Elliot-Halberstamova hypotéza

Elliot-Halberstamova hypotéza $EH(\theta)$ je hypotéza o distribuci prvočísel v aritmetickém průběhu . Má mnoho aplikací v sítových metodách. Hypotéza byla pojmenována po Peteru DTA Elliottovi a Heini Halberstamovi .

Nechť je počet prvočísel nepřesahující . Jestliže je přirozené číslo , a a jsou prvočísla, pak označujeme - počet prvočísel nepřesahujících a rovných v modulu . Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetickém postupu říká, že $\pi(x)$ $X$ $q$ $A$ $q$ $\pi (x;q,a)$ $X$ $A$ $q$

\pi (x;q,a)\cca {\frac {\pi (x)}{\varphi (q))),

kde a jsou coprime, a je Eulerova funkce . $A$ $q$ $\varphi (q)$

Nyní definujeme chybovou funkci

\Delta (x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi ( q)}}\right|,

kde maximum je převzato ze všech relativně prvočíselných c $A,$ $q.$

Pak pro každého a každého existuje konstanta taková, že $\theta<1$ $A>0$ $C > 0$

\sum _{1\leqslant q\leqslant x^{\theta }}\Delta (x;q)\leqslant {\frac {Cx}{\ln ^{A}x}}

pro všechny $x>2.$

Tuto domněnku za všechny dokázali Enrico Bombieri a AI Vinogradov. Je známo, že hypotéza není splněna v extrémním bodě $\theta <1/2$ $\theta=1.$

Elliot-Halberstamova hypotéza má několik důsledků. Například výsledek Dana Goldstona uvádí [1] , že za předpokladu platnosti domněnky existuje nekonečně mnoho dvojic prvočísel, které se neliší o více než 16. V listopadu 2013 James Maynard ukázal, že existence nekonečného počtu dvojic po sobě jdoucích prvočísel, která se neliší o více než 12. V srpnu 2014 skupina Polymath ukázala, že za předpokladu, že je zobecněná Elliot-Halberstamova hypotéza pravdivá, existuje nekonečně mnoho dvojic po sobě jdoucích prvočísel, které se neliší o více než 6 [2]. .

Literatura

Vinogradov AI O hypotéze hustoty pro Dirichletovu řadu L // Izv. Akademie věd SSSR. - 1965. - T. 29 , no. 4 . — S. 903–934 .
Bombieri, E. Na velkém sítu // Mathematica. - 1965. - T. 12 . — S. 201–225. - doi : 10.1112/s0025579300005313 .
Elliott, PDTA; Halberstam, H. Dohad v teorii prvočísel, Symp. Matematika.. - 1968. - Sv. 4. - S. 59-72.
Soundararajan, K. Malé mezery mezi prvočísly: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım // Bull. AMS. - 2007. - Sv. 44, č. 1 . — S. 1–18.

Poznámky

↑ arXiv : math.NT/0508185 ; viz také arXiv : math.NT/0505300 , arXiv : math.NT/0506067 .
↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 Archivováno 17. listopadu 2017 na Wayback Machine a http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf Archivováno 27. srpna 2020 na Wayback Machine .

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa