Taylorova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. února 2019; kontroly vyžadují 12 úprav . Tento článek je o Taylorových polynomech diferencovatelných funkcí . Pro Taylorovy řady analytických funkcí viz odpovídající článek.

Taylorův teorém poskytuje aproximaci k -krát diferencovatelné funkce v blízkosti daného bodu pomocí Taylorova polynomu k -tého řádu . Pro analytické funkce je Taylorův polynom v daném bodě částečným součtem jejich Taylorovy řady , která zase zcela definuje funkci v nějakém sousedství bodu. Přesný obsah Taylorova teorému nebyl dosud dohodnut. Samozřejmě existuje několik verzí věty použitelných v různých situacích a některé z těchto verzí obsahují odhady chyby, ke které dochází při aproximaci funkce pomocí Taylorova polynomu.

Tato věta je pojmenována po matematičce Brooke Taylorové , který formuloval jednu její verzi v roce 1712. Explicitní výraz pro chybu aproximace dal mnohem později Joseph Lagrange . Již dříve, v roce 1671, James Gregory zmínil důsledek věty.

Taylorův teorém vám umožňuje zvládnout techniky výpočtů na základní úrovni a je jedním z ústředních elementárních nástrojů matematické analýzy . Ve studiu matematiky je výchozím bodem pro studium asymptotické analýzy . Věta je také používána v matematické fyzice . Zobecňuje také funkce několika proměnných a vektorové funkce pro libovolné rozměry a . Toto zobecnění Taylorovy věty je základem pro definici tzv. jetů , které se objevují v diferenciální geometrii a v teorii parciálních diferenciálních rovnic . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $n$ $m$

Předpoklady pro zavedení věty

Jestliže je reálná funkce f(x) diferencovatelná v bodě a , pak má lineární aproximaci v bodě a . To znamená, že existuje funkce h 1 taková, že

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Tady

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

jde o lineární aproximaci funkce f v bodě a . Graf funkce y = P 1 ( x ) je tečný ke grafu funkce f v bodě x = a . Chyba aproximace je

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Všimněte si, že chyba se blíží nule o něco rychleji než rozdíl x − a se blíží nule, když se x blíží a .

Pokud hledáme lepší aproximaci f , můžeme místo lineární funkce použít polynom druhého stupně. Místo hledání derivace f v bodě a , můžeme najít dvě derivace, čímž získáme polynom, který se stejně jako f zvětšuje (nebo zmenšuje) a jako f má konvexnost (nebo konkávnost) v bodě a . Polynom druhého stupně (čtvercový polynom) v tomto případě bude vypadat takto:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Taylorova věta umožňuje ověřit, že kvadratická aproximace je v dostatečně malém okolí bodu a lepší aproximací než lineární. Zejména,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Zde je chyba aproximace

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

který, jestliže h 2 je omezený , se blíží k nule rychleji než to se blíží k nule ( x − a ) 2 jak x se blíží a .

Budeme tedy pokračovat v získávání lepších aproximací k f , pokud použijeme polynomy vyšších a vyšších stupňů . Obecně platí, že chyba v aproximaci funkce s polynomy řádu k se bude blížit k nule o něco rychleji než ( x − a ) k se přiblíží k nule , když se x přiblíží k a .

Tento důsledek má asymptotický charakter: pouze nám říká, že chyba R k aproximace s Taylorovými polynomy k -tého řádu Pk se blíží nule rychleji než nenulový polynom k -tého řádu jako x → a . Neřekne nám , jak velká je chyba v kterémkoli okolí středu aproximace, ale pro zbytek existuje vzorec (uvedený níže).

Nejúplnější verze Taylorova teorému obecně vedou k jednotným odhadům chyby aproximace v malém okolí středu aproximace, ale tyto odhady nejsou adekvátní pro okolí, která jsou příliš velká, i když je funkce f analytická . V této situaci by mělo být vybráno několik Taylorových polynomů s různými centry aproximace, aby byla spolehlivá Taylorova aproximace k původní funkci (viz animovaný obrázek výše). Je také možné, že zvýšením řádu polynomu se kvalita aproximace vůbec nezvýší, i když je funkce f derivována nekonečněkrát. Takový příklad je uveden níže.

Taylorova věta pro funkce jedné reálné proměnné

Prohlášení věty

Přesná formulace většiny základních verzí věty je následující.

Polynom, který se vyskytuje v Taylorově větě, je Taylorův polynom k -tého řádu

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k )}(a)}{k!}(xa)^k

funkce f v bodě a .

Taylorova věta popisuje asymptotické chování zbytku

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

což je chyba při hledání aproximace funkce f pomocí Taylorových polynomů. Použitím "O" velkého a "o" malého lze Taylorův teorém formulovat následovně

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\to a.

Vzorce pro zbytek

Existuje několik přesných vzorců pro zbytek R k Taylorova polynomu, z nichž nejobecnější je následující.

Tato upřesnění Taylorova teorému jsou obvykle odvozena pomocí vzorce konečných přírůstků .

Můžete také najít jiné výrazy pro zbytek. Pokud je například G ( t ) spojitá na uzavřeném intervalu a derivovatelná s nemizející derivací na otevřeném intervalu mezi a a x , pak

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

pro nějaké číslo ξ mezi a a x . Tato verze pokrývá Lagrangeovy a Cauchyho formy jako speciální případy a je odvozena pomocí Cauchyho věty o střední hodnotě (rozšířená verze Lagrangeovy věty o střední hodnotě ).

Psaní vzorce pro zbytek v integrální formě je obecnější než předchozí vzorce a vyžaduje pochopení Lebesgueovy integrální teorie . Platí to však i pro Riemannův integrál za předpokladu, že derivace řádu ( k +1) f je spojitá na uzavřeném intervalu [ a , x ].

Vzhledem k absolutní spojitosti f ( k ) na uzavřeném intervalu mezi a a x existuje její derivace f ( k +1) jako L 1 -funkce a tento důsledek lze získat formálními výpočty pomocí Newton-Leibnizovy věty. a integrace po částech .

Odhady zbytku

V praxi je často užitečné numericky odhadnout hodnotu zbytku Taylorovy aproximace.

Budeme předpokládat, že f je ( k + 1)-krát spojitě diferencovatelné na intervalu I obsahujícím a . Předpokládáme, že existují reálná konstantní čísla q a Q taková, že

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

po celou dobu I. _ Pak zbývající člen splňuje nerovnost [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

if x > a , a podobný odhad if x < a . Toto je jednoduchý důsledek Lagrangeovy formy zbytku vzorce. Zejména pokud

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

na intervalu I = ( a − r , a + r ) s nějakým r >0, pak

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

pro všechna x ∈( a − r , a + r ). Druhá nerovnost se nazývá jednotný odhad , protože zachovává jednotnost pro všechna x v intervalu ( a − r , a + r ).

Příklad

Řekněme, že chceme najít aproximaci funkce f ( x ) = e x na intervalu [−1,1] a ujistěte se, že chyba nepřesahuje 10 −5 . V tomto příkladu předpokládáme, že známe následující vlastnosti exponenciální funkce:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Tyto vlastnosti znamenají, že f ( k ) ( x ) = e x pro všechna k , a zejména f ( k ) (0) = 1 . Z toho vyplývá, že Taylorův polynom k -tého řádu funkce f v bodě 0 a jeho zbytek v Lagrangeově tvaru je dán vzorcem

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

kde ξ je nějaké číslo mezi 0 a x . Protože e x roste podle (*), můžeme použít e x ≤ 1 pro x ∈ [−1, 0] k odhadu zbytku na podintervalu [−1, 0]. Abychom našli horní mez hodnoty zbytku na intervalu [0,1], můžeme k odhadu použít vlastnost e ξ << e x pro 0< ξ<x

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

pomocí Taylorova polynomu druhého řádu. Vyjádřením e x z této nerovnosti dojdeme k závěru, že

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

za předpokladu, že čitatel má maximum ze všech možných hodnot a jmenovatel minimum všech možných hodnot. Pomocí těchto odhadů hodnot e x to vidíme

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

a požadované přesnosti je rozhodně dosaženo, když

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Šipka doleva \quad k \geq 7.

(kde faktoriál je 7!=5040 a 8!=40320.) Nakonec Taylorův teorém vede k aproximaci

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Všimněte si, že tato aproximace nám umožňuje vypočítat hodnotu e ≈2,71828 s přesností až na páté desetinné místo.

Analytické

Taylorův rozvoj pro reálné analytické funkce

Nechť je otevřený interval . Podle definice je funkce skutečně analytická , pokud je v dané oblasti definována konvergencí mocninné řady . To znamená, že pro každou existuje nějaké r > 0 a posloupnost koeficientů c k ∈ R taková, že ( a − r , a + r ) ⊂ I a $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $v I$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

Obecně lze poloměr konvergence vypočítat pomocí -Hadamardova vzorce

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Tento výsledek je založen na srovnání s nekonečně klesající geometrickou progresí a stejná metoda ukazuje, že pokud mocninná řada expandovaná v a konverguje pro nějaké b ∈ R , musí konvergovat rovnoměrně na uzavřeném intervalu [ a − r b , a + rb ] , kde rb = | b - a |. Zde jsme uvažovali pouze konvergenci mocninné řady a je možné, že definiční obor ( a − R , a + R ) přesahuje definiční obor I funkce f .

Taylorův polynom v reálné analytické funkci f v bodě a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

je jednoduché zkrácení odpovídající mocninné řady této funkce definované na nějakém intervalu a zbytek na tomto intervalu je dán analytickou funkcí

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Zde je funkce

h_k:(ar,a+r)\to \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

je také analytická, protože její mocninná řada má stejný poloměr konvergence jako původní řada. Za předpokladu, že [ a − r , a + r ] ⊂ I a r < R , všechny tyto řady konvergují rovnoměrně na intervalu ( a − r , a + r ) . V případě analytických funkcí je samozřejmě možné odhadnout zbývající člen R k ( x ) „odříznutím“ posloupnosti derivací f′ ( a ) ve středu aproximace, ale při použití komplexní analýzy lze se objeví možnosti, které jsou popsány níže.

Taylorův teorém a konvergence Taylorovy řady

Existuje neshoda mezi Taylorovými polynomy diferencovatelných funkcí a Taylorovou řadou analytických funkcí. Dá se uvažovat (správně) o Taylorově sérii

f(x) \approx \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

nekonečně mnohonásobně diferencovatelná funkce f : R → R jako její "Taylorův polynom nekonečného řádu" v bodě a . Nyní odhad pro zbytek Taylorova polynomu znamená, že pro jakýkoli řád k a pro jakékoli r >0 existuje konstanta M k,r >0 taková, že

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

pro každé x ∈( ar, a+r ). Někdy mohou být tyto konstanty zvoleny tak, že M k,r → 0 jako k → ∞ a r zůstává stejné. Potom Taylorova řada funkce f konverguje rovnoměrně k nějaké analytické funkci

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Zde je důležité zmínit jeden jemný bod . Je možné, že nekonečně mnohonásobně diferencovatelná funkce f má v bodě a Taylorovu řadu , která konverguje v nějakém otevřeném okolí bodu a , ale limitní funkce T f se liší od f . Důležitým příkladem tohoto jevu je

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

Pomocí řetězového pravidla lze indukčně ukázat , že pro jakýkoli řád k ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

pro nějaký polynom p k . Funkce inklinuje k nule rychleji než jakýkoli polynom jako x → 0 , pak je f nekonečně diferencovatelná a f ( k ) (0) = 0 pro každé kladné celé číslo k . Nyní odhady pro zbytek Taylorova polynomu funkce f ukazují, že Taylorova řada konverguje rovnoměrně k nulové funkci na celé ose reálného čísla. V následujících prohlášeních nebude žádná chyba: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Taylorova řada funkce f konverguje rovnoměrně k nulové funkci T f ( x )=0.
Nulová funkce je analytická a každý koeficient její Taylorovy řady je nulový.
Funkce f je nekonečně diferencovatelná, ale není analytická.
Pro libovolné k ∈ N a r >0 existuje M k, r >0 tak, že zbytek členu Taylorova polynomu k -tého řádu funkce f splňuje podmínku (*).

Taylorův teorém v komplexní analýze

Taylorova věta zobecňuje funkce , které jsou komplexně diferencovatelné na otevřené podmnožině U ⊂ C komplexní roviny . Jeho užitečnost však snižují jiné teorémy komplexní analýzy , konkrétně: pro komplexně diferencovatelné funkce f : U → C lze odvodit úplnější verze podobných výsledků pomocí Cauchyho integrálního vzorce , jak je ukázáno níže. $f:\mathbb C\to\mathbb C$

Nechť r > 0 takové, že uzavřený kruh B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) je obsažen v U. Pak Cauchyho integrální formule s kladnou parametrizací γ ( t )= re it kružnice S ( z, r ) s t ∈ [0,2 π ] dává

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Zde jsou všechny integrandy spojité na kružnici S ( z , r ), což odůvodňuje derivaci pod znaménkem integrálu . Konkrétně, pokud je f jednou komplexně diferencovatelná na otevřené množině U , pak je ve skutečnosti nekonečně mnohonásobně komplexně diferencovatelná na U. Máme Cauchyho odhad [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

pro libovolné z ∈ U a r > 0 takové, že B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Tyto odhady znamenají, že komplexní Taylorova řada

f(z) \approx \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

funkce f konverguje rovnoměrně v libovolném kruhu B ( c , r ) ⊂ U s S ( c , r ) ⊂ U v nějaké funkci T f . Také pomocí vzorce integrace obrysu pro derivace f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{align}

tedy každá komplexní diferencovatelná funkce f na otevřené množině U ⊂ C je komplexní analytická . Vše, co bylo napsáno výše pro reálné analytické funkce, platí i pro komplexní analytické funkce, kde je otevřený interval I nahrazen otevřenou podmnožinou U ∈ C a a -středné intervaly ( a − r , a + r ) jsou nahrazeny c - středové kružnice B ( c , r ). Zejména Taylorova expanze je zachována jako

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

kde zbytek R k je komplexní analytický. Když vezmeme v úvahu Taylorovy řady, metody komplexní analýzy umožňují získat poněkud výkonnější výsledky. Například pomocí integrálního vzorce pro jakoukoli kladně orientovanou Jordanovu křivku γ , která parametrizuje hranici ∂ W ⊂ U domény W ⊂ U , lze získat výraz pro derivace f ( j ) ( c ) , jak je ukázáno výše, a mírně změnit výpočty pro T f ( z ) = f ( z ) , dospět k přesnému vzorci

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

Důležitou vlastností zde je, že kvalitě Taylorovy polynomiální aproximace v oblasti W ⊂ U dominují hodnoty funkce f na hranici ∂ W ⊂ U . Také použitím Cauchyho odhadů na výraz pro zbytek řady získáme jednotné odhady

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Příklad

Funkce f : R → R definovaná rovnicí

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

je skutečný analytický , to znamená, že v daném oboru je určen jeho Taylorovou řadou. Jeden z obrázků výše ukazuje, že některé velmi jednoduché funkce nelze vyjádřit pomocí Taylorovy aproximace v blízkosti středu aproximace, pokud je toto okolí příliš velké. Tato vlastnost je snadno pochopitelná v rámci komplexní analýzy. Přesněji řečeno, funkce f expanduje na meromorfní funkci

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \to \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

na zhutněné komplexní rovině. Má jednoduché osy v bodech z = i az = − i a je všude analytický. Její Taylorova řada se středem v z 0 konverguje na libovolné kružnici B ( z 0 , r ) s r <| zz 0 |, kde stejná Taylorova řada konverguje pro z ∈ C . V důsledku toho Taylorova řada funkce f se středem v 0 konverguje na B (0,1) a nekonverguje pro žádné z ∈ C s | z |>1 kvůli přítomnosti os v bodech i a − i . Ze stejných důvodů Taylorova řada funkce f se středem v 1 konverguje k B (1,√2) a nekonverguje pro žádné z ∈ C s | z -1|>√2.

Zobecnění Taylorovy věty

Vyšší řády diferencovatelnosti

Funkce f : R n → R je diferencovatelná v bodě a ∈ R n právě tehdy, když existuje lineární tvar L : R n → R a funkce h : R n → R taková, že

f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{a}) + L(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) + h(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Pokud tento případ platí, pak L = df ( a ) je diferenciál funkce f v bodě a . Navíc, když parciální derivace funkce f existují v bodě a , pak je diferenciál f v bodě a dán vzorcem

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\částečné f}{\částečné x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\částečné f}{\částečné x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Představujeme multi-index , píšeme

|\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

pro α ∈ N n a x ∈ R n . Pokud jsou všechny parciální derivace k -tého řádu funkce f : R n → R spojité v a ∈ R n , pak lze podle Clairautovy věty změnit pořadí smíšených derivací v bodě a , a pak psát

D^\alpha f = \frac{\částečné^{|\alpha|}f}{\částečné x_1^{\alpha_1}\cdots \částečné x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

pro parciální deriváty vyšších řádů je v této situaci legitimní. Totéž platí, pokud všechny ( k − 1) parciální derivace funkce f existují v nějakém okolí bodu a a jsou derivovatelné v bodě a . Pak můžeme říci, že funkce f je kkrát diferencovatelná v bodě a .

Taylorův teorém pro funkce více proměnných

Jestliže funkce f : R n → R je k + 1 krát spojitě diferencovatelná v uzavřené kouli B , pak lze získat přesný vzorec pro zbytek ( k + 1) Taylorova rozvoje f v tomto okolí. A to

f( \boldsymbol{x} ) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ tučný symbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

V tomto případě díky spojitosti parciálních derivací ( k + 1) řádu na kompaktní množině B získáme přímo

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\v B.

Důkazy

Důkaz Taylorovy věty pro jednu reálnou proměnnou

Nechat [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

kde, jak je uvedeno ve formulaci Taylorovy věty,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

To stačí ukázat

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

Důkaz je založen na opakované aplikaci L'Hospitalova pravidla . Všimněte si, že každé j = 0,1,…, k −1 , . Každá následující derivace čitatele funkce má tedy sklon k nule v bodě , a totéž platí pro jmenovatele. Pak $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

kde přechod z předposledního výrazu do posledního vyplývá z definice derivace v bodě x = a .

Poznámky

↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Taylorův vzorec , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.5.
↑ Apostol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Zdroje

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Úvod do reálné analýzy (3. vydání), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, svazek 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), První kurz analýzy , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Úvod do klasické reálné analýzy , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza, 3. vydání. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Odkazy

Taylorova řada Aproximace ke kosinusu při rozříznutí uzlu
Trigonometric Taylor Expansion interaktivní demonstrativní applet
Taylor Series Revisited v Holistic Numerical Methods Institute