Problém tří těl

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Problém tří těles v astronomii je jedním z úkolů nebeské mechaniky , spočívající v určení vzájemného pohybu tří těles (hmotných bodů) interagujících podle Newtonova gravitačního zákona (například Slunce , Země a Měsíce ). Na rozdíl od problému dvou těles v obecném případě problém nemá řešení ve formě konečných analytických výrazů. Pro speciální počáteční rychlosti a souřadnice objektů jsou známa pouze jednotlivá přesná řešení.

Matematická formulace

Obecný problém tří těles v nebeské mechanice je popsán systémem obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ tučný symbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

kde je gravitační konstanta , jsou hmotnosti těles, jsou vektory poloměru, které určují jejich polohu, a tečka znamená časovou derivaci. $\gamma$ $m_{i}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Soukromá rozhodnutí

V současné době je známo více než tisíc konkrétních řešení:

První tři řešení našel Euler v roce 1767. Existují, když jsou všechna tři těla na stejné přímce . V tomto případě existují 3 možné sekvence uspořádání (třetí tělo je mezi dalšími dvěma, buď nalevo nebo napravo od obou). Takový pohyb se nazývá kolineární .
Další dvě řešení našel v roce 1772 Lagrange . V nich trojúhelník tvořený tělesy zůstává rovnostranný a otáčí se v prostoru.
V letech 1892-1899 Henri Poincaré dokázal, že existuje nekonečně mnoho konkrétních řešení problému tří těles.
V roce 1911 objevil W. D. Macmillan nové partikulární řešení, ale bez jasného matematického zdůvodnění. Až v roce 1961 se sovětskému matematikovi K. A. Sitnikovovi podařilo najít pro tento případ rigorózní matematický důkaz (viz Sitnikovův problém ).
V polovině 70. let R. Broucke ( anglicky Roger A. Broucke ), M. Henot ( francouzsky Michel Hénon ) a J. Hadjidemetriou ( anglicky John D. Hadjidemetriou ) nezávisle na sobě objevili rodinu trajektorií Brooke-Hénot - Hadjidemetriou [1] .
V roce 1993 našel Moore [2] [3] jiné řešení v podobě stabilních „osmi“ drah .

V roce 2013 našli srbští vědci Milovan Shuvakov a Velko Dmitrashinovich z Fyzikálního ústavu v Bělehradě 11 nových periodických dílčích řešení problému tří těles o stejné hmotnosti [1] [4] .
Do roku 2017 skupina čínských matematiků vytvořila svůj vlastní algoritmus pro hledání periodických trajektorií, který nazvali Clean Numerical Simulation . S jeho pomocí vědci vypočítali nové trajektorie, v důsledku čehož počet známých rodin periodických trajektorií pro problém tří těles se stal 695. V pokračování práce tato skupina vědců vypočítala dalších 1223 konkrétních řešení problému.
V roce 2018 našli matematik Liao Shijun a jeho kolegové z Shanghai Transport University 234 nových konkrétních řešení problému tří těles bez kolizí pomocí superpočítače [5] .

Obecný případ

Pokud jde o obecný případ, Weierstrass navrhl následující problém ( 1885 , soutěž o cenu švédského krále Oscara II ):

Nechť je dána soustava libovolného počtu hmotných bodů interagujících podle Newtonova zákona. Za předpokladu, že nedojde ke kolizi žádných dvou bodů, je nutné znázornit souřadnice každého bodu ve formě řady z hlediska nějakých spojitých funkcí času, rovnoměrně konvergujících pro všechny reálné hodnoty této proměnné. .

— Pogrebyssky I. B. Komentář k Poincarého problému tří těles // Poincaré A . Vybraná díla. - T. 2. - M.: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Přibližné řešení

Zdá se, že sám Weierstrass, opírající se o svou slavnou větu o aproximaci libovolné funkce polynomy , chtěl získat výraz pro souřadnice těles ve tvaru

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

kde jsou nějaké polynomy. $P_{n}$

Existence takových polynomů bezprostředně vyplývá z kontinuity řešení, ale zatím se nepodařilo najít konstruktivní způsob, jak polynomy najít.

Diskuse o samotné možnosti situace popsané v problému Weierstrass vedla k řadě důležitých závěrů:

Pokud je řešením problému tří těles holomorfní funkce v intervalu a přestane být taková v , pak pro nebo všechny vzdálenosti mezi tělesy mají tendenci k nule (trojitá srážka těles), nebo jedno z nich má tendenci k nule a další dvě mají tendenci ke konečným limitům (jednoduchá srážková tělesa). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\rightarrow t_{0}-0$
Trojitá srážka v problému tří těles je možná pouze v případě, že moment hybnosti systému zmizí, a proto může nastat pouze s velmi speciálními počátečními daty. ( F. A. Sludsky , 1874);
Pokud moment hybnosti soustavy není roven nule, pak existuje tzv. regularizační parametr , pomocí kterého lze holomorfně vyjádřit souřadnice a čas v blízkosti reálné osy . ( Sundman , 1912; krátký důkaz podal v roce 1967 Burdet [6] ). $s$ $s$

To přimělo Poincarého a Zundmana hledat řešení nikoli ve formě funkcí , ale ve formě řady nějakého parametru. Konkrétně, souřadnice tří těles a času jsou holomorfní funkce podél celé reálné osy roviny , to znamená, že existuje nějaká oblast, ve které jsou souřadnice holomorfní. Podle Riemannovy věty lze tuto oblast zmapovat na kružnici o jednotkovém poloměru , takže souřadnice tří těles a čas lze reprezentovat jako funkce parametru holomorfní v kružnici o jednotkovém poloměru. Takové funkce mohou být reprezentovány jako řady v kladných mocninách sbíhajících se v celém kruhu . Tyto řady byly nalezeny Zundmanem v roce 1912 , přesněji řečeno, byl nalezen algoritmus pro nalezení jejich koeficientů. Bohužel, jak ukázal D. Beloritsky [7] , alespoň v případě Lagrange, pro potřeby výpočetní astronomie je třeba brát alespoň pojmy v konvergentních Sundmanových řadách. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $proti$ $proti$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Přesné řešení

Systém tří těles je nejjednodušší systém s dynamickým chaosem [1] .

Bruns a Poincaré dokázali, že soustavu diferenciálních rovnic pro pohyb tří těles nelze redukovat na integrovatelnou [1] . Jejich objev znamená, že dynamické systémy nejsou izomorfní .

Jednoduché integrovatelné systémy lze rozložit na neinteragující subsystémy, ale v obecném případě nelze interakce vyloučit.

Viz také

Problém dvou těl
Problém gravitačního N-tělesa
Michael Minovič
Faddeevovy rovnice (problém tří částic v kvantové mechanice.)

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. V problému tří těles bylo objeveno více než šest set periodických trajektorií : [ arch. 7. listopadu 2018 ] // N+1. - 2017. - 12. října.
↑ Stewart, 2016 , str. 217.
↑ Srbští fyzici výrazně rozšířili počet známých řešení „problému tří těles“ . Staženo 10. ledna 2019. Archivováno z originálu 11. ledna 2019. (neurčitý)
↑ Fyzici našli nová řešení newtonovského problému tří těles . Lenta.ru (11. března 2013). Získáno 17. března 2013. Archivováno z originálu 21. března 2013. (neurčitý)
↑ Li, Xiaoming a Liao, Shijun. Bezkolizní periodické dráhy v problému tří těles s volným pádem . — 2018-05-21.
↑ Maršál K. Problém tří těles. M.-Iževsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Literatura

Alekseev V. M. Přednášky o nebeské mechanice. - Iževsk: RHD, 2001. - 156 s.
Siegel KL Přednášky o nebeské mechanice. — M. : IL, 1959. — 300 s.
Maršál K. Problém tří těles. - Iževsk: RHD, 2004. - 640 s.
Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Odkazy

Chenciner, Alain (2007). "Problém tří těl". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Vědci jsou blízko konečnému vyřešení problému tří těl . Populární mechanika (13. května 2021). (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph124613

Nebeská mechanika

Zákony a úkoly	Newtonovy zákony Zákon gravitace Keplerovy zákony Problém dvou těl Problém tří těl Problém gravitačního N-tělesa Bertrandův problém Keplerova rovnice
Nebeská sféra	Nebeský souřadnicový systém galaktický horizontální rovníkový ekliptický Mezinárodní nebeský souřadnicový systém Sférický souřadnicový systém světová osa Nebeský rovník rektascenzi deklinace Ekliptický Rovnodennost Slunovrat základní rovina
Parametry oběžné dráhy	Kepleriánské prvky oběžné dráhy excentricita hlavní poloosa střední anomálie zeměpisná délka vzestupného uzlu argument periapse Apocentrum a periapse Orbitální rychlost Orbitální uzel Epocha
Pohyb nebeských těles	Pohyb Slunce a planet v nebeské sféře Ephemeris Konfigurace planet konfrontace sloučenina kvadratura prodloužení přehlídka planet Zatmění zatmění Slunce zatmění měsíce saros Metonický cyklus Povlak Návod vyvrcholení hvězdné období synodické období Doba střídání orbitální rezonance Předehra rovnodennosti Sblížení librace Rozsah gravitace Kozaiův efekt Yarkovského efekt Džanibekovův efekt

Astrodynamika

Vesmírný let	vesmírná rychlost první (kruhový) druhý (parabolický) Třetí Čtvrtý Ciolkovského vzorec Gravitační manévr Hohmannova trajektorie Metoda oskulačních elementů Slapové zrychlení Změna sklonu oběžné dráhy Meziplanetární dopravní síť Dokování Lagrangeovy body Pionýrský efekt
SC oběžné dráhy	geostacionární oběžná dráha Heliocentrická oběžná dráha geosynchronní oběžná dráha geocentrická dráha geotransferová dráha Nízká oběžná dráha Země polární oběžná dráha Orbit "Tundra" Slunečně synchronní oběžná dráha Orbit "blesk" Oskulační oběžná dráha