Radon-Nikodimova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. června 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Radon-Nikodimova věta ve funkcionální analýze a příbuzných disciplínách popisuje obecnou formu míry, která je absolutně spojitá s ohledem na jinou míru.

Pojmenován po Otto Nikodim a Johann Radon .

Formulace

Nechť je prostor s mírou . Předpokládejme, že - je - konečné . Pokud je míra absolutně spojitá vzhledem k , pak existuje měřitelná funkce taková, že $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $\mu$ $\sigma$ $\nu \colon {\mathcal {F}}\to {\mathbb {R}}$ $\mu$ $(\nu\ll\mu )$ $f\dvojtečka X\to \mathbb {R}$

\nu (A)=\int \limits _{{A}}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F)),

kde je integrál chápán v Lebesgueově smyslu .

Jinými slovy, pokud má funkce se skutečnou hodnotou vlastnosti: [1] $A\mapsto \nu (A)$

$\nu$ definovaný na Borelově algebře . ${\displaystyle S_{\mu ))$
$\nu$ přísada; to je, pro jakýkoli rozklad množiny na množiny , rovnost $A=\bigcup _{n}A_{n}$ ${\displaystyle A\in S_{\mu ))$ ${\displaystyle A_{n}\in S_{\mu ))$ $\nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})$
$\nu$ absolutně kontinuální; tedy vyplývá z . $\mu (A)=0$ $\nu (A)=0$

pak to může být reprezentováno jako

\nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,

kde je integrál chápán v Lebesgueově smyslu .

Související pojmy

Funkce, jejíž existenci zaručuje Radon-Nikodimova věta, se nazývá Radon-Nikodimova derivace míry vzhledem k míře . Napsat: $F$ $\nu$ $\mu$ $f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$
- Jestliže je -rozměrný
vektorový prostor s Borelovou σ-algebrou , je distribucí nějaké náhodné veličiny a je Lebesgueova míra na , pak Radon-Nikodimova derivace míry s ohledem na míru se nazývá hustota distribuce náhodná veličina . $(X,\;{\mathcal {F}})=\left({\mathbb {R}}^{k},\;{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}^{k} )\že jo)$ $k$ $\nu ={\mathbb {P}}^{{X}}$ $X$ $\mu=m$ ${\mathbb {R}}^{k}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $m$ $X$

Vlastnosti

Nechť být -konečné míry definované na stejném měřitelném prostoru . Pak jestli a , tak $\lambda ,\;\mu ,\;\nu$ $\sigma$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \ll \lambda$ $\nu \ll \lambda$

{\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.

Nechte _ Pak $\nu \ll \mu \ll \lambda$

{\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}

splněno - téměř všude.

\lambda

Nechť a být měřitelná funkce integrovatelná s ohledem na míru , Pak $\mu \ll \lambda$ $g\colon X\to {\mathbb {R}}$ $\mu$

\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).

Nechte a . Pak $\mu \ll \nu$ $\nu \ll \mu$

{\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{{-1}}.

Nechat být nábojem . Pak $\nu$

{d|\nu| \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.

Variace a zobecnění

Podobná věta platí pro náboje , tedy míry se střídavými znaménky.

Poznámky

↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýza. Vydání II. Míra, Lebesgueův integrál, Hilbertův prostor. - M., Moskevská státní univerzita, 1960. - str. 74-75

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata