Lokálně triviální svazek
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 9. července 2021; ověření vyžaduje
1 úpravu .
Lokálně triviální svazek je svazek , který lokálně vypadá jako přímý produkt .
Definice
Nechat , a být topologické prostory .
Surjektivní spojité mapování se nazývá lokálně triviální svazek prostoru
nad základnou
s vláknem , pokud pro jakýkoli bod základny existuje okolí , nad kterým je svazek triviální . Ten druhý znamená, že existuje homeomorfismus takový, že diagram je komutativní![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\pi \dvojtečka E\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188864d353771fd8e24d463c5946edd7db679f8e)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
.
Zde je projekce součinu prostorů na první faktor.
![{\mathrm {proj_{1}}}:\,U\times F\to U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80156073abb0b80b9c54010229d743e5e0da9130)
Prostor se také nazývá celkový prostor svazku nebo prostor svazku .
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Související definice
- Část svazku je takové mapování , že . Obecně řečeno, ne každý svazek má sekci. Nechť je například varieta a je podsvazek vektorů jednotkové délky v tečném svazku . Pak je úsekem svazku vektorové pole bez nul na . Věta o česání ježka ukazuje, že takové pole na kouli neexistuje.
![s:B\to E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ec42e0e916dd583a94f99c315d21ff43c2fd91)
![\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa4f713a617419c4f8760a585a696a71a739c18)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![TM](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea000afb5769206ddd5fd43f458430d04422ddeb)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- Soubor se nazývá vlákno svazku nad bodem . Každé vlákno je homeomorfní pro prostor , takže prostor se nazývá obecné (nebo modelové) vlákno svazku ,
![F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f8a6b0eccbcb9d16cd84ac2831dc1ffb75cfd4)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![x\v B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aac01724708de4e1d41423bc64b35e9d94c9009)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Homeomorfismus , který identifikuje omezení svazku přes okolí bodu s nějakým triviálním svazkem, se nazývá místní trivializace svazku nad okolím bodu .
![\varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Pokud je pokrytí báze otevřenými množinami a jsou to odpovídající trivializační zobrazení, pak se rodina nazývá trivializační atlas svazku .
![\{U_{{\alpha }}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8e25b4f4a48037221f84af293974138ee1c5)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\krát F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47c1ff0de85235c32e406126d3accccec426e5b)
![\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7374f89a55386d6b8797a91fd92a71880a347e84)
![\pi :E\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
- Předpokládejme, že lokálně triviální fibrace je opatřena základním krytem s výraznou trivializací a omezení jakéhokoli srovnávacího mapování na vlákno patří do některé podskupiny skupiny všech automorfismů . Potom se nazývá lokálně triviální svazek se strukturou group .
![\pi :E\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
![\{U_{\alpha }\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681f8e25b4f4a48037221f84af293974138ee1c5)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\krát F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006685a411646deace37da89f0b38dfe2392edd6)
![\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e4941bbed48f60b957fbb8d3d27c4c01e6be81)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Příklady
- Triviální svazek, tedy projekce na první faktor.
![B\krát F\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c2a0cc9375643d65fbedef8b325108ed103d15)
- Jakýkoli povlak je lokálně triviální fibrace s diskrétním vláknem.
- Svazky tečny , kotangens a tensor nad libovolnou varietou jsou lokálně triviální.
- Jestliže je topologická grupa a je její uzavřenou podgrupou a faktorizace má lokální sekce, pak je to svazek vláken ( Steenrod 1951 , §7).
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
![{\displaystyle \pi :G\to G/H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f882e309ca7251052f39ff2bf96bf09e26899a0a)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- Möbiův pruh je prostorem netriviální fibrace nad kruhem.
- Hopfův svazek je netriviální svazek . Nemá žádné sekce, protože jde o hlavní svazek se strukturou group a jakýkoli hlavní svazek připouštějící sekci je triviální.
![S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c89ab4d3f49e107d49e11551b463dcbac7a370)
![U(1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62b00d74ee0cefb86cc052365625abff56d43e6)
- Svazek lze sestavit libovolnou specifikací jeho základny (space ), společného vlákna (space ) a přechodových map (Cech 1-cocycle ) pro nějaký otevřený kryt prostoru . Potom lze prostor E formálně získat jako množinu trojic tvaru s identifikačním pravidlem:
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
![\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d34421f3757f04f11cc7e7ca040d8b6270cb98)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\in F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35604eec21ff2eee54a4053627fac163a0c22bf5)
![(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b4bb602e023406f9b30253516450a7708544e3)
, pokud
Vlastnosti
- Pro lokálně triviální svazky platí krycí homotopická věta . Nechť — je lokálně triviální svazek, maps and , so , a mapping homotopy (tj . ). Pak existuje homotopie zobrazení taková, že , to znamená, že následující diagram je komutativní
![\pi :E\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b6680121ed6dbd1f69c871093712b1de5bd4ac)
![{\displaystyle g\colon M\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa20c42ed7391bcbbf345317456e37b3f5e743d6)
![{\displaystyle f\colon M\to E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546c4484a7ea6a17437cb845a748eb553337754a)
![{\displaystyle g=\pi \circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03886d53a83cf35062bb22855ad44e7001179d57)
![{\tilda g}\dvojtečka M\krát [0;1]\to B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5bb1819097f4c25da54bb555a7672b1cf6ce76)
![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
![{\tilde g}(m,0)=g(m)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa8d4245d126fe88235cce43cd1c5681016d10b)
![{\tilda f}\dvojtečka M\krát [0;1]\to E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcba9e26b44e19e5a65f92062ad0603758a4e120)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88127bc0c24b514015f57ff09f16ceba053e25ff)
- Nechť existuje lokálně triviální svazek vláken ( někdy psaný formálně jako ). Potom je sekvence homotopických skupin přesná :
![E\do B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10db76bf8b1d965e8dceae2c308bb1db52f503c4)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57)
Pokud , tak .
![x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc310d2da6bec37131977297b5ad74fd0ce6162)
- Dva svazky na stejné bázi a se stejným vláknem jsou izomorfní právě tehdy, když jim odpovídající Cech 1-kocykly jsou cohomologické. (Všimněte si, že v případě, kdy je skupina nekomutativní, jednorozměrná kohomologie netvoří grupu , ale tvoří množinu, na kterou působí skupina Čech 0-cochainů (vlevo) :
![H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf1a170ae33d6838dc06daec81b0c840a984541)
![C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23aeaba662faeee98e1be12faa9d28a77a3e05f)
,
kde je Cech 0-cochain působící na Cech 1-cocycle . 1-kocykly jsou považovány za kohomologické, pokud leží na stejné dráze této akce.)
![\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0caaf0ab72aee2e5158b4c3bb73bb1f5cad7ad)
Variace a zobecnění
- Speciálním případem jsou lokálně triviální svazky
- Pokud jsou prostory hladké (diferencovatelné) variety , je zobrazení hladké a připouští trivializační atlas s hladkými trivializačními zobrazeními, pak se samotný svazek nazývá hladký svazek .
![E, B, F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3c1a307b5b79c9cd2664cb0032d5254a90a1b)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Svazek se nazývá holomorfní , pokud jsou prostory komplexními varietami, zobrazení je holomorfní a existuje trivializační atlas s holomorfními trivializačními zobrazeními.
![E, B, F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3c1a307b5b79c9cd2664cb0032d5254a90a1b)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
- Hlavní svazek .
Viz také
Literatura
- Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
- Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0