240.

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře. - 4. vyd. — M .: Nauka, 1971. — 272 s.

Odkazy

Emelin A. Skalární součin vektorů . Staženo: 14. listopadu 2019. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný