Kvadratická funkce jedné proměnné

Kvadratická funkce je celá racionální funkce druhého stupně tvaru , kde a . Rovnice kvadratické funkce obsahuje čtvercový trinom . Grafem kvadratické funkce je parabola . Mnoho vlastností grafu kvadratické funkce nějak souvisí s vrcholem paraboly, který do značné míry určuje polohu a vzhled grafu. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a \neq 0$ $a,b,c\in \mathbb {R}$

Přehled hlavních funkcí

Mnoho vlastností kvadratické funkce závisí na hodnotě koeficientu . V následující tabulce je uveden přehled hlavních vlastností kvadratické funkce [1] . Jejich důkaz je zvažován v článku v příslušných částech. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $A$

Vlastnictví	$a>0$	$a<0$
Rozsah funkcí	$D(f)=\mathbb {R}$
Sada hodnot funkcí	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Funkční parita	Sudá funkce pro ; ani sudé, ani liché $b=0$ $b\neq 0$
Periodicita funkce	Neperiodická funkce
Kontinuita funkce	Všude spojitá funkce, žádné body nespojitosti
Funkce nuly	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , pokud neexistují skutečné nuly, pokud $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Funkční limit při $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ v $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ v $x\to \pm \infty$
Funkční diferencovatelnost	Všude násobně diferencovatelné: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Extrémní body (Absolutní extrém)	$x_{min}={\frac {-b}{2a))$ (minimální)	$x_{max}={\frac {-b}{2a))$ (maximum)
Intervaly přísné monotónnosti	snižuje se zvyšuje o $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	zvyšuje o snižuje o $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Konvexnost funkce	Všude dolů konvexní funkce	Všude konvexní funkce
Inflexní body	Žádné inflexní body
Omezení funkce	Omezeno zdola	Omezeno shora
Největší hodnota funkce	Žádné (neomezené shora)	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
Nejmenší hodnota funkce	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$	Žádný (neomezený zdola)
Pozitivní funkční hodnoty	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	$(x_{1};x_{2})$
Záporné funkční hodnoty	$(x_{1};x_{2})$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Vliv koeficientů na transformaci grafu

Standardní zápis rovnice kvadratické funkce

Reálná čísla a v obecném zápisu kvadratické funkce se nazývají její koeficienty. V tomto případě se koeficient obvykle nazývá senior a koeficient je volný. Změna každého z koeficientů vede k určitým transformacím paraboly. $A$ $b$ $C$ $A$ $C$

Podle hodnoty koeficientu lze posoudit, kterým směrem směřují jeho větve (nahoru nebo dolů) a vyhodnotit stupeň jeho roztažení nebo stlačení vzhledem k ose y : $A$

Jestliže , pak větve paraboly směřují nahoru, to znamená, že její vrchol je umístěn níže. $a>0$
Pokud , pak větve paraboly směřují dolů, to znamená, že její vrchol je umístěn nahoře. $a<0$
Jestliže , pak je parabola stlačena podél osy y, to znamená, že se zdá širší a plošší. $|a|<1$
Jestliže , pak je parabola natažena podél osy y, to znamená, že se zdá užší a strmější. $|a|>1$

Vliv hodnoty koeficientu lze nejjednodušeji ilustrovat kvadratickou funkcí tvaru , tedy v případě a . V tomto případě se kvadratická funkce změní na lineární . $A$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b=0$ $c=0$ $a=0$

Změna koeficientu bude mít za následek posun paraboly jak vzhledem k ose x , tak vzhledem k ose pořadnice . Když se hodnota zvýší o 1, parabola se posune doleva a současně dolů. Snížením o 1 se parabola posune doprava a současně nahoru. Takové transformace se vysvětlují tím, že koeficient charakterizuje sklon tečny k parabole v průsečíku s osou pořadnice (tj. v ). $b$ $b$ $1/2a$ $(2b+1)/4a$ $b$ $1/2a$ $(2b-1)/4a$ $b$ $x=0$

Koeficient charakterizuje paralelní posun paraboly vzhledem k ose y (tj. nahoru nebo dolů). Zvýšením hodnoty tohoto koeficientu o 1 se parabola posune o 1 nahoru. Pokud se tedy koeficient sníží o 1, parabola se také posune dolů o 1. Vzhledem k tomu, že koeficient ovlivňuje i polohu vrcholu paraboly, nelze pouze podle hodnoty koeficientu posoudit, zda je vrchol umístěn nad nebo pod osou x. $C$ $C$ $b$ $C$

Zápis kvadratické funkce z hlediska souřadnic vrcholu paraboly

Jakákoli kvadratická funkce může být získána roztažením/kompresí a paralelním překladem nejjednodušší kvadratické funkce . Graf funkce formuláře se tedy získá kompresí (at ) nebo roztažením (at ) grafu funkce v čase, následovaným jeho paralelním přenosem o jednotky doprava a jednotky nahoru (pokud jsou tyto hodnoty záporná čísla, pak doleva a dolů). Je zřejmé, že po provedení transformace se vrchol paraboly funkce bude pohybovat z bodu do bodu . Tato skutečnost poskytuje další způsob, jak vypočítat souřadnice vrcholu paraboly libovolné kvadratické funkce převedením její rovnice do tvaru , který vám umožní okamžitě vidět souřadnice vrcholu paraboly - . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ $f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$ $a<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $A$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ $f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$ $(x_{0};y_{0})$

Převod libovolné kvadratické funkce tvaru do tvaru umožňuje metodu výběru plného čtverce pomocí vzorců zkráceného binomického násobení : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac {4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, kde a

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))

Porovnáním hodnot pro a vypočtených diferenciální metodou (viz odpovídající část článku) se lze také ujistit, že se jedná o souřadnice vrcholu paraboly. V konkrétních případech není vůbec nutné se dané těžkopádné vzorce učit nazpaměť, výhodnější je pokaždé provést transformaci polynomu přímo do požadovaného tvaru. V konkrétním příkladu tato metoda vypadá takto: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

Nevýhodou této metody je její těžkopádnost, zejména v případě, kdy v důsledku závorek musíte pracovat se zlomky . Vyžaduje také určitou zručnost v zacházení se zkrácenými násobícími vzorci .

Obecný důkaz uvažovaný výše však vede k jednoduššímu způsobu výpočtu souřadnic vrcholu paraboly pomocí vzorců a . Například pro stejnou funkci máme: $x_{0}={\frac {-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Tedy, . $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

Nuly funkce

Počet nul kvadratické funkce

Kvadratická funkce je celá racionální funkce druhého stupně, takže v reálné oblasti může mít nejvýše dvě nuly . V případě rozšíření komplexní oblasti lze říci, že kvadratická funkce má v každém případě přesně dvě komplexní nuly, které mohou být přísně reálná čísla nebo mohou obsahovat imaginární jednotku .

Počet nul kvadratické funkce můžete určit bez řešení odpovídající kvadratické rovnice výpočtem diskriminantu . Přitom existují různé varianty jeho výpočtu: obyčejný (použitelný vždy), redukovaný (vhodný v případě sudého koeficientu ) a redukovaný (použitelný pouze pro redukovaný polynom). V tomto případě se budou číselné hodnoty v každém případě lišit, avšak znaménko diskriminantu se bude shodovat bez ohledu na variaci. $b$

Plně diskriminační	Snížený diskriminant	Snížený diskriminant
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Bez ohledu na výpočet diskriminantu budou pravdivá následující tvrzení:

Jestliže , pak funkce má jednu nulu násobnosti 2, která se shoduje s úsečkou vrcholu paraboly; $D=0$
Jestliže , pak má funkce dvě reálné nuly a parabola protíná osu x ve dvou bodech; $D>0$
Jestliže , pak funkce nemá žádné reálné nuly (obě její nuly budou komplexní čísla) a její graf je umístěn zcela nad osou úsečky (if ) nebo leží zcela pod ní (if ). $D<0$ $a>0$ $a<0$

Například pro funkci používající standardní vzorec pro diskriminant dostaneme: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

To znamená, že tato funkce má dvě reálné nuly, to znamená, že její parabola protíná osu x ve dvou bodech.

Metody pro výpočet nul kvadratické funkce

Hledání nul kvadratické funkce je redukováno na řešení kvadratické rovnice , kde . Konkrétní metoda nejvhodnější pro konkrétní kvadratickou funkci závisí do značné míry na jejích koeficientech. Ve všech speciálních případech je kromě speciálních vzorců a metod vždy použitelný univerzální vzorec. Ve všech uvedených vzorcích obsahujících druhou odmocninu je třeba mít na paměti, že pokud je kořenový výraz záporné číslo , pak kvadratická funkce nemá v reálné oblasti žádné nuly, ale má dvě komplexní nuly. $ax^{2}+bx+c=0$ $a \neq 0$

V nejobecnějším případě se používá univerzální vzorec:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

V případě dané rovnice tvaru , ve které je vedoucí koeficient roven jedné, se použije zjednodušený vzorec: $x^{2}+px+q=0$ $A$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

Redukovaný tvar z obecného získáte vydělením původní rovnice číslem . Ve stejné době, samozřejmě, a .

ax^{2}+bx+c=0

A

p=b/a

q=c/a

V případě neúplné kvadratické rovnice pro má rovnice mocninnou formu . Proto pomocí metod řešení mocninných rovnic získáme: $b=0$ $ax^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

V případě neúplné kvadratické rovnice pro má rovnice tvar a k jejímu řešení je vhodné použít faktorizační metodu . Když to vyjmeme ze závorek, dostaneme . Máme tedy: $c=0$ $ax^{2}+bx=0$ $sekera$ $ax(x+b/a)=0$

x_{1}=0

x_{2}={\frac {-b}{a))

Parita a symetrie kvadratické funkce

Symetrie kolem osy y

Kvadratická funkce je celá racionální funkce druhého stupně, takže pro ni platí všechny odpovídající vlastnosti celé racionální funkce. Zejména je sudý pouze tehdy, pokud jeho polynom obsahuje pouze sudé exponenty a lichý, pokud obsahuje pouze liché exponenty. Z toho vyplývá, že žádná kvadratická funkce nemůže být lichá, protože je na ni zpočátku kladena podmínka , a proto bude vždy obsahovat sudý exponent 2. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Navíc je zřejmé, že kvadratická funkce je sudá pouze v případě, že neexistuje exponent 1, což znamená . Tuto skutečnost lze snadno přímo dokázat. Je tedy zřejmé, že funkce je sudá, protože platí: $b=0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, to je .

f(-x)=f(x)

Kvadratická funkce je tedy symetrická podle osy y pouze tehdy, když . Konkrétní hodnoty koeficientů tuto skutečnost vůbec neovlivňují. Zejména se může také rovnat nule, to znamená, že ve vzorci chybí. V tomto případě se bude vrchol paraboly shodovat s počátkem souřadnicového systému. $b=0$ $A$ $C$ $C$

Ve všech ostatních případech nebude kvadratická funkce sudá ani lichá, to znamená, že jde o funkci obecného tvaru. To lze také snadno ukázat pomocí definice parity funkce :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, to je .

f(-x)\neq f(x)

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, to je .

f(-x)\neq -f(x)

Osová symetrie obecně

Přitom graf libovolné kvadratické funkce má osovou symetrii. Jak víte, pokud platí rovnost pro nějakou funkci pro nějaké číslo , pak graf této funkce má osovou symetrii vzhledem k přímce . Ve vztahu ke kvadratické funkci je takové číslo úsečkou vrcholu její paraboly. Graf jakékoli kvadratické funkce je tedy symetrický vzhledem k ose rovnoběžné s osou y a procházející vrcholem paraboly a osa symetrie funkce je přímka . $f(x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $x=-b/2a$

Důkaz této skutečnosti také není těžký:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{ \frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ vpravo)+b\vlevo(x-{\frac {b}{2a}}\vpravo)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Transformace vede k podobnému výsledku:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a))\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Proto je graf funkce symetrický vzhledem k přímce . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac {-b}{2a}}$

Výpočet vrcholu paraboly pomocí nul funkce

Protože osa symetrie paraboly vždy prochází jejím vrcholem, je zřejmé, že nuly kvadratické funkce jsou také vždy symetrické vzhledem k úsečce vrcholu paraboly. Tato skutečnost usnadňuje výpočet souřadnic vrcholu paraboly pomocí známých nul funkce. V oboru reálných čísel tato metoda funguje pouze tehdy, když parabola protíná osu úsečky nebo se jí dotýká, to znamená, že má nuly z reálné plochy.

V případě, kdy má kvadratická funkce pouze jednu nulu ( o násobnosti 2), pak se zjevně jedná o vrchol samotné paraboly. Pokud má parabola nuly a , pak úsečku jejího vrcholu lze snadno vypočítat jako aritmetický průměr nul funkce. Pořadnice vrcholu se vypočítá dosazením jeho úsečky do původní rovnice funkce: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Tato metoda bude zvláště výhodná, když je kvadratická funkce uvedena v její faktorizované formě. Takže například parabola funkce bude mít vrchol s následujícími souřadnicemi: $f(x)=2(x-1)(x+3)$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

V tomto případě není ani nutné převádět rovnici funkce do obecného tvaru.

Výzkum metodami diferenciální a integrální analýzy

Derivát a primitivní

Jako každá celá racionální funkce je i kvadratická funkce diferencovatelná v celém svém oboru definice . Jeho derivát lze snadno najít pomocí základních pravidel diferenciace: . Vidíme tedy, že derivace kvadratické funkce je lineární funkcí , která buď striktně monotónně roste (if ) nebo přísně monotónně klesá (if ) v celém definičním oboru. Je také snadné vidět, že , což znamená, že koeficient v rovnici původní funkce je roven sklonu paraboly v počátku. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $a<0$ $f'(0)=b$ $f'(0)=b$

Kvadratická funkce, jako každá celá racionální funkce, je také integrovatelná v celé své definiční oblasti . Jeho primitivní funkce je zjevně kubická funkce :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, kde .

d\in \mathbb {R}

Monotónnost a extrémní body

Je zřejmé, že vrchol paraboly je její nejvyšší nebo nejnižší bod, to znamená absolutní extrém kvadratické funkce (minimum v a maximum v ). Proto úsečka vrcholu paraboly rozděluje definiční obor funkce na dva monotónní intervaly, z nichž na jednom se funkce zvětšuje a na druhém zmenšuje. Pomocí metod diferenciálního počtu lze s využitím této skutečnosti snadno odvodit jednoduchý vzorec pro výpočet souřadnic vrcholu paraboly dané obecnou rovnicí prostřednictvím jejích koeficientů. $a>0$ $a<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Podle nutné a postačující podmínky pro existenci extrému získáme: . Zároveň pokud . Funkce je konstantní funkce s a s . Tím je v bodě splněno nutné a dostatečné kritérium pro existenci extrému . Máme tedy souřadnice vrcholu: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x)=0$ $x=-b/2a$ $f''(x)=2a$ $f''>0$ $a>0$ $f''<0$ $a<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Vrchol paraboly rozděluje definiční obor kvadratické funkce na dva monotónní intervaly: a . Pro , funkce na prvním z nich je přísně monotónně klesající a na druhém přísně monotónně rostoucí. V případě je tomu přesně naopak. $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a))\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $a<0$

V tomto případě si tyto vzorce vůbec nemůžete pamatovat, ale jednoduše pokaždé použijte kritéria pro existenci extrému pro každou konkrétní kvadratickou funkci. Nebo se doporučuje zapamatovat si pouze vzorec pro výpočet úsečky vrcholu paraboly. Jeho pořadnici lze snadno vypočítat dosazením vypočítané úsečky do rovnice specifické funkce. $x_{0}=-b/2a$

Například pro funkci dostaneme: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Rightarrow S(-2;-3)

Vrchol paraboly této funkce má tedy souřadnice . V tomto případě je funkce přísně monotónně klesající na intervalu a přísně monotónně rostoucí na intervalu $(-2;-3)$ $(-\infty ;-2)$ $(-2;+\infty )$

Konvexnost a inflexní body

Protože druhá derivace kvadratické funkce je konstantní lineární funkce , nemá inflexní body , protože její hodnota je konstantní, a proto nebude pro žádný z jejích bodů splněno dostatečné kritérium. Navíc je zřejmé, že pro , bude původní kvadratická funkce všude konvexní směrem dolů (vzhledem k tomu, že její druhá derivace je všude kladná), a pro , bude všude konvexní nahoru (její druhá derivace bude všude záporná). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $a<0$

Invertibility kvadratické funkce

Protože kvadratická funkce není striktně monotónní, je nevratná . Protože však každá spojitá funkce může být invertována na jejích intervalech striktní monotonie, pak pro jakoukoli kvadratickou funkci existují dvě inverzní funkce odpovídající jejím dvěma intervalům monotonie. Inverzní pro kvadratickou funkci na každém z jejích intervalů monotonie jsou funkce aritmetické odmocniny [2] .

Takže aritmetická funkce druhé odmocniny je inverzní funkce druhé odmocniny na intervalu . V souladu s tím je funkce inverzní k funkci na intervalu . Grafy funkcí a budou navzájem symetrické vzhledem k přímce . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty ;0]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Abychom našli inverzní funkce pro libovolnou kvadratickou funkci, je vhodnější ji reprezentovat ve tvaru , kde je vrchol její paraboly. Dále použijeme známou metodu pro hledání inverzních funkcí - prohodíme proměnné a znovu vyjádříme pomocí : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$ $(x_{0};y_{0})$ $X$ $y$ $y$ $X$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0))

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Inverzní k intervalu je tedy funkce . $f(x)$ $[x_{0};+\infty )$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Na intervalu inverzní k je funkce . $(-\infty ;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

Například pro funkci s vrcholem dostaneme: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ $(-2;-3)$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

na intervalu .

[-2;+\infty )

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

na intervalu .

(-\infty ;-2]

Příklady vzhledu v praxi

Závislost výšky volně padajícího tělesa na čase.
Závislost plochy kruhu na jeho lineárních rozměrech (například poloměr ).
Závislost vzdálenosti na čase pro rovnoměrně zrychlený pohyb.
Závislost tlaku na průtoku (tlaková charakteristika odstředivého čerpadla).

Generalizace

Zobecnění na případ mnoha proměnných slouží jako povrchy druhého řádu , obecně lze takovou rovnici zapsat jako:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Zde: je matice kvadratického tvaru , je konstantní vektor , je konstanta. Vlastnosti funkce, stejně jako v jednorozměrném případě, jsou určeny hlavním koeficientem - maticí . $A$ ${\vec {b}}$ $C$ $A$

Viz také

Afinní kvadratická funkce

Poznámky

↑ Kvadratická funkce // Velká školní encyklopedie. - M .: "Ruské encyklopedické partnerství", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponencial- und Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ německy. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 str. — ISBN 3-580-63631-6 .

Literatura

Scanavi M.I. Graf čtvercového trojčlenu // Elementární matematika. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 s.
Kaplan I.A. Třicátá třetí praktická hodina (extrém kvadratické funkce) // Praktické hodiny vyšší matematiky. - 3. vyd. - Charkov, 1974. - S. 449-451.