Poissonovo rozdělení

Poissonovo rozdělení
Pravděpodobnostní funkce
distribuční funkce
Označení	${\mathrm {P}} (\lambda )$
Možnosti	$\lambda \in (0,\infty)$
Dopravce	$k\in \{0,1,2,\ldots\}$
Pravděpodobnostní funkce	${\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!)}}$
distribuční funkce	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!)))$
Očekávaná hodnota	$\lambda$
Medián	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0,02/\lambda \rfloor$
Móda	$\lpodlaha \lambda \rpodlaha$
Disperze	$\lambda$
Kurtózní koeficient	$\lambda ^{-1}$
Diferenciální entropie	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Generující funkce momentů	$\exp(\lambda (e^{t}-1))$
charakteristická funkce	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

Poissonovo rozdělení je distribuce diskrétního typu náhodné veličiny představující počet událostí , které nastaly v pevně stanoveném čase, za předpokladu, že tyto události nastanou s určitou pevnou průměrnou intenzitou a nezávisle na sobě.

Poissonovo rozdělení hraje klíčovou roli v teorii front .

Definice

Zvolme pevné číslo a definujme diskrétní rozdělení dané následující pravděpodobnostní funkcí : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

kde

$k$ - počet akcí,
$\lambda$ - matematické očekávání náhodné veličiny (průměrný počet událostí za pevné časové období),
$k!$ označuje faktoriál čísla , $k$
$e=2{,}718281828\ldots$ je základem přirozeného logaritmu .

Skutečnost, že náhodná veličina má Poissonovo rozdělení s matematickým očekáváním , je zapsána: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}} (\lambda )$

Momenty

Funkce generující moment Poissonova rozdělení má tvar:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

kde

{\mathbb {M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

Pro faktoriální momenty rozdělení platí obecný vzorec:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end {matrix}}\right\}

kde složené závorky označují Stirlingova čísla druhého druhu . $k=1,2,...$

A protože momenty a faktoriální momenty spolu lineárně souvisí, často se pro Poissonovo rozdělení studují právě faktoriální momenty, ze kterých lze v případě potřeby odvodit i běžné momenty.

Vlastnosti Poissonova rozdělení

Součet nezávislých Poissonových náhodných veličin má také Poissonovo rozdělení. Nechte _ Pak $Y_{i}\sim {\mathrm {P}} (\lambda _{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\vpravo)

Nechte , a . Pak podmíněné rozdělení za podmínky, že , je binomické. Přesněji: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}} (\lambda _{i}),\;i=1,2$ ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2))$ $Y_{1}$ $Y=y$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \že jo)

Jak Poissonovo rozdělení roste , má tendenci ke Gaussovu rozdělení se směrodatnou odchylkou a posunem . Abychom to dokázali, musíme použít Stirlingův vzorec pro faktoriál a poté použít rozšíření Taylorovy řady v blízkosti a v rámci vrcholu rozdělení . Pak se to ukáže $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)

Asymptotická tendence k distribuci

Docela často se v teorii pravděpodobnosti nebere v úvahu Poissonovo rozdělení samotné, ale posloupnost rozdělení, která jsou mu asymptoticky rovna. Formálněji zvažte posloupnost náhodných proměnných nabývajících celočíselných hodnot, takže pro všechny platí pro . $\xi _{1},\xi _{2},\tečky$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\to\infty$

Nejjednodušší příklad je, když má binomické rozdělení s pravděpodobností úspěchu v každém z pokusů. $\xi _{n}$ ${\frac {\lambda }{n}}$ $n$

Zpětná vazba s faktoriálními momenty

Uvažujme posloupnost náhodných proměnných nabývajících nezáporných celočíselných hodnot. Jestliže for a for any fixed (kde je -tý faktoriální moment ), pak pro any for , máme . $\xi _{1},\xi _{2},\tečky ,$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\to\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\to\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Důkaz Lemma

Nejprve si dokažme obecný vzorec pro výpočet pravděpodobnosti výskytu konkrétní hodnoty náhodné veličiny z hlediska faktoriálních momentů. Ať pro některé víme všechny a pro . Pak $\xi$ $\mu _{r}(\xi)$ $\mu _{r}(\xi )\na 0$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Změnou pořadí součtu lze tento výraz převést na

$\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\součet _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

Dále ze známého vzorce získáme, že at a stejný výraz se zvrhne na at . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum _{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s>k$ $jeden$ $s=k$

Je tedy dokázáno, že $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

Důkaz věty

Podle lemmatu a podmínek věty pro . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty }}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits _{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\to\infty$

QED

Jako příklad netriviálního důsledku této věty lze uvést např. asymptotickou tendenci k rozložení počtu izolovaných hran (dvouvrcholově spojených komponent) v náhodném -vrcholovém grafu, kde každá z hrany jsou zahrnuty do grafu s pravděpodobností . [jeden] ${\mathrm {P}} (\lambda )$ $n$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda }{n^{2))}$

Historie

V roce 1837 vyšla publikace Siméona Denise Poissona „Studies on the Probability of Sentencing in Criminal and Civil Cases“ [2] , ve které byla tato distribuce zavedena [3] . Příklady dalších situací, které lze modelovat pomocí této distribuce, jsou: poruchy zařízení, doba údržby pro stabilního zaměstnance, chyba tisku, množení bakterií v Petriho misce , defekty na dlouhé stuze nebo řetězu, pulsy počítadla záření, počet vstřelených gólů fotbalový tým a další [4]

Viz také

Poznámky

↑ Video přednáška Školy analýzy dat . Datum přístupu: 7. prosince 2014. Archivováno z originálu 8. dubna 2014. (neurčitý)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Chukova Yu. P. Poisson distribuce // "Quantum" : vědecký pop. Fyzikální matematika časopis - M . : "Nauka" , 1988. - č. 8 . — S. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vince, 2012 , str. 370.

Literatura

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teorie pravděpodobnosti a její inženýrské aplikace. 2. vyd. - M . : Vyšší škola , 2000. - 480 s. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - S. 135.
Vince, Ralphe. Matematika technik analýzy rizik řízení peněz pro obchodníky. — M .: Alpina Publisher , 2012. — 400 s. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Studie o pravděpodobnosti odsouzení v trestních a občanskoprávních věcech = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berlín: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 s. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Archivováno z originálu 1. listopadu 2014. (neurčitý)
Guerriero V. Rozložení mocninného zákona: Metoda víceškálové inferenční statistiky . — Journal of Modern Mathematics Frontier , 2012, 1 . - S. 21-28. Archivováno 21. února 2018 na Wayback Machine

Odkazy

Poissonova distribuce - online kalkulačka

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona