Funkce Hurwitz zeta

V matematice je Hurwitz zeta funkce , pojmenovaná po Adolfu Hurwitzovi , jednou z mnoha zeta funkcí , které jsou zobecněními Riemannovy zeta funkce . Formálně ji lze definovat jako mocninnou řadu pro komplexní argumenty s , pro Re( s ) > 1 a q , Re( q ) > 0:

\zeta (s,q)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{{s}}}}.

Tato řada je absolutně konvergentní pro dané hodnoty s a q . Riemannova zeta funkce je speciální případ Hurwitzovy zeta funkce pro q = 1.

Analytické pokračování

Hurwitzova zeta funkce připouští analytické pokračování meromorfní funkce , definované pro všechna komplexní s , pro s ≠ 1. V bodě s = 1 má jednoduchý pól se zbytkem 1. Konstantní člen rozšíření Laurentovy řady v blízkosti bodu s = 1 je:

\lim _{{s\to 1}}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)} {\Gamma (q)}}=-\psi (q)

kde Γ( x ) je funkce gama a ψ( x ) je funkce digama .

Řádkové reprezentace

Konvergentní reprezentaci mocninné řady pro q > −1 a libovolný komplex s ≠ 1 získal v roce 1930 Helmut Hasse [1]

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\součet _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\součet _ {{k=0}}^{n}(-1)^{k}{n \vyberte k}(q+k)^{{1-s}}.

Tato řada konverguje jednotně na jakékoli kompaktní podmnožině komplexní s -roviny k celé funkci . Vnitřní součet může být reprezentován jako n-tý konečný rozdíl pro , tj .: $q^{{1-s}}$

\Delta ^{n}q^{{1-s}}=\součet _{{k=0}}^{n}(-1)^{{nk}}{n \choose k}(q+k )^{{1-s}}

kde Δ je operátor konečného rozdílu . Takto

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n +1}}\Delta ^{n}q^{{1-s}}

={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{{1-s}}.

Integrální reprezentace

Hurwitzova zeta funkce má integrální reprezentaci ve formě Mellinovy transformace :

\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{{s-1}}e^{{ -qt}}}{1-e^{{-t}}}}dt

pro Re( s )>1 a Re( q )>0.

Hurwitzův vzorec

\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{{-i\pi s/2}}\beta (x;s)+e^{{i\ pi s/2}}\beta (1-x;s)\vpravo]

kde

\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\součet _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n )^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{{2 \pi ix}})

Tato reprezentace Hurwitzovy zeta funkce platí pro 0 ≤ x ≤ 1 as > 1. Zde je polylogaritmus . ${\text{Li}}_{s}(z)$

Funkční rovnice

Tato funkční rovnice dává do vztahu hodnoty Hurwitzovy zeta funkce nalevo a napravo od přímky Re( s )=1/2 v komplexní s -rovině. Pro přirozené m an takové, že m ≤ n:

\zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\součet _ {{k=1}}^{n}\left[cos\left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\ zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]

platí pro všechny hodnoty s .

Taylorova řada

Derivace funkce Hurwitz zeta vzhledem k druhému argumentu je také vyjádřena pomocí funkce Hurwitz zeta:

{\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).

Takže Taylorova řada je:

\zeta (s,x+y)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!)}}{\frac {\částečné ^{k } }{\částečné x^{k))}\zeta (s,x)=\součet _{{k=0))^{\infty }{s+k-1 \vyberte s-1}(-y ) ^{k}\zeta (s+k,x).

Laurentova série

Laurentova expanze Hurwitz zeta může být použita k určení konstant které se objevují v expanzi:

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\součet _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ n!}}\gama _{n}(q)\;(s-1)^{n}.

Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace s ohledem na proměnnou s funkce Hurwitz zeta je Legendreova funkce chi [2]

Spojení s Bernoulliho polynomy

Výše definovaná funkce zobecňuje Bernoulliho polynomy : $\beta (x;n)$

B_{n}(x)=-Zpět\vlevo[(-i)^{n}\beta (x;n)\vpravo]

Na druhou stranu,

\zeta (-n,x)=-{B_{{n+1}}(x) \over n+1}.

Zejména když : $n=0$

\zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.

Vztah s funkcí Jacobi theta

Pokud je funkce Jacobi theta , pak $\vartheta (z,\tau )$

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{ {-(1-s)/2}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s ,1-z)\vpravo]

Tento vzorec platí pro Re( s ) > 0 a jakýkoli komplex z , který není celým číslem. Pro celé číslo z = n je vzorec zjednodušený:

\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{{s/2}}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{{-(1-s)/2}}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{{- s/2}}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)

kde ζ( s ) je Riemannova zeta funkce. Posledním výrazem je funkční rovnice pro Riemannovu zeta funkci.

Spojení s funkcí Dirichlet L

Pro racionální hodnoty argumentu může být Hurwitzova zeta funkce reprezentována jako lineární kombinace Dirichletových L-funkcí a naopak. Pokud q = n / k pro k > 2, ( n , k ) > 1 a 0 < n < k , pak

\zeta (s,n/k)=\součet _{\chi }\overline {\chi }(n)L(s,\chi ),

sumace se provádí přes všechny Dirichletovy znaky modulo k . A zpět

L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\součet _{{n=1}}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s, {\frac {n}{k}}\vpravo).

zejména platí následující vyjádření:

k^{s}\zeta (s)=\součet _{{n=1}}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),

zobecňující

\sum _{{p=0}}^{{q-1}}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa).

(Platí pro přirozené q a nepřirozené 1 − qa .)

Racionální hodnoty argumentů

Funkce Hurwitz zeta se vyskytuje v různých zajímavých vztazích pro racionální hodnoty argumentů. [2] Zejména pro Eulerovy polynomy : $E_{n}(x)$

E_{{2n-1}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{{2n))))\součet _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

E_{{2n}}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{ {2n+1}}}}\součet _{{k=1}}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\ frac {(2k-1)\pi p}{q}}

kromě

\zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{{s-1}}\sum _{{k=1}}^{q}\ vlevo[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{ s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]

správné pro . Zde a jsou vyjádřeny v termínech Legendre chi-funkce jako $1\leq p\leq q$ $C_{\nu }(x)$ $S_{\nu }(x)$ $\chi _{\nu }$

C_{\nu }(x)=\jméno operátora {Re}\,\chi _{\nu }(e^{{ix)))

S_{\nu }(x)=\jméno operátora {Im}\,\chi _{\nu }(e^{{ix}}).

Aplikace

Funkce Hurwitz zeta se objevuje v různých odvětvích matematiky. Nejčastěji se vyskytuje v teorii čísel , kde je její teorie nejvíce rozvinutá. Také Hurwitzova zeta funkce se nachází v teorii fraktálů a dynamických systémů . Funkce Hurwitz zeta se používá v matematické statistice , vzniká v Zipfově zákoně . Ve fyzice elementárních částic se vyskytuje ve Schwingerově vzorci [3] , který dává přesný výsledek pro index produkce páru v Diracově rovnici pro stacionární elektromagnetické pole .

Speciální případy a zobecnění

Funkce Hurwitz zeta souvisí s funkcí polygamma :

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z).

Funkce Lerch zeta zobecňuje funkci Hurwitz zeta:

\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}

to znamená

\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).

Poznámky

↑ Helmut Hasse. Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe (německy) // Mathematische Zeitschrift. - 1930. - Bd. 32 , č. 1 . - doi : 10.1007/BF01194645 .
↑ 1 2 Djurdje Cvijovic, Jacek Klinowski. Hodnoty funkcí Legendre chi a Hurwitz zeta v racionálních argumentech // Math . Comp.. - 1999. - No. 68 . — S. 1623-1630 .
↑ J. Schwinger. Invariance měřidla a polarizace vakua // Fyzikální přehled. - 1951. - T. 82 , č. 5 . — S. 664–679 . - doi : 10.1103/PhysRev.82.664 .

Literatura

Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 .
Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments , Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), str. 201-206.
Linas Vepstas, operátor Bernoulli, operátor Gauss-Kuzmin-Wirsing a Riemann Zeta
Istvan Mezo a Ayhan Dil, Hyperharmonická řada zahrnující funkci Hurwitz zeta (odkaz není k dispozici) , Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.

Odkazy

Jonathan Sondow a Eric W. Weisstein. Hurwitz Zeta Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .