Skupina Janko J2

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Klein čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace

Skupina Janko J 2 , skupina Hall-Janco ( HJ ) nebo skupina Hall-Janco-Wells je sporadickou řádovou skupinou.

2 7 • 3 3 • 5 2 • 7 = 604 800.

Historie a vlastnosti

J 2 je jednou z 26 sporadických skupin . Jiný název je skupina Hall-Yanko-Wells . V roce 1969 Zvonimir Janko předpověděl J 2 jako jednu ze dvou jednoduchých skupin, které mají 2 1+4 :A 5 jako involuční centralizátor (druhou je Jankova skupina J 3 ). Skupinu sestavili Hall a Wells [1] jako permutační skupinu o hodnotě 3 100 bodů.

Jak Schurův multiplikátor , tak vnější skupina automorfismu mají řád 2.

J 2 je jediná ze 4 skupin Janko, která je podfaktorem monster , takže skupina je součástí rodiny, kterou Robert Griss nazval happy . Protože se skupina nachází v Conwayově skupině Co1 , je také součástí druhé šťastné rodiny .

Zobrazení

J 2 je podgrupa indexu dvou grup automorfismu Hall-Yankova grafu , což vede k permutační reprezentaci řádu 100. Grupa je podgrupou indexu dva ze grup automorfismu Hall-Jankova téměř osmiúhelníku [2] , což vede k permutační reprezentaci řádu 315.

Skupina má modulární reprezentaci dimenze šest přes pole čtyř prvků. Pokud s charakteristikou dva máme w 2 + w + 1 = 0, pak J 2 je generováno dvěma maticemi

{\mathbf {A} }=\left({\begin{matrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2 }&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{matrix }}\že jo)

{\mathbf {B} }=\left({\begin{matrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2} &1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{matrix}} \že jo).

Tyto matice splňují rovnice

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({ \mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

J 2 je Hurwitzova grupa , konečný homeomorfní obraz grupy trojúhelníku (2,3,7) .

Maticová reprezentace uvedená výše tvoří vložení do Dixonovy skupiny G2 ( 4 ) . V G 2 (4) jsou dvě množiny a jsou ekvivalentní v automorfismu pole F 4 . Jejich průnik ("skutečná" podgrupa) je jednoduchá grupa řádu 6048. G 2 (4) je zase izomorfní s podgrupou Conwayovy grupy Co 1 .

Maximální podskupiny

Existuje 9 kosetů maximálních podskupin skupiny J 2 . Některé akce na grafu Hall-Janko zde popsané v pojmech.

U 3 (3) řádu 6048 je jednobodový stabilizátor s dráhami 36 a 63.

Jednoduchá grupa obsahující 36 jednoduchých podskupin řádu 168 a 63 involucí, všechny kossety působící na 80 bodů. Tyto involuce se nacházejí v 12 168 podskupinách. Jeho centralizátor má strukturu 4.S 4 , která obsahuje 6 přídavných involucí.

3.PGL(2,9) řádu 2160 - má subfaktor A 6
2 1+4 : Řád 5 1920 je centralizátor involuce působící na 80 bodech
2 2+4 :(3 × S 3 ) objednávka 1152
A 4 × A 5 řádu 720.

Obsahuje 2 2 × A 5 (asi 240), centralizátor 3 involuce, každá působí na 100 bodů

A 5 × D 10 asi 600
PGL(2,7) objednávka 336
5 2 :D 12 objednávka 300
A 5 objednávka 60

Třídy konjugace

Maximální řád libovolného prvku nepřesahuje 15. Jako permutace prvky působí na 100 vrcholů Hall-Jankova grafu.

Objednat	Prvky	Struktura cyklů a koset
1 = 1	1 = 1	1 třída
2 = 2	315 = 3 2 • 5 • 7	2 40 , 1 tř
2 = 2	2520 = 2 3 • 3 2 • 5 • 7	2 50 , 1 tř
3=3	560 = 2 4 • 5 • 7	3 30 , 1 tř
3=3	16800 = 2 5 • 3 • 5 2 • 7	3 32 , 1 tř
4 = 2 2	6300 = 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7	2 6 4 20 , 1 tř
5 = 5	4032 = 2 6 • 3 2 • 7	5 20 , 2 třídy
5 = 5	24192 = 2 7 • 3 3 • 7	5 20 , 2 třídy
6 = 2 • 3	25200 = 2 4 • 3 2 • 5 2 • 7	2 4 3 6 6 12 , 1. třída
6 = 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	2 2 6 16 , 1. třída
7=7	86400 = 2 7 • 3 3 • 5 2	7 14 , 1. třída
8 = 2 3	75600 = 2 4 • 3 3 • 5 2 • 7	2 3 4 3 8 10 , 1. třída
10 = 2 x 5	60480 = 2 6 • 3 3 • 5 • 7	10 10 , 2 třídy
10 = 2 x 5	120960 = 2 7 • 3 3 • 5 • 7	5 4 10 8 , 2 třídy
12 = 2 2 • 3	50400 = 2 5 • 3 2 • 5 2 • 7	3 2 4 2 6 2 12 6 , 1 tř
15 = 3 * 5	80640 = 2 8 • 3 2 • 5 • 7	5 2 15 6 , 2 třídy

Poznámky

↑ Hall, Wales, 1968 .
↑ Blízký osmiúhelník na 315 bodech . Získáno 4. září 2017. Archivováno z originálu 29. července 2021. (neurčitý)

Literatura

Robert L. Griess , Jr. Dvanáct sporadických skupin. - Berlín, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1998. - (Springerovy monogramy v matematice). — ISBN 3-540-62778-2 .
Hall M., Wales D. Jednoduchá skupina řádu 604 800 // Journal of Algebra . - 1968. - T. 9 . — S. 417–450 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 .
Janko Z. Některé nové jednoduché grupy konečného řádu. I // Symposia Mathematica (INDAM, Řím, 1967/68). - Boston, MA: Academic Press , 1969. - V. 1. - S. 25-64.
Wales DB Jedinečnost jednoduché grupy řádu 604800 jako podgrupy SL(6,4) // Journal of Algebra 11. - 1969. - s. 455–460 .
Wales DB generátory skupiny Hall–Janko jako podskupina G2(4) // Journal of Algebra. - 1969. - T. 13 . — S. 513–516 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 .

Odkazy

MathWorld: Janko Groups Archived 5. září 2017 na Wayback Machine
Atlas konečných skupinových reprezentací: J 2
Podgrupová mřížka J2

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Klein čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace