Úhlová trisekce

Třísekce úhlu - problém dělení daného úhlu na tři stejné části konstrukcí kružítka a pravítka . Jinými slovy, je nutné sestrojit trisektory úhlu - paprsky rozdělující úhel na tři stejné části.

Spolu s problémy kvadratura kruhu a zdvojení krychle patří ke klasickým neřešitelným konstrukčním problémům známým již ze starověkého Řecka .

Nemožnost stavby dokázal v roce 1837 Vanzel . Navzdory tomu jsou v tisku [1] [2] [3] [4] a dokonce i v některých vědeckých časopisech [5] čas od času publikovány mylné způsoby provádění trisekce úhlu pomocí kružítka a pravítka.

Nelze sestavit

P. L. Vanzel v roce 1837 dokázal, že trisekce úhlu je řešitelná pouze tehdy, když rovnice $\alpha$

x^{3}-3x-2\cos \alpha =0.

řešitelné v čtvercových radikálech .

Například,

Třídělení je možné pro úhly pohledu , pokud celé číslo není dělitelné 3. ${2\pi \over n},$ $n$
Trisekce ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku s celočíselnými stranami, jejichž délky jsou prvočísla, je proveditelná právě tehdy, když je přepona třetí mocninou celého čísla [6] .

Konstrukce s přídavnými nástroji

Ačkoli trisekce úhlu není obecně proveditelná pomocí kružítka a pravítka, existují křivky , se kterými lze tuto konstrukci provést. Pascalův hlemýžď nebo trisectrix, quadratrix (ve starověku nazývaná také trisectrix) , Nikomedova lastura , kuželosečky , Archimédova spirála [7] .
Třísekce je možná, když je postavena s plochým origami . [osm]

Trisekce úhlu s nevsis

Následující konstrukci pomocí nevsis navrhuje Archimedes .

Předpokládejme, že existuje úhel (obr. 1). Je nutné sestrojit úhel, jehož hodnota je třikrát menší než zadaná: . $\alpha =POM$ $\beta$ $\alpha =3\beta$

Sestrojme kružnici o libovolném poloměru se středem v bodě . Nechte strany úhlu protínat s kružnicí v bodech a . Pokračujme stranou původního rohu. Vezměme pravítko nevsis , položíme na něj diastemu a pomocí přímky jako vodítka, bodu jako pólu a půlkruhu jako cílové čáry vytvoříme segment . Dostaneme úhel rovný jedné třetině původního úhlu . $A$ $Ó$ $P$ $M$ $OM$ $A$ $OM$ $P$ $AB$ $PAM$ $\alpha$

Důkaz

Uvažujme trojúhelník (obr. 2). Protože , pak je trojúhelník rovnoramenný a úhly na jeho základně jsou stejné: . Úhel jako vnější úhel trojúhelníku je . $ABO$ $AB=BO=a$ $\angle BAO=\angle BAO=\beta$ $\angle PBO$ $ABO$ $2\beta$

Trojúhelník je také rovnoramenný, úhly na jeho základně jsou stejné a úhel na jeho vrcholu . Na druhou stranu, . Proto, , což znamená . $BPO$ $2\beta$ $\gamma =180^{\circ }-4\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $180^{\circ }-4\beta =180^{\circ }-\beta -\alpha$ $\alpha =3\beta$

Viz také

Pascalův šnek
Matematika ve starověkém Řecku
Morleyova věta je vlastnost trisektorů úhlů trojúhelníku.
Nevsis je konstrukční metoda, která umožňuje provádět trisekci úhlu (nejedná se o řešení problému v klasické formulaci, protože místo kružítka používá pravítko klouzající v blízkosti pólu).

Poznámky

↑ S. Kudrjašov. Euklidův problém // Trud : noviny. - Mladá garda , 2002. - č. 073 . (Ruština)
↑ N. A. Dollezhal . Úhlová trisekce // Věda a život . - 1998. - č. 3 . Archivováno z originálu 29. prosince 2007. (Ruština)
↑ K. Popov. Úhlová trisekce // Mladý technik . - 1994. - č. 12 . - S. 62-64 . Archivováno z originálu 14. července 2014.
↑ Bývalý učitel matematiky navrhuje řešení neřešitelného problému . Ruské noviny. Staženo 29. dubna 2020. Archivováno z originálu 29. dubna 2020. (Ruština)
↑ Žakov Vjačeslav Sergejevič. Rozdělení úhlu na tři stejné části pomocí kružítka a pravítka (Angle trisection) // SCI-ARTICLE. - 2016. - č. 31 . Archivováno z originálu 13. října 2017.
↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Třísečné úhly v Pythagorejských trojúhelníkech. amer. Matematika. Měsíčník 121 (2014), č.p. 7, 625-631.
↑ Tři slavné problémy starověku, 1963 , s. 33-45..
↑ Petrunin A. Ploché origami a konstrukce // Kvant . - 2008. - č. 1 . - S. 38-40 . (Ruština)

Literatura

Belozerov S. E. Pět slavných problémů starověku. Historie a moderní teorie. — Rostov n/a. , 1975.
Dějiny matematiky / Ed. A. P. Juškevič . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. Od starověku do počátku Nového věku.
Prasolov VV Tři klasické konstrukční problémy . - M. : Nauka, 1992. - T. 62. - 80 s. - ( Populární přednášky o matematice ).
Chistyakov V.D. Tři slavné problémy starověku. - M .: Stát. uch.-ped. nakladatelství Ministerstva školství RSFSR, 1963. - S. 29-45. — 96 str. .
Shchetnikov A. I. Jak byla nalezena některá řešení tří klasických problémů starověku? // Matematické vzdělání. - 2008. - č. 4 (48) . - str. 3-15 .
Karpov Nikolaj. Zařízení pro rozdělení ostrého úhlu na tři stejné části // V.O.F.E.M. . - 1891. - Č. 130 . - S. 218-219 . (Ruština)

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007551116505171 LCCN : sh85137916

Matematika ve starověkém Řecku
Matematici	Autolycus Anaxagoras Anfimy Apollonius Aristarcha Aristaeus Archimedes archite bion Boethius Bryson z Herakles Gemin Volavka Hypatie Hipparchos hrochy Hippias Hippokrates Hypsicle Democritus Dicaearchus Dinostrat Dioklés Diophantus Domnin Evdem Eudoxus Euklides Evtokii Zenodor Zeno ze Sidonu Zeno z Elea Isidore Callippus Kapr Cleomedes Conon Xenokrates Ktesibius Lev matematik Marin Menelaus Menechmus Nicomachus nycomedes Papp Perseus Pythagoras Porfiry Posidonius Proclus Ptolemaios Klidný Symplicius Sosigen Theon z Alexandrie Theon ze Smyrny Theaetetus Timarid Thales Theano Theodore Theodosius Philolaus Chrysippus enopid Eratosthenes
Pojednání	Almagest Úvod do aritmetiky Aritmetický Archimédův býčí problém Počet zrnek písku Začátky O pohyblivé sféře O míči a válci Palimpsest z Archiméda Práce na kuželosečkách
Pod vlivem	Babylonská matematika starověká egyptská matematika
Vliv	evropská matematika Indická matematika Středověká islámská matematika
tabulky	Chronologická tabulka řeckých matematiků
Úkoly	Apolloniův problém Vyrovnání kruhu Úhlová trisekce Zdvojnásobení kostky