Kernel (lineární algebra)

Jádrem lineárního mapování je takový lineární podprostor mapovací domény , jehož každý prvek je mapován na nulový vektor [1] [2] . Totiž, pokud je dáno lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory V a W , pak jádro zobrazení L je vektorový prostor všech prvků prostoru V takový, že , kde označuje nulový vektor z W [3] , nebo více formálně: $L\colon V\to W$ $\mathbf{v}$ $L(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$

\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.

Vlastnosti

Jádrem mapy L je lineární podprostor domény V [4] . V lineárním zobrazení mají dva prvky V stejný obraz ve W právě tehdy, když jejich rozdíl leží v jádře L : $L\colon V\to W$

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })=\mathbf {0} .

Z toho vyplývá, že obraz L je izomorfní s kvocientovým prostorem prostoru V vzhledem k jádru:

\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).

V případě, že V je konečná dimenze , to implikuje teorém o hodnosti a defektu :

\dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V),

kde hodností rozumíme rozměr obrazu zobrazení L a defektem rozměr jádra zobrazení L [5] .

Jestliže V je pre-Hilbertův prostor , kvocientový prostor lze identifikovat s ortogonálním doplňkem k V prostoru . Toto je zobecnění lineárních operátorů řádkového prostoru nebo maticového coimage. $V/ker(L)$ $ker(L)$

Aplikace na moduly

Koncept jádra má smysl také pro modulové homomorfismy , což jsou zobecnění vektorových prostorů, kde skaláry jsou prvky kruhu , nikoli pole . Rozsah mapování je modul s jádrem, které tvoří submodul . Zde jsou pojmy hodnosti a dimenze jádra volitelné.

Ve funkční analýze

Jestliže a jsou topologické vektorové prostory , a je konečnorozměrný, pak je lineární operátor spojitý právě tehdy, když je jádro mapování uzavřeným podprostorem prostoru . $PROTI$ $W$ $W$ $L\colon V\to W$ $L$ $PROTI$

Reprezentace jako maticové násobení

Uvažujme lineární zobrazení reprezentované maticí velikosti s koeficienty z pole (obvykle z nebo ), tedy operující se sloupcovými vektory s prvky z pole . Jádrem tohoto lineárního zobrazení je množina řešení rovnice , kde se rozumí nulový vektor . Rozměr jádra matice se nazývá defekt matice . Ve formě operací na množinách $A$ $m\krát n$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbf {x}$ $n$ $K$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$ $A$ $A$

\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.

Maticová rovnice je ekvivalentní homogenní soustavě lineárních rovnic :

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\ ;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\; &&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\; +\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}\right.

Pak je jádro matice stejné jako řešení výše uvedené sady homogenních rovnic. $A$

Vlastnosti podprostoru

Jádrem matice nad polem je lineární podprostor . To znamená, že jádro matrix , set , má následující tři vlastnosti: $m\krát n$ $A$ $K$ $K^n$ $A$ $\operatorname {Null} (A)$

$\operatorname {Null} (A)$ vždy obsahuje nulový vektor , protože . $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$
Pokud a , tak . To vyplývá z distributivní vlastnosti násobení matic. $\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $\mathbf {y} \in \operatorname {Null} (A)$ $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in \operatorname {Null} (A)$
Jestliže , a je skalár , pak protože . $\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $C$ $c\in K$ $c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$ $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Řádková matice

Součin lze zapsat jako bodový součin vektorů takto: $A\mathbf {x}$

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.

Zde jsou řádky matice . To znamená, že patří k jádru matice právě tehdy, když je vektor ortogonální (kolmý) ke každému z řádkových vektorů matice (protože ortogonalita je definována jako skalární součin rovný nule). ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\tečky ,\mathbf {a} _{m))$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$

Řádkový prostor , neboli coimage matice , je lineární rozsah řádkových vektorů matice . Z výše uvedených důvodů je jádro matice ortogonálním doplňkem prostoru řádků. To znamená, že vektor leží v jádře matice právě tehdy, když je kolmý na jakýkoli vektor z prostoru řádků matice . $A$ $A$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $A$

Dimenze prostoru řádků matice se nazývá hodnost matice a dimenze jádra matice se nazývá defekt matice . Tyto veličiny spolu souvisí teorémem o hodnosti a vadě $A$ $A$ $A$ $A$

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullita} (A)=n.

[5]

Levý prázdný prostor (cokernel)

Levý nulový prostor nebo kokernel matice se skládá ze všech vektorů tak, že , kde označuje transpozici matice. Levý prázdný prostor matice je stejný jako jádro matice . Levý nulový prostor matice je ortogonální ke sloupcovému prostoru matice a je duální s kokernelem související lineární transformace. Jádro, prostor řádků, sloupcový prostor a levý prázdný prostor matice jsou čtyři základní podprostory spojené s maticí . $A$ $\mathbf {x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=\mathbf {0} ^{T))$ $T$ $A$ $A^{T}$ $A$ $A$ $A$ $A$

Nehomogenní soustavy lineárních rovnic

Jádro také hraje důležitou roli při řešení nehomogenních systémů lineárních rovnic:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1 }&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_ {2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}\right.

Nechť vektory a jsou řešením výše uvedené rovnice $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} .

Rozdíl libovolných dvou řešení systému tedy spočívá v jádře matice . $A\mathbb {x} =\mathbb {b}$ $A$

To znamená, že jakékoli řešení rovnice lze vyjádřit jako součet pevného řešení a některého prvku jádra. To znamená, že množina řešení rovnice je $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf{v}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\ že jo\}.

Geometricky to znamená, že množina řešení rovnice vzniká paralelním přenosem jádra matice do vektoru . Viz také Fredholmova alternativa . $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A$ $\mathbf{v}$

Ilustrace

Níže je jednoduchá ilustrace výpočtu jádra matice (viz Gaussův výpočet níže pro metodu vhodnější pro složitější výpočty). Ilustrace se také dotýká řetězcových mezer a jejich vztahu k jádru.

Zvažte matrici

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Jádro této matice se skládá ze všech vektorů , pro které ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3))$

{\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}},

které lze vyjádřit jako homogenní systém lineárních rovnic pro , a : $X$ $y$ $z$

{\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned))

Stejné rovnosti lze zapsat ve formě matice:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Pomocí Gaussovy metody lze matici redukovat na:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].

Převedení matice na rovnice dává:

{\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}

Prvky jádra lze vyjádřit v parametrické podobě takto:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\ quad ({\text{where))\quad c\in \mathbb {R} )

Protože se jedná o volnou proměnnou , která běží přes všechna reálná čísla, lze tento výraz ekvivalentně přepsat jako: $C$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.

Jádrem matice je přesně sada řešení těchto rovnic (v tomto případě čára přes počátek v ). Zde vektor (−1,−26,16) T tvoří základ jádra matice . Vada matrice je 1. $A$ $\mathbb {R} ^{3}$ $A$ $A$

Následující bodové produkty jsou nulové:

{\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad {\text{ a }}\quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}

což ukazuje, že jádrové vektory matice jsou ortogonální ke každému řádkovému vektoru matice . $A$ $A$

Lineární rozsah těchto dvou (lineárně nezávislých) řádkových vektorů je rovina ortogonální k vektoru . ${\displaystyle (-1,-26,16)^{T))$

Protože hodnost matice je 2, dimenze jádra matice je 1 a dimenze matice je 3, máme ilustraci teorému o hodnosti a defektu. $A$ $A$ $A$

Příklady

Jestliže , pak jádrem zobrazení je množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic . Stejně jako na obrázku výše, if je operátor: ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $L$ $L$

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+ 3x_{3})

, pak jádro operátoru L je množina řešení systému

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1} &\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}

Označme vektorový prostor všech spojitých reálných funkcí na intervalu [0,1]. Pojďme definovat pravidlo $C[0,1]$ $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$

L(f)=f(0,3){\text{.))\,

Pak se jádro L skládá ze všech funkcí , pro které .

f\in C[0,1]

f(0,3)=0

Nechť je vektorový prostor všech nekonečně diferencovatelných funkcí a nechť je derivační operátor : $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$

D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}

Pak se jádro D skládá ze všech funkcí v , jejichž derivace je rovna nule, tedy ze všech konstantních funkcí .

C^{\infty }(\mathbb {R} )

Nechť je přímým součinem nekonečného počtu kopií a nechť je operátor posunu ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty ))$ $\mathbb {R}$ ${\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty ))$

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots){\ text{.}}

Pak bude jádrem operátoru s jednorozměrný podprostor sestávající ze všech vektorů .

(x_{1},0,0,\tečky)

Jestliže je pre-Hilbertův prostor a je podprostorem, jádro ortogonální projekce je ortogonálním doplňkem v . $PROTI$ $W$ $V\to W$ $W$ $PROTI$

Gaussovy výpočty

Základ jádra matice lze vypočítat pomocí Gaussovy metody .

Za tímto účelem, když máme matici , nejprve zkonstruujeme matici rozšířenou o řádky , kde je matice identity . $m\krát n$ $A$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right],$ $E$ $n\krát n$

Pokud Gaussovou metodou (nebo jinou vhodnou metodou) vypočítáme sloupcový tvar matice, získáme matici Základ jádra matice tvoří nenulové sloupce matice tak, že odpovídající sloupce matice a jsou nula . $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].$ $A$ $C$ $B$

Ve skutečnosti lze výpočet zastavit, jakmile matice nabude stupňovitého tvaru – zbytek výpočtu spočívá ve změně základu vektorového prostoru tvořeného sloupci, jehož vrchol je roven nule.

Například si to představme

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].

Pak

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\ 0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline

Zmenšíme-li horní část pomocí operací na sloupcích do stupňovité podoby, dostaneme

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0\0\0}right].

Poslední tři sloupce matice jsou nulové. Proto poslední tři vektory matice , $B$ $C$

\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left [\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\ !{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

jsou základem maticového jádra . $A$

Důkaz, že metoda počítá jádro: protože sloupcové operace odpovídají správnému násobení invertibilní maticí, skutečnost, že se redukuje na , implikuje, že existuje invertibilní matice taková, že kde má tvar kroku. Then a Column Vector patří do jádra matice (tj. ) právě tehdy, když kde Vzhledem k tomu, že má stupňovitý tvar, právě tehdy, když nenulové prvky odpovídají nulovým sloupcům matice Po vynásobení můžeme dojít k závěru, že toto se stane tehdy a jen tehdy, když je lineární kombinace odpovídajících sloupců matice $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ $P$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C \end{array}}\right],$ $B$ $AP=B,$ $IP=C,$ $AC=B.$ $proti$ $A$ $Av=0$ $Bw=0,$ $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ $B$ $Bw=0$ $w$ $b.$ $C$ $v=cw$ $C.$

Numerické výpočty

Úloha výpočtu jádra na počítači závisí na povaze koeficientů.

Přesný kurz

Jsou-li koeficienty matice uvedeny jako přesná čísla, lze stupňovitý tvar matice vypočítat Bareisovým algoritmem , který je efektivnější než Gaussova metoda. Ještě efektivnější je použití modulového srovnání a čínské věty o zbytku , které redukují problém na několik podobných problémů nad konečnými poli (což snižuje režii generovanou nelineární výpočetní složitostí násobení celých čísel).

Pro koeficienty z konečného pole funguje Gaussova metoda dobře, ale pro velké matice, které se vyskytují v kryptografii a při výpočtu Gröbnerovy báze , jsou známy lepší algoritmy, které mají téměř stejnou výpočetní složitost , ale jsou rychlejší a vhodnější pro moderní počítačová zařízení . .

Výpočty s pohyblivou řádovou čárkou

Pro matice, jejichž prvky jsou čísla s plovoucí desetinnou čárkou , má úloha výpočtu jádra smysl pouze pro matice, jejichž počet řádků je roven jejímu pořadí - kvůli chybám zaokrouhlování mají matice s plovoucí desetinnou čárkou téměř vždy plné pořadí , dokonce i když jsou aproximací matice mnoha nižších úrovní. Dokonce i pro matici s plnou hodností lze její jádro vypočítat pouze tehdy, když je dobře podmíněné , to znamená, že má nízké číslo podmínky [6] .

A pro dobře podmíněnou matici plného pořadí se Gaussova metoda nechová správně: chyby zaokrouhlení jsou příliš velké na to, aby bylo možné získat smysluplný výsledek. Protože výpočet jádra matice je speciální případ řešení homogenního systému lineárních rovnic, lze jádro vypočítat jakýmkoliv algoritmem určeným k řešení homogenních systémů. Pokročilým softwarem pro tento účel je knihovna Lapack .

Viz také

Poznámky

↑ Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - Null . Matematický trezor (1. srpna 2019). Staženo: 9. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Staženo: 9. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Kernel (nullspace) | Brilantní matematika a věda Wiki . brilantní.org . Staženo: 9. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Lineární algebra, jak je diskutováno v tomto článku, je dobře zavedená matematická disciplína, pro kterou lze nalézt mnoho knih. Téměř celý materiál článku lze nalézt v přednáškách Lay ( Lay, 2005 ), Meyer ( Meyer, 2001 ) a Strang.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Věta o hodnosti a nulitě . mathworld.wolfram.com . Staženo: 9. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Archivovaná kopie . Získáno 14. dubna 2015. Archivováno z originálu 29. srpna 2017. (neurčitý)

Literatura

Sheldon Jay Axler. Lineární algebra Hotovo správně. — 2. - Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-98259-0 .
Gilbert Strang. Lineární algebra a její aplikace. - Moskva: Mir, 1980.
David C Lay. Lineární algebra a její aplikace. — 3. - Addison Wesley, 2005. - ISBN 978-0-321-28713-7 .
Carl D Meyer. Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. - Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku (SIAM), 2001. - ISBN 978-0-89871-454-8 .
David Poole. Lineární algebra: Moderní úvod. — 2. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3 .
Howard Anthony. Elementární lineární algebra (verze aplikací). — 9. — Wiley International, 2005.
Steven J. Leon. Lineární algebra s aplikacemi . — 7. — Pearson Prentice Hall, 2006.
Serge Lang . Lineární algebra. - Springer, 1987. - ISBN 9780387964126 .
Lloyd N. Trefethen, David III Bau. Numerická lineární algebra . - SIAM, 1997. - ISBN 978-0-89871-361-9 .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kernel of a matrix , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy , Úvod do nulového prostoru Matrixu

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný