Fisherova skupina

Fischerovy skupiny jsou tři sporadické skupiny Fi 22 , Fi 23 a Fi 24 zavedené Berndem Fischerem [1] [2] .

Skupina 3-permutací

Fischerovy skupiny jsou pojmenovány po Berndu Fischerovi , který skupiny objevil, když zkoumal 3-permutační skupiny. Jedná se o skupiny G s následujícími vlastnostmi:

• G je generován konjugačními třídami prvků řádu 2, nazývanými "Fischerovy permutace" nebo 3-permutace .
• Součin jakýchkoli dvou odlišných permutací má řád 2 nebo 3.

Typickým příkladem 3-permutační grupy je symetrická grupa . Symetrickou grupu Sn lze generovat n − 1 permutacemi — (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Fischer byl schopen klasifikovat skupiny 3-permutací, které splňují určité dodatečné podmínky. Skupiny, které našel, spadají většinou do nějakých nekonečných tříd (kromě symetrických grup sem patří některé třídy symplektických grup, unitárních a ortogonálních grup) a také našel 3 velmi velké nové grupy. Tyto skupiny jsou běžně označovány jako Fi 22 , Fi 23 a Fi 24 . První dvě z nich jsou jednoduché skupiny a třetí obsahuje jednoduchou skupinu Fi 24 ′ s indexem 2.

Výchozím bodem pro Fischerovy skupiny je unitární skupina PSU 6 (2), kterou lze považovat za skupinu Fi 21 v řadě Fischerových skupin. Tato skupina má objednávku 9.196.830.720 = 2 15 ⋅3 6 ⋅5⋅7⋅11 . Ve skutečnosti se dvojitý kryt 2.PSU 6 (2) stává podskupinou nové skupiny. Je stabilizátorem jednoho vrcholu v grafu s 3510 (= 2⋅3 3 ⋅5⋅13) vrcholy. Tyto vrcholy jsou definovány jako konjugované 3-permutace ve skupině symetrie Fi 22 grafu.

Fischerovy skupiny jsou pojmenovány analogicky s velkými Mathieuovými skupinami . Ve Fi 22 má maximální sada 3-permutací, které se vzájemně dojíždějí, velikost 22 a nazývá se základní sada. Existuje 1024 3-permutací, nazývaných anabáze , které nekomutují s žádnou permutací ve zvolené základní sadě. Jakákoli permutace zbývajících 2364 permutací, nazývaná šestimocná , komutuje s 6 základními permutacemi. Množiny 6 permutací tvoří Steinerův systém S(3,6,22), jehož grupa symetrie je M 22 . Základní sada generuje abelovskou skupinu řádu 2 10 , která se ve Fi 22 rozšiřuje na podskupinu 2 10 :M 22 .

Následující Fisherova skupina je získána z 2.Fi 22 jako jednobodový stabilizátor grafu s 31671 (= 3 4 ⋅17⋅23) vrcholy, když jsou vrcholy interpretovány jako 3-permutace ve skupině Fi 23 . 3-permutace mají základní sady velikosti 23 a 7 permutací komutuje s danou vnější 3-permutací.

Další skupina bere Fi 23 jako jednobodový stabilizátor grafu s 306936 (= 2 3 ⋅3 3 ⋅7 2 ⋅29) vrcholy za vzniku Fi 24 . 3-permutace mají základní sady o velikosti 24 a 8 z 24 permutací komutuje s danou vnější 3-permutací. Skupina Fi 24 není jednoduchá skupina, ale její podskupina má index 2 a jde o sporadickou jednoduchou skupinu.

Označení

Pro tyto skupiny neexistuje jednotné označení. Někteří autoři používají F místo Fi (například F 22 ). Fischer použil označení M(22), M(23) a M(24)′, což zdůrazňovalo jejich blízkou příbuznost se třemi největšími Mathieuovými skupinami M 22 , M 23 a M 24 .

Jedním ze zdrojů zmatků je Fi 24 . Tato notace se někdy používá pro jednoduchou skupinu Fi 24 ′ a někdy pro plnou 3-permutační skupinu (dvakrát větší).

Generalized Monstrous Nonsense

Conway a Norton navrhli v roce 1979 článek, v němž tvrdili, že teorie monstrózního nesmyslu [3] nebyla omezena na skupinu Monster a že podobné jevy byly nalezeny i pro jiné skupiny. Larissa Quinn a další zjistili, že je možné sestavit rozšíření mnoha Hauptmoduln (hlavních modulů) [4] z jednoduchých kombinací sporadických skupinových rozměrů.

Poznámky

1. ↑ Fischer, 1971 .
2. ↑ Fischer, 1976 .
3. ↑ Monstrous Nonsense Theory zkoumá neočekávaná spojení mezi skupinou „Monster“ a modulárními funkcemi
4. ↑ Obecně řečeno, Hauptmoduln je termín, který pochází z německého jazyka. Doslova - hlavní modul. V angličtině se používá k označení globálních uniformizačních parametrů některých rozšířených modulárních skupin v teorii Monstrous Nonsense.

Literatura

• Michael Aschbacher. 3-transpoziční skupiny . - Cambridge University Press , 1997. - V. 124. - (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 978-0-521-57196-8 . - doi : 10.1017/CBO9780511759413 . Obsahuje kompletní důkaz Fisherovy věty.
• Bernard Fischer. Konečné grupy generované 3-transpozicemi. I // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 13 , no. 3 . — S. 232–246 . — ISSN 0020-9910 . - doi : 10.1007/BF01404633 . První díl Fisherova předtisku s konstrukcí jeho skupin. Zbytek článku zůstal nepublikován (od roku 2010).
• Bernard Fischer. Konečné skupiny generované 3-transpozicemi . - Matematický institut, University of Warwick, 1976. - (Předtisk).
• Robert A. Wilson. Konečné jednoduché grupy. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - V. 251. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
• Wilson RA ATLAS ze zastoupení Finite Group . Archivováno z originálu 4. prosince 2017.