Bretschneiderův poměr

Bretschneiderův vztah je vztah ve čtyřúhelníku , obdoba kosinové věty .

Formulace

Mezi stranami a, b, c, d , navzájem protilehlými úhly a úhlopříčkami e, f jednoduchého (neprotínajícího se) čtyřúhelníku platí vztah: $\alpha ,\gamma ,$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).

Poznámka

Ekvivalentní formulace: $e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)),$ $e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)).$

Důkaz

Mimo čtyřúhelník sestrojíme podobné a podobné vnějším způsobem tak, že $\trojúhelník ABF$ $\trojúhelník CAD$ $\trojúhelník ADE$ $\trojúhelník CAB$

\angle CAD=\úhel FBA

\úhel ACD=\úhel FAB

\angle BAC=\úhel ADE

\úhel BCA=\úhel DAE

Z vlastnosti podobných trojúhelníků máme: ; ; ; . Odtud ; ; . Součet úhlů a ve čtyřúhelníku se rovná součtu úhlů , To znamená, že se rovná . Odtud . Také , to je , rovnoběžník. Odtud . V rohu budovy. Podle kosinového zákona: . Vynásobením dostaneme požadované: , h.t.d. ${\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}$ ${\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}$ ${\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}$ ${\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}$ $AF={\frac {ac}{e))$ $AE={\frac {bd}{e))$ $BF=DE={\frac {ad}{e))$ $\angle B$ $\angle D$ $FBDE$ $\triangle BAD$ $180^{\circ }$ $FB\parallel DE$ $FB=DE$ $FBDE$ $f=BD=FE$ $\triangle AEF$ $\angle EAF=\úhel A+\úhel C$ $f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2} -{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\úhel A+\úhel C)$ $e^{2}$ $(ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\úhel A+\úhel C)$

Důsledky

Pokud se čtyřúhelník zvrhne do trojúhelníku (jeden vrchol připadne na stranu), získáme Stewartův teorém .
Pokud se čtyřúhelník zvrhne do trojúhelníku a jeden vrchol spadne na střed strany, pak při zohlednění rovnosti hlavního úhlu a vedlejšího úhlu dostaneme také Apolloniovu větu .
Je-li čtyřúhelník vepsán do kruhu, pak . Pak první Ptolemaiova věta vyplývá z předposledního vzorce výše : . ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ $ef=ac+bd$
Jestliže D je střed opsané kružnice trojúhelníku ABC , pak DA = DB = DC . Pomocí věty o úhlech vepsaných do kružnice získáme kosinovou větu pro trojúhelník ABC .

Viz také

Literatura

Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTsNMO , 2004. - S. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0 .

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Decagon
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také