Tetraedrická symetrie

Involuční symetrie C s , (*) [ ] =	Cyklická symetrie C nv , (*nn) [n] =	Dihedrální symetrie D nh , (*n22) [n,2] =
Skupiny polytopů , [n,3], (*n32)
Tetraedrická symetrie T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrická symetrie O h , (*432) [4,3] =	Ikosahedrická symetrie I h , (*532) [5,3] =

Pravidelný čtyřstěn má 12 rotačních (orientaci zachovávajících) symetrií a [ symetrií řádu 24, zahrnujících kombinaci odrazů a rotací.

Skupina všech symetrií je izomorfní ke skupině S 4 , symetrické permutační grupě čtyř prvků, protože pro každou permutaci vrcholů čtyřstěnu existuje právě jedna taková symetrie. Množina symetrií zachovávajících orientaci tvoří grupu, která je alternující podgrupou A 4 grupy S 4 .

Podrobnosti

Chirální a totální (nebo achirální čtyřstěnná symetrie a pyritohedrální symetrie ) jsou symetrie jednotlivých bodů (nebo ekvivalentně symetrie na kouli ). Jsou zahrnuty do krystalografických skupin symetrie kubické sigonie .

Ve stereografické projekci tvoří okraje čtyřstěnu 6 kruhů (nebo středových radiálních čar) v rovině. Každý z těchto kruhů představuje zrcadlo v čtyřstěnné symetrii. Průsečík těchto kružnic dává rotační body řádu 2 a 3.

ortogonální projekce	Stereografická projekce
	4-násobný	3x	2-násobný
Chirální tetraedrická symetrie, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Pyritoedrická symetrie, Th , (3*2), [4,3 + ],
Achirální tetraedrická symetrie, Td , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Chirální čtyřstěnná symetrie

T , 332 , [3,3] + nebo 23 řádu 12 - chirální nebo rotační tetraedrická symetrie . Existují tři ortogonální 2násobné osy rotace, jako je chirální dihedrální symetrie D 2 nebo 222, a čtyři další 3násobné osy. Tato skupina je izomorfní k A4 , střídající se skupině 4 prvků. Ve skutečnosti se jedná o skupinu sudých permutací čtyř 3-násobných os: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34), (13) (24), (14) (23).

Konjugační třídy T jsou:

• identita
• 4 × 120° otočení ve směru hodinových ručiček (při pohledu shora): (234), (143), (412), (321)
• 4 × 120° otáčení proti směru hodinových ručiček (stejné)
• Otočení 3 × 180°

Otočení o 180° spolu s transformací identity tvoří normální podskupinu typu Dih 2 s faktorovou skupinou typu Z 3 . Tři prvky posledně jmenovaného jsou identická transformace, „rotace ve směru hodinových ručiček“ a „rotace proti směru hodinových ručiček“, odpovídající permutacím tří ortogonálních 2-násobných os při zachování orientace.

A 4 je nejmenší grupa, která ukazuje, že obrácení k Lagrangeově větě obecně neplatí – je-li daná konečná grupa G a dělitel d čísla | G |, nemusí nutně existovat podgrupa skupiny G s řádem d — skupina G = A 4 ​​nemá podgrupu řádu 6.

Podskupiny chirální tetraedrické symetrie

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Struktura	Cykly	Objednávka	Index
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	jeden
D2 _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		čtyři	3
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	čtyři
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	6
C1 _	[ ] +		jedenáct	jeden	Z1 _		jeden	12

Achirální tetraedrická symetrie

Td , *332 , [3,3] nebo 4 3m řádu 24 je achirální nebo úplná tetraedrická symetrie , také známá jako skupina trojúhelníků (2,3,3). Tato skupina má stejné osy rotace jako T, ale se šesti rovinami zrcadlové symetrie procházejícími každou dvojicí 3násobných os. 2-násobné osy jsou nyní osy S 4 ( 4 ). Td a O jsou izomorfní jako abstraktní skupiny - obě skupiny odpovídají S 4 , symetrické skupině 4 prvků. T d je spojení T a množiny získané kombinací každého prvku O \ T se středovou symetrií. Viz také izometrie pravidelného čtyřstěnu .

Konjugační třídy Td jsou :

• identita
• Otočení 8 × 120°
• Otočení 3 × 180°
• 6 × odraz kolem roviny procházející dvěma osami rotace
• Otočení zrcadla o 6 × 90°

Podskupiny achirální tetraedrické symetrie

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Struktura	Cykly	Objednávka	Index
T d	[3,3]		*332	43m _	S4 _		24	jeden
C 3v	[3]		*33	3 m	Dih 3 = S 3		6	čtyři
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		čtyři	6
Cs _	[ ]		*	2 nebo m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42 m_	Dih 4		osm	3
S4 _	[2 + ,4 + ]		2×	čtyři	Z4 _		čtyři	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 2		čtyři	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 = A3 _		3	osm
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		jedenáct	jeden	Z1 _		jeden	24

Pyritoedrická symetrie

Th , 3*2 , [ 4,3+ ] nebo m3 řádu 24- pyriteedrické symetrie . Tato skupina má stejné osy otáčení jako T se zrcadlovými rovinami ve dvou ortogonálních směrech. 3-násobné osy jsou nyní osy S 6 ( 3 ) a je zde středová symetrie. T h je izomorfní k T × Z 2 — každý prvek T h je buď prvkem T nebo prvkem kombinovaným s centrální symetrií. Kromě těchto dvou normálních podskupin existuje ještě jedna normální podskupina D 2h ( pravoúhlý rovnoběžnostěn ), typu Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Je přímým součinem normální podskupiny T (viz výše) s C i . Faktorová skupina je stejná jako výše - Z 3 . Tři prvky posledně jmenovaného jsou transformace identity, „rotace ve směru hodinových ručiček“ a „rotace proti směru hodinových ručiček“, odpovídající permutacím tří ortogonálních 2-násobných os se zachovanou orientací.

Toto je symetrie krychle, ve které je každá plocha rozdělena segmentem na dva obdélníky a žádné dva segmenty nemají vrcholy na stejné hraně krychle. Symetrie odpovídají sudým permutacím úhlopříček krychle spolu s centrální inverzí. Symetrie pětiúhelníkudodekaedru je extrémně blízká symetrii výše popsané krychle. Pyritoedr lze získat z krychle s půlenými plochami nahrazením obdélníků pětiúhelníky s jednou osou symetrie a 4 stejnými stranami, přičemž jedna strana je různě dlouhá (ta, která odpovídá úsečce, která půlí čtvercovou stranu krychle). To znamená, že plochy krychle vyčnívají podél dělícího segmentu a samotný segment se zmenšuje. Symetrie krychle rozdělené plochy je podskupinou celé skupiny ikosaedrické symetrie (jako skupina izometrií, nikoli pouze abstraktní skupina) se 4 z 10 3násobných os.

Konjugační třídy Th zahrnují konjugační třídy T s kombinacemi dvou ze 4 tříd a také každou třídu c s centrální symetrií:

• identita
• Otočení 8 × 120°
• Otočení 3 × 180°
• středová symetrie
• Otočení zrcadla 8 × 60°
• 3 × zrcadlový odraz (vzhledem k rovině)

Podgrupy pyriteedrické symetrie

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ en	G-M	Struktura	Cykly	Objednávka	Index
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 ×2		24	jeden
D2h _	[2,2]		*222	hmmm	Dih 2 × Dih 1		osm	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		čtyři	6
Cs _	[ ]		*	2 nebo m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		čtyři	6
S2 _	[2 + ,2 + ]		×	jeden	2 nebo Z2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3 _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	čtyři
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 4		čtyři	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	osm
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		jedenáct	jeden	Z1 _		jeden	24

Tělesa s chirální tetraedrickou symetrií

Dvacetistěn, zbarvený jako čtyřstěn , má chirální symetrii.

Tělesa s plnou čtyřstěnnou symetrií

Viz také

• Oktaedrická symetrie
• Ikosahedrická symetrie
• Binární grupa čtyřstěnu

Poznámky

Literatura

• P. Cromwell. Mnohostěn. - Spojené království: Cambridge University Press, 1997. - S. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Symetrie věcí. - New York: A. K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Kapitola 11: Konečné skupiny symetrie // Geometrie a transformace. — 2015.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .