Lokálně triviální svazek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. července 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Lokálně triviální svazek je svazek , který lokálně vypadá jako přímý produkt .

Definice

Nechat , a být topologické prostory . Surjektivní spojité mapování se nazývá lokálně triviální svazek prostoru nad základnou s vláknem , pokud pro jakýkoli bod základny existuje okolí , nad kterým je svazek triviální . Ten druhý znamená, že existuje homeomorfismus takový, že diagram je komutativní $E$ $B$ $F$ $\pi \dvojtečka E\to B$ $E$ $B$ $F$ $x\v B$ $U\podmnožina B$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\to U\krát F$

Zde je projekce součinu prostorů na první faktor. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\times F\to U$

Prostor se také nazývá celkový prostor svazku nebo prostor svazku . $E$

Související definice

Část svazku je takové mapování , že . Obecně řečeno, ne každý svazek má sekci. Nechť je například varieta a je podsvazek vektorů jednotkové délky v tečném svazku . Pak je úsekem svazku vektorové pole bez nul na . Věta o česání ježka ukazuje, že takové pole na kouli neexistuje. $s:B\to E$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $M$ $E\to M$ $TM$ $E$ $M$
Soubor se nazývá vlákno svazku nad bodem . Každé vlákno je homeomorfní pro prostor , takže prostor se nazývá obecné (nebo modelové) vlákno svazku , $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\pi$ $x\v B$ $F$ $F$ $\pi$
Homeomorfismus , který identifikuje omezení svazku přes okolí bodu s nějakým triviálním svazkem, se nazývá místní trivializace svazku nad okolím bodu . $\varphi$ $\pi$ $X$ $\pi$ $X$
Pokud je pokrytí báze otevřenými množinami a jsou to odpovídající trivializační zobrazení, pak se rodina nazývá trivializační atlas svazku . $\{U_{{\alpha }}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\to U_{{\alpha }}\krát F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\to B$
Předpokládejme, že lokálně triviální fibrace je opatřena základním krytem s výraznou trivializací a omezení jakéhokoli srovnávacího mapování na vlákno patří do některé podskupiny skupiny všech automorfismů . Potom se nazývá lokálně triviální svazek se strukturou group . $\pi :E\to B$ $\{U_{\alpha }\}$ $B$ $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\krát F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$ $\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$ $G$ $F$ $\pi$ $G$

Příklady

Triviální svazek, tedy projekce na první faktor. $B\krát F\to B$
Jakýkoli povlak je lokálně triviální fibrace s diskrétním vláknem.
Svazky tečny , kotangens a tensor nad libovolnou varietou jsou lokálně triviální.
Jestliže je topologická grupa a je její uzavřenou podgrupou a faktorizace má lokální sekce, pak je to svazek vláken ( Steenrod 1951 , §7). $G$ $H$ $\pi :G\to G/H$ $\pi$ $H$
Möbiův pruh je prostorem netriviální fibrace nad kruhem.
Hopfův svazek je netriviální svazek . Nemá žádné sekce, protože jde o hlavní svazek se strukturou group a jakýkoli hlavní svazek připouštějící sekci je triviální. $S^{3}\to S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $U(1)$
Svazek lze sestavit libovolnou specifikací jeho základny (space ), společného vlákna (space ) a přechodových map (Cech 1-cocycle ) pro nějaký otevřený kryt prostoru . Potom lze prostor E formálně získat jako množinu trojic tvaru s identifikačním pravidlem: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\in U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\in F\}$

(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})

, pokud

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Vlastnosti

Pro lokálně triviální svazky platí krycí homotopická věta . Nechť — je lokálně triviální svazek, maps and , so , a mapping homotopy (tj . ). Pak existuje homotopie zobrazení taková, že , to znamená, že následující diagram je komutativní $\pi :E\to B$ $g\colon M\to B$ $f\colon M\to E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilda g}\dvojtečka M\krát [0;1]\to B$ $G$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilda f}\dvojtečka M\krát [0;1]\to E$ $F$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matrix}}$
Nechť existuje lokálně triviální svazek vláken ( někdy psaný formálně jako ). Potom je sekvence homotopických skupin přesná : $E\do B$ $F$ $F\do E\do B$

\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)

Přechodové mapy splňují podmínku Cech 1-cocycle :

Pokud , tak .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

Dva svazky na stejné bázi a se stejným vláknem jsou izomorfní právě tehdy, když jim odpovídající Cech 1-kocykly jsou cohomologické. (Všimněte si, že v případě, kdy je skupina nekomutativní, jednorozměrná kohomologie netvoří grupu , ale tvoří množinu, na kterou působí skupina Čech 0-cochainů (vlevo) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

kde je Cech 0-cochain působící na Cech 1-cocycle . 1-kocykly jsou považovány za kohomologické, pokud leží na stejné dráze této akce.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

Pro jakýkoli lokálně triviální svazek a spojité mapování je indukovaný svazek lokálně triviální. $\pi :X\to B$ $f:B'\do B$ $f^{*}(\pi)$

Variace a zobecnění

Speciálním případem jsou lokálně triviální svazky
- Gurevich svazky a
- Serre fibrace .

Pokud jsou prostory hladké (diferencovatelné) variety , je zobrazení hladké a připouští trivializační atlas s hladkými trivializačními zobrazeními, pak se samotný svazek nazývá hladký svazek . $E, B, F$ $\pi$
Svazek se nazývá holomorfní , pokud jsou prostory komplexními varietami, zobrazení je holomorfní a existuje trivializační atlas s holomorfními trivializačními zobrazeními. $E, B, F$ $\pi$
Hlavní svazek .

Viz také

Yang-Millsova teorie

Literatura

Vasiliev V. A. Úvod do topologie. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0