Analýza zápisu

Zápis analýzy je systém matematického zápisu používaný v matematické analýze , přičemž různé školy matematiky používají různé zápisy pro derivát funkcí nebo proměnných . Použití jednoho nebo druhého zápisu závisí na kontextu a jedno označení může být v konkrétním případě výhodnější než jiné. Nejčastěji používaná notace je Leibnizova , Lagrangeova , Eulerova , hojně se používají i Newtonovy notace .

Leibnizův zápis

Původní notaci, kterou používal Gottfried Wilhelm Leibniz , používají matematici. Je zvláště užitečné, když je výraz považován za funkční vztah mezi proměnnými a . Leibnizova notace činí toto spojení explicitním zápisem derivátu jako $y=f(x)$ $y$ $X$

{\frac {dy}{dx}}.

Potom se zapíše funkce, jejíž hodnota v x je derivací f vzhledem k x

{\frac {df}{dx}}(x){\text{ nebo }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ nebo }}{\frac {d}{ dx}}f(x).

Deriváty vyššího řádu se zapisují jako

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{ 4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

Je to jako formální manipulace s postavami

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2} y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Obecně platí, že tyto rovnosti nejsou teorémy . Navíc jsou to jen definice zápisu. Navíc použití pravidla pro výpočet derivace zlomku na výše uvedený zápis pomocí dd, nezaměňovat s d 2 , dává

{\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {ddy}{dx^{2}}}-{\frac {dy }{dx}}{\frac {ddx}{dx^{2}}}.

Hodnota derivace y v bodě může být vyjádřena pomocí Leibnizovy notace dvěma způsoby: $x=a$

\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ nebo }}{\frac {dy}{dx}}(a)

Leibnizův zápis umožňuje specifikovat proměnnou, podle které se provádí diferenciace (ve jmenovateli). To je zvláště užitečné při parciálních derivacích . Usnadňuje také zapamatování a rozpoznání pravidla diferenciace složených funkcí :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

Leibnizova notace pro odlišení nevyžaduje dávat zvláštní význam symbolům, jako je nebo a někteří autoři se nesnaží těmto symbolům dávat žádný význam. Leibniz interpretoval tyto symboly jako nekonečně malé veličiny. Pozdější autoři jim dali jiné významy, jako jsou infinitezimály v nestandardní analýze nebo vnější deriváty . $dx$ $dy$

Někteří autoři a časopisy používají místo kurzívy doslovný rozlišovací znak d , tedy d x . Norma ISO/IEC 80000 tento styl doporučuje.

Leibnizova notace pro primitivní derivaci

Pro funkce 2 nebo více proměnných viz Vícenásobný integrál

Leibniz zavedl integrální znak v Analyseos tetragonisticae pars secunda a Methodi tangentium inversae exempla (oba 1675). Znak se stal standardním symbolem pro integraci . $\int$

{\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\ ,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right) dx=\int _{X\krát X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\závorka {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\pod závorkou {dx\tečky dx} _{n}&=\int _{\pod závorkou {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x) \,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}

Lagrangeova notace

Jeden z nejběžnějších rozlišovacích zápisů je pojmenován po Josephu Louisi Lagrangeovi , ačkoli Euler ho ve skutečnosti představil a Lagrange jednoduše učinil zápis populární. V Lagrangeově zápisu prvočíslo znamená derivaci. Je-li f funkce, pak se její derivace x zapíše jako

f'(x)

Notace se objevila v tisku v roce 1749 [1] .

Deriváty vyšších řádů se zobrazují s doplňkovými znaménky, pro druhou derivaci a pro třetí derivaci . Použití více tahů dříve nebo později vede k těžkopádným výrazům. Někteří autoři nadále používají římské číslice , obvykle s malými písmeny [2] [3] , jak je uvedeno níže $f''(x)$ $f'''(x)$

f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,

k označení čtvrté, páté, šesté a vyšší derivace. Jiní autoři používají arabské číslice v závorkách, jak je uvedeno níže

f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .

Tento zápis umožňuje zapsat n-tou derivaci, kde n je proměnná. Dělá se to takhle

f^{(n)}(x).

Znaky Unicode pro Lagrangeovu notaci:

U+2032 ◌′ zdvih (derivát)
U+2033 ◌″ dvojité prvočíslo (druhá derivace)
U+2034 ◌‴ trojité prvočíslo (třetí derivace)
U+2057 ◌⁗ čtyřnásobné prvočíslo (čtvrtá derivace)

Pokud pro funkci f ( x , y ) existují dvě nezávislé proměnné , lze se řídit následujícími konvencemi [4] :

{\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy} }=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2))}=f_{xx}\\f_{\prime }^ {\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^ {2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}

Lagrangeova notace pro primitivní derivaci

Pro označení primitivního derivátu se Lagrange řídil Leibnizovou notací [5] :

f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.

Protože je však integrace opakem převzetí derivace, Lagrangeův zápis pro derivace velkých mocnin se vztahuje také na integraci. Vícenásobné integrály f lze zapsat jako

f^{(-1)}(x)

pro obyčejný integrál (nezaměňovat s inverzní funkcí ),

f^{-1}(x)

f^{(-2)}(x)

pro dvojný integrál,

f^{(-3)}(x)

pro trojný integrál

f^{(-n)}(x)

pro n - násobný integrál.

Eulerův zápis

Eulerův zápis používá diferenciální operátor navržený Louisem-Francois-Antoinem Arbogastem , který má zápis ( D-operátor ) [6] nebo ( Newton-Leibnizův operátor ) [7] . Při aplikaci na funkci je operátor definován jako $D$ ${\tilde {D}}$ $f(x)$

(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx)).

Deriváty vyššího řádu se označují jako "mocniny" operátoru D (kde index označuje násobnost operátoru D ) [4]

D^{2}f

pro druhou derivaci,

D^{3}f

pro třetí derivaci

D^{n}f

pro n-tou derivaci.

Eulerův zápis explicitně neoznačuje proměnnou, podle které se provádí diferenciace. Tato proměnná však může být také specifikována explicitně. Je-li f funkcí proměnné x , lze to vyjádřit zápisem [4]

D_{x}f

pro první derivaci,

D_{x}^{2}f

pro druhou derivaci,

D_{x}^{3}f

pro třetí derivaci

D_{x}^{n}f

pro n-tou derivaci.

Pokud je f funkcí několika proměnných, je běžné používat " ∂ " spíše než D. Jak je uvedeno výše, dolní index znamená proměnnou, podle které se provádí diferenciace. Například druhé parciální derivace funkce f ( x , y ) jsou označeny jako [4] :

\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))},

\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x)),

\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),

\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2))}.

Viz § Částečné deriváty .

Eulerův zápis je užitečný pro formulování a řešení lineárních diferenciálních rovnic , protože zjednodušuje reprezentaci diferenciálních rovnic a umožňuje snadněji vidět základní prvky problému.

Eulerův zápis pro primitivní derivaci

Eulerovu notaci lze pro primitivní funkci použít stejným způsobem jako Lagrangeovu notaci [8] následovně [7]

D^{-1}f(x)

pro prvního primitiva,

D^{-2}f(x)

pro druhého primitiva

D^{-n}f(x)

pro n-tý primitivní derivát.

Newtonův zápis

Newtonův zápis pro diferenciaci umístí tečku nad závislou proměnnou. To znamená, že pokud y je funkcí t , pak derivace y vzhledem k t je

{\tečka {y}}}

Deriváty vyššího řádu jsou reprezentovány více body, jak je uvedeno níže

{\ddot {y}},{\overset {...}{y}}

Newton tuto myšlenku široce rozšířil [9] :

{\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\ left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d} {dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset { ...}{y}}&={\tečka {\ddot {y}}}\ekviv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3 }y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\tečka {y}}}&={\overset {....}{y }}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\ rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\tečka {y}}}&={\ddot {\overset {...} {y}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y} {dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\, 6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{ 6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\ tečka {y}}}&={\tečka {\overset {...}{\overset {...}{y))))\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{ 7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\ tečka {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}  \equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^ {(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t} ^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}

Znaky Unicode pro newtonskou notaci:

U+0307 ◌̇ horní tečka (derivát)
U+0308 ◌̈ dvě tečky shora (druhá derivace)
U+ 20DB ◌⃛ tři tečky shora (třetí derivace).
U+ 20DC ◌⃜ čtyři tečky shora (čtvrtá derivace).
U+030D ◌̍ horní zdvih (integrální)
U+030E ◌̎ dva tahy výše (dvojitý integrál)
U+25AD ▭ bílý obdélník (integrální)
U+20DE ◌⃞ okolní čtverec (integrální)
U+1DE0 ◌ᷠ ( n-tá derivace)

Newtonova notace se většinou používá, když je nezávislou proměnnou čas . Je-li poloha y funkcí času t , pak značí rychlost [10] a značí zrychlení [11] . Tento zápis je populární ve fyzice a matematické fyzice . Objevuje se také v matematických oborech souvisejících s fyzikou, jako jsou diferenciální rovnice . Zápis je populární pouze pro první a druhou derivaci, ale derivace vyšších řádů nejsou v těchto aplikacích vyžadovány. ${\tečka {y}}}$ ${\ddot {y))$

Když se vezme derivace závislé proměnné , existuje alternativní zápis [12] : $y=f(x)$

{\frac {\tečka {y}}{\tečka {x}}}={\tečka {y}}:{\tečka {x}}\ekviv {\frac {dy}{dt}}: {\frac {dx}{dt))={\frac {\frac {dy}{dt)){\frac {dx}{dt))}={\frac {dy}{dx))={\frac {d}{dx)){\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.

Newton vyvinul následující parciální derivační operátory založené na bodu na straně zakřiveného X (ⵋ). Whiteside uvádí následující definice [13] [14] :

{\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\ částečné f}{\částečné x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\částečné f}{\částečné y}}= yf_{y}\,,\\\dvojtečka \!{\mathcal {X}}\,{\text{ nebo }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right) \ &=\ x^{2}{\frac {\částečné ^{2}f}{\částečné x^{2))}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal { X}}\colon \,{\text{ nebo }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\částečné y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))=xyf_{xy}\,,\end{aligned))

Newtonův zápis pro integraci

Newton vyvinul mnoho různých zápisů pro integraci v Quadratura curvarum (1704) a později — napsal malou svislou čárku nebo pomlčku nad závislou proměnnou ( ), rámeček před proměnnou ( ) nebo rámeček ( y ). označují změnu nebo časový integrál. ${\overset {\,\prime }{y))$ ${\Box }y$

{\begin{aligned}y&=\Box {\tečka {y}}\equiv \int {\tečka {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t} ^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y))&=\ Pole y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}

K označení více integrálů použil Newton malé svislé pomlčky ( ) nebo kombinaci symbolů před písmeny k označení dvojitého integrálu v průběhu času. ${\overset {\,\prime \prime }{y))$ ${\Box }{\overset {\,\prime }{y))$ ${\overset {\,\prime }{y))$

{\overset {\,\prime \prime }{y))=\Box {\overset {\,\prime }{y))\equiv \int {\overset {\,\prime }{y} }\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}

Vyšší integrály v průběhu času byly následující [15] :

{\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y))&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y))\equiv \int { \overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\ {\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y))&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y))\equiv \int {\overset {\, \prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y))}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\equiv \ int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y))}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y= S(t)+C_{n}\end{aligned}}

Tyto matematické zápisy nevstoupily do obecného použití kvůli obtížnosti tisku a Newtonově a Leibnizově sporu o přednost .

Parciální derivace

Když jsou vyžadovány specifičtější typy diferenciace, jako je analýza funkcí mnoha proměnných nebo tenzorová analýza , běžně se používají jiné zápisy.

Vzhledem k funkci f nezávisle proměnné x můžeme derivaci vyjádřit pomocí indexu jako nezávislé proměnné:

{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2} }}.\end{aligned}}

Tento typ zápisu je zvláště užitečný pro označení parciálních derivací funkce mnoha proměnných.

Parciální derivace se obvykle odlišují od běžných derivací nahrazením derivačního operátoru d symbolem " ∂ ". Parciální derivaci můžeme například vyjádřit vzhledem k x , ale ne vzhledem k y nebo z několika způsoby: $f(x,y,z)$

{\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.

Tento rozdíl v zápisu je důležitý v tom, že jednoduchou derivaci (nikoli kvocient), jakou lze v závislosti na kontextu interpretovat jako rychlost změny od okamžiku, kdy se všechny ostatní proměnné mohou měnit ve stejnou dobu, zatímco pro kvocientovou derivaci , jako je , může se změnit pouze jedna proměnná. $\textstyle {\frac {df}{dx))$ $F$ $X$ $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x))$

Jiné zápisy lze nalézt v různých podoborech matematiky, fyziky a inženýrství. Viz například Maxwellovy termodynamické vztahy . Symbol je derivací teploty T vzhledem k objemu V při zachování konstantní entropie (indexu) S , zatímco je to derivace teploty vzhledem k objemu při zachování konstantního tlaku P . To se stává nezbytným v situacích, kdy počet proměnných překračuje počet stupňů volnosti, takže je třeba zvolit, které proměnné zachovat konstantní. ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V))\right)_{\!S))$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V))\right)_{\!P))$

Vyšší parciální derivace vzhledem k jedné proměnné jsou vyjádřeny jako

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}=f_{xx},

{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},

a tak dále. Smíšené parciální deriváty lze vyjádřit jako

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))=f_{xy}.

V tomto druhém případě jsou proměnné zapsány v opačném pořadí pro dva zápisy:

(f_{x})_{y}=f_{xy},

{\frac {\partial }{\partial y))\!\left({\frac {\partial f}{\partial x))\right)={\frac {\partial ^{2}f }{\částečné y\částečné x)).

Takzvaný multi -index se používá v situacích, kdy se výše uvedený zápis stává těžkopádným nebo nedostatečně expresivním. Pokud vezmeme v úvahu funkce na , definujeme multiindex jako uspořádaný seznam nezáporných celých čísel: . Pojďme nyní definovat notaci $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},..,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to X$

$\partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1))}{\partial x_{1}^{\alpha _{1))))\cdots {\ frac {\částečné ^{\alpha _{n))}{\částečné x_{n}^{\alpha _{n))))f$

Touto definicí lze výstižně vyjádřit některé výsledky (např. Leibnizův vzorec ), které se jinak těžko zapisují. Některé příklady lze nalézt v článku s více indexy [16] .

Zápis ve vektorové analýze

Vektorová analýza se zabývá převzetím derivace a integrací vektorového nebo skalárního pole . Pro případ trojrozměrného euklidovského prostoru se běžně používají některé zápisy.

Předpokládejme, že je daný kartézský souřadnicový systém , A je vektorové pole se složkami a je skalární pole . $(x,y,z)$ $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$ $\varphi =\varphi(x,y,z)$

Operátor diferenciace zavedený Williamem Rowanem Hamiltonem , psaný a nazývaný nabla , je definován symbolicky jako vektor, $\nabla$

\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)) \že jo)\!,

Zde výraz „v symbolické formě“ odráží skutečnost, že operátor může být považován za běžný vektor. $\nabla$

Gradient :skalárního poleje vektor, který je symbolicky zapsán jako násobení skalárním polem, $\mathrm {grad\,} \varphi$ $\varphi$ $\nabla$ $\varphi$

{\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x)),{\frac {\partial \varphi }{\partial y )),{\frac {\částečné \varphi }{\částečné z))\vpravo)\\&=\left({\frac {\částečné }{\částečné x)),{\frac {\částečné }{ \partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned))

Divergence :vektorového pole A je skalár, který je vyjádřen symbolicky jako tečkový součin a vektor A , $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{ \partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned))

Laplaceův operátor : Laplaciánskalárního poleje skalár, který je vyjádřen symbolicky jako skalární násobenískalárním polem, $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$ $\varphi$ $\nabla ^{2}$ $\varphi$

{\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\& =\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}

Rotace : Rotacenebolivektorové pole A je vektor , který je symbolicky vyjádřen jako křížový součin a vektor A , $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ $\nabla$

{\begin{aligned}\operatorname {rot} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y))-{\partial A_{y} \over { \partial z)),{\partial A_{x} \over {\partial z))-{\partial A_{z} \over {\partial x)),{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\částečné A_{x} \přes {\částečné y}}\vpravo)\\&=\vlevo({\částečné A_{z} \přes {\částečné y}}-{\částečné A_{ y} \přes {\částečné z}}\vpravo)\mathbf {i} +\doleva({\částečné A_{x} \přes {\částečné z}}-{\částečné A_{z} \přes {\částečné x}}\vpravo)\mathbf {j} +\vlevo({\částečné A_{y} \přes {\částečné x}}-{\částečné A_{x} \přes {\částečné y}}\vpravo)\ mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x))&{\cfrac {\partial }{\partial y))&{\cfrac {\partial }{\partial z))\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix))\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}

Mnoho symbolických derivačních operací lze jednoduchým způsobem zobecnit pomocí gradientového operátoru v kartézských souřadnicích. Například pravidlo součinu pro jednu proměnnou má přímý protějšek v součinu skalárních polí použitím operátoru gradientu

(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).

Mnoho dalších pravidel z analýzy jedné proměnné má protějšky ve vektorové analýze pro gradient, divergenci, rotaci a Laplacián.

Dále se notace vyvinula pro exotičtější druhy prostorů. Pro výpočty v Minkowského prostoru se d'Alembertův operátor , nazývaný také d'Alembertův nebo vlnový operátor, zapisuje jako nebo jako, pokud není v rozporu s Laplaciánským symbolem. $\Box$ $\Delta$

Viz také

Poznámky

↑ Nova acta eruditorum : anno ... publicata, ... Año 1749. - Celé zobrazení | Digitální knihovna HathiTrust . Získáno 30. října 2021. Archivováno z originálu dne 28. října 2021. (neurčitý)
↑ Morris, Stark, 2015 .
↑ Osborne, 1908 , str. 63-65.
↑ 1 2 3 4 De Morgan, 1842 , str. 267-268.
↑ Lagrange , Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), str. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
↑ Operátor D - diferenciální - počet - matematická reference s vypracovanými příklady . www.codecogs.com . Archivováno z originálu 19. ledna 2016. (neurčitý)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Diferenciální operátor." Z MathWorld -- webový zdroj Wolfram. Archivovaná kopie . Datum přístupu: 7. února 2016. Archivováno z originálu 21. ledna 2016. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. "Opakovaný integrál." Z MathWorld -- webový zdroj Wolfram. Archivovaná kopie . Datum přístupu: 7. února 2016. Archivováno z originálu 1. února 2016. (neurčitý)
↑
Newtonův zápis převzat z:
- 1. - 5. deriváty: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), str. 7 (str. 5r v originále MS: Archived copy . Získáno 5. února 2016. Archivováno z originálu 28. února 2016. (neurčitý) ).
- 1.-7., n- tá a ( n +1)-tá derivace: Method of Fluxions ( Newton , 1736), str. 313-318 a str. 265 (str. 163 v originále MS: Archivovaná kopie . Získáno 5. 2. 2016. Archivováno z originálu 6. 4. 2017. (neurčitý) )
- 1.-5. deriváty: A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), str. 613
- 1. – 4. a n . derivát: „Diferenciální“ a „Fluxní“ záznamy ve Slovníku čisté a smíšené matematiky (Peter Barlow, 1814)
- 1. - 4., 10. a n-tá derivace: články 622, 580 a 579 v knize Historie matematických notací (F. Cajori, 1929)
- 1. - 6. a n . derivát: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (DT Whiteside, 1976), s. 88 a 17
- 1. - 3. a n . derivát: Historie analýzy (Hans Niels Jahnke, 2000), s. 84-85
Bod pro n-tou derivaci lze vynechat ( ) ${\overset {\,n}{y))$
↑ Weisstein, Eric W. "Overdot." Z MathWorld -- webový zdroj Wolfram. Archivovaná kopie . Získáno 5. 2. 2016. Archivováno z originálu 5. 9. 2015. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. "Double Dot." Z MathWorld -- webový zdroj Wolfram. Archivovaná kopie . Datum přístupu: 5. února 2016. Archivováno z originálu 3. března 2016. (neurčitý)
↑ Cajori, 1929 .
↑ Whiteside, 1961 , str. 361-362,378.
↑ S. I. Engelsman podal přesnější definice Engelsman (2000 , s. 223-226)
↑
Newtonův zápis pro integraci je převzat z:
- 1. - 3. integrál: Quadratura curvarum ( Newton , 1704), str. 7 (str. 5r v originále MS: Archived copy . Získáno 5. února 2016. Archivováno z originálu 28. února 2016. (neurčitý) )
- 1. - 3. integrál: Method of Fluxions ( Newton , 1736), s. 265-266 (s. 163 v originále MS: Archived copy . Získáno 5. února 2016. Archivováno z originálu dne 6. dubna 2017. (neurčitý) )
- 4. integrál: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), s. 54 a 72
- 1. a 2. integrál: články 622 a 365 v knize Historie matematických notací (F. Cajori, 1929)
Vícenásobný zápis n-tého integrálu je odvozen od n-té derivace. Může být použit v Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
↑ Út, 2011 .

Literatura

Carla C. Morris, Robert M. Stark, 1930-2017. Základy kalkulu . - Hoboken, New Jersey, 2015. - ISBN 9781119015314 .
George A. Osborne. Diferenciální a integrální počet . - Boston: DC Heath a spol., 1908. - s . 63-65 .
( Augustus De Morgan . Diferenciální a integrální počet. - 1842. - S. 267-268.
Dennis G. Zill. kapitola 1.1 // První kurz diferenciálních rovnic. - Belmont, CA , 2009. - S. 3. - ISBN 978-0-495-10824-5 .
Florian Cajori. Článek 580 // Historie matematických notací. - New York: Dover Publications, Inc., 1929. - ISBN 0-486-67766-4 .
Loring W Tu. Úvod do rozdělovačů . - 2. - New York: Springer, 2011. - ISBN 978-1-4419-7400-6 .
D.T. Whiteside. Vzorce matematického myšlení v pozdním sedmnáctém století // Archiv pro historii exaktních věd. - 1961. - T. 1,. - S. 361-362,378.
S. B. Engelsman. Rodiny křivek a počátky částečné diferenciace. - 2000. - S. 223-226.

Odkaz

Nejstarší použití symbolů kalkulu , spravované Jeffem Millerem ( Archivováno 6. července 2020. ).