Funkce děliče

Funkce dělitele je aritmetická funkce spojená s děliteli celého čísla . Funkce je také známá jako funkce dělitele . Používá se zejména při studiu vztahu mezi Riemannovou zeta funkcí a Eisensteinovou řadou pro modulární formy . Studoval Ramanujan , který odvodil řadu důležitých rovností v modulární aritmetice a aritmetických identitách .

S touto funkcí úzce souvisí funkce součtového dělitele , která, jak název napovídá, je součtem funkce dělitele.

Definice

Funkce " součet kladných dělitelů " σ x ( n ) pro reálné nebo komplexní číslo x je definována jako součet x - tých mocnin kladných dělitelů n . Funkce může být vyjádřena vzorcem

\sigma _{{x}}(n)=\součet _{{d|n}}d^{x}\,\!,

kde znamená " d dělí n ". Zápis d ( n ), ν( n ) a τ( n ) (z německého Teiler = dělitel) se používá i pro označení σ 0 ( n ), neboli funkce počtu dělitelů [1] [2] . Je-li x 1, nazývá se funkce sigma funkce nebo součet dělitelů [3] a index se často vynechává, takže σ( n ) je ekvivalentní σ 1 ( n ) [4] . ${d|n}$

Alikvotní součet s(n) pronje součtemjeho vlastních dělitelůtedyvšech dělitelů kromě samotného .n) −n(1) a je roven σ[5]n

Příklady

Například σ 0 (12) je počet dělitelů čísla 12:

{\begin{aligned}\sigma _{{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}

zatímco σ 1 (12) je součet všech dělitelů:

{\begin{aligned}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}

a alikvotní součet s(12) vlastních dělitelů je:

{\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{aligned}}

Tabulka hodnot

n	Děliče	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	s ( n ) = σ 1 ( n ) − n	Komentáře
jeden	jeden	jeden	jeden	0	čtverec: hodnota σ 0 ( n ) je lichá; stupeň 2: s( n ) = n − 1 (téměř dokonalý)
2	1.2	2	3	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
3	1.3	2	čtyři	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
čtyři	1,2,4	3	7	3	čtverec: σ 0 ( n ) liché; mocnina 2: s ( n ) = n − 1 (téměř dokonalé)
5	1.5	2	6	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
6	1,2,3,6	čtyři	12	6	první dokonalé číslo : s ( n ) = n
7	1.7	2	osm	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
osm	1,2,4,8	čtyři	patnáct	7	mocnina 2: s ( n ) = n − 1 (téměř dokonalé)
9	1,3,9	3	13	čtyři	čtverec: σ 0 ( n ) liché
deset	1,2,5,10	čtyři	osmnáct	osm
jedenáct	1.11	2	12	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	16	první nadbytečné číslo : s ( n ) > n
13	1.13	2	čtrnáct	jeden	prvočíslo: σ 1 (n) = 1+n, takže s(n) =1
čtrnáct	1,2,7,14	čtyři	24	deset
patnáct	1,3,5,15	čtyři	24	9
16	1,2,4,8,16	5	31	patnáct	čtverec: σ 0 ( n ) liché; mocnina 2: s ( n ) = n − 1 (téměř dokonalé)

Případy a tak dále přicházejí v sekvencích A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Vlastnosti

Pro celá čísla, která nejsou druhá mocnina, má každý dělitel d z n párového dělitele n/d, a proto je pro taková čísla vždy sudý. U čtverců jeden dělitel, totiž , nemá pár, takže je pro ně vždy lichý. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

Pro prvočíslo p ,

{\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)& =p+1\end{aligned}}

protože podle definice je prvočíslo dělitelné pouze jedním a sebou samým. Pokud p n # znamená prvotní, pak

\sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}

Je jasné, že pro všechny . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma (n)>n$ $n > 2$

Funkce dělitele je multiplikativní , ale ne zcela multiplikativní .

Pokud píšeme

n=\prod _{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

kde r = ω ( n ) je počet prvočísel n , p i je i - tý prvotřídní dělitel a a i je maximální mocnina p i , která dělí n , pak

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

což je ekvivalentní:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod _{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Pokud x = 0, dostaneme, že d ( n ) je:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

Například číslo n \u003d 24 má dva hlavní dělitele - p 1 \u003d 2 a p 2 \u003d 3. Protože 24 je součin 2 3 × 3 1 , pak 1 \ u003d 3 a 2 \ u003d 1 .

Nyní můžeme vypočítat : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\krát 2=8.\end{aligned}}

Osm dělitelů 24 je 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 a 24.

Všimněte si také, že s ( n ) = σ ( n ) − n . Zde s ( n ) označuje součet vlastních dělitelů čísla n , tedy dělitelů bez samotného čísla n . Tato funkce se používá k určení dokonalosti čísla - pro ně s ( n ) = n . Jestliže s ( n ) > n , n se nazývá nadměrné , a pokud s ( n ) < n , n se nazývá nedostatečné .

Jestliže n je mocnina dvou, tedy , pak s (n) = n - 1 , což činí n téměř dokonalým . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\krát 2^{k}-1=2n-1,$

Jako příklad pro dvě jednoduché p a q (kde p < q ), nech

n=pq.

Pak

\sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),

\phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

kde φ ( n ) je Eulerova funkce .

Potom kořeny p a q rovnice:

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0

lze vyjádřit pomocí σ ( n ) a φ ( n ) :

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Když známe n a buď σ ( n ) nebo φ ( n ) (nebo známe p+q a buď σ ( n ) nebo φ ( n )), můžeme snadno najít p a q .

V roce 1984 to dokázal Roger Heath-Brown

\sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)

se vyskytuje nekonečně mnohokrát.

Připojení řádků

Dvě Dirichletovy řady využívající funkci dělitele:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

a se zápisem d ( n ) = σ 0 ( n ) dostaneme

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

a druhá řada

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Lambertova řada pomocí funkce dělitele:

\sum _{{n=1}}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

pro jakýkoli komplex | q | ≤ 1 a a .

Tento součet se také objevuje ve Fourierově řadě pro Eisensteinovu řadu a v invariantech Weierstrassových eliptických funkcí .

Asymptotická rychlost růstu

Pokud jde o o-small , funkce dělitele splňuje nerovnost (viz strana 296 knihy Apoštol [6] )

pro všechny

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert uvedl přesnější odhad

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

Na druhou stranu, protože počet prvočísel je nekonečný ,

\liminf _{{n\to \infty }}d(n)=2.

Pokud jde o velké O , Dirichlet ukázal, že střední řád funkce dělitele splňuje následující nerovnost (viz věta 3.3 z Apoštolovy knihy)

pro všechny

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

kde je Euler-Mascheroniho konstanta . $\gamma$

Úkolem zlepšit hranici v tomto vzorci je problém Dirichletova dělitele $O({\sqrt {x)))$

Chování funkce sigma je nerovnoměrné. Asymptotická rychlost růstu sigma funkce může být vyjádřena vzorcem:

\limsup _{{n\rightarrow \infty }}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },

kde lim sup je horní hranice . Tento výsledek je Grönwallova věta publikovaná v roce 1913 [7] . Jeho důkaz používá třetí Mertensovu větu , která říká, že

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {1}{\log n}}\prod _{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma }},

kde p je prvočíslo.

V roce 1915 Ramanujan dokázal, že podle Riemannovy hypotézy je nerovnost

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n

(Robinova nerovnost)

platí pro všechna dostatečně velká n [8] . V roce 1984 Guy Robin dokázal, že nerovnost platí pro všechna n ≥ 5041 právě tehdy, když platí Riemannova hypotéza [9] . Toto je Robinův teorém a nerovnost se stala široce známou po důkazu teorému. Největší známé číslo, které porušuje nerovnost, je n = 5040. Pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, pak neexistují žádná čísla větší než tato a porušující nerovnost. Robin ukázal, že pokud je hypotéza chybná, existuje nekonečně mnoho čísel n , která porušují nerovnost, a je známo, že nejmenší z takových čísel n ≥ 5041 musí být superredundantní číslo [10] . Ukázalo se, že nerovnost platí pro velká lichá čísla bez čtverců a že Riemannova hypotéza je ekvivalentní nerovnosti pro všechna čísla n dělitelná pátou mocninou prvočísla [11]

Jeffrey Lagarias v roce 2002 dokázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení

\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

pro libovolné přirozené n , kde je n-té harmonické číslo [12] . $H_n$

Robin dokázal, že nerovnost

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0,6483\ n}{\log \log n))

platí pro n ≥ 3 bez dalších podmínek.

Poznámky

↑ Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. vyd.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 strana 46
↑ OEIS sekvence A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, str. 58
↑ OEIS sekvence A000203 _
↑ OEIS sekvence A001065 _
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel, Vysokoškolské texty v matematice, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Zbl 03035.100
↑ Grönwall, Thomas Hakon (1913), „Některé asymptotické výrazy v teorii čísel“, Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), „Vysoce složená čísla, anotovaná Jean-Louisem Nicolasem a Guy Robinem“, The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 409082, ISSN 409082 1606180
↑ Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-78741 MR
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant čísla a Riemannova hypotéza", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé O Robinově kritériu pro Riemannovu hypotézu 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, vydání 2, strany=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), "Elementární problém ekvivalentní Riemannově hypotéze", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 29369

Odkazy

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Algorithmic Number Theory , svazek 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , viz strana 234 v části 8.8.
Weisstein, Eric W. Robin's Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Základní vyhodnocení určitých konvolučních součtů zahrnujících funkce dělitele PDF od Huarda, Ou, Spearmana a Williamse. Obsahuje elementární (tedy nevycházející z teorie modulárních forem) důkaz konvoluce součtu dělitelů, vzorce pro reprezentaci čísel různými způsoby jako součet trojúhelníkových čísel .

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo