Očekávaná hodnota

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Matematické očekávání je pojem v teorii pravděpodobnosti , což znamená průměrnou (váženou pravděpodobnostmi možných hodnot) hodnotu náhodné veličiny [1] . V případě spojité náhodné veličiny se předpokládá vážení hustoty (přesnější definice viz níže). Matematické očekávání náhodného vektoru se rovná vektoru, jehož složky se rovnají matematickým očekáváním složek náhodného vektoru.

Označuje se [2] (například z anglického Expected value nebo německého Erwartungswert ); v ruskojazyčné literatuře se také nachází označení (případně z anglického Mean value nebo německého Mittelwert , případně z „Mathematical expectation“). Ve statistice se často používá zápis . ${\mathbb {E}}[X]$ $M[X]$ $\mu$

Pro náhodnou veličinu, která nabývá hodnot pouze 0 nebo 1, se matematické očekávání rovná p – pravděpodobnosti „jedna“. Matematické očekávání součtu takových náhodných proměnných je np , kde n je počet takových náhodných proměnných. V tomto případě se pravděpodobnost výskytu určitého počtu jednotek počítá podle binomického rozdělení . Proto je v literatuře s největší pravděpodobností snazší najít záznam, který se páří. očekávání binomického rozdělení je np [3] .

Některé náhodné proměnné nemají očekávanou hodnotu, jako jsou náhodné proměnné, které mají Cauchyho rozdělení .

V praxi se matematické očekávání obvykle odhaduje jako aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny (výběrový průměr, výběrový průměr). Je prokázáno, že za určitých slabých podmínek (zejména je-li výběrový soubor náhodný, to znamená, že pozorování jsou nezávislá), má výběrový průměr sklon ke skutečné hodnotě matematického očekávání náhodné veličiny, když velikost vzorku (číslo pozorování, testů, měření) má sklon k nekonečnu.

Definice

Obecná definice z hlediska Lebesgueova integrálu

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a náhodná proměnná na něm definovaná . To je, podle definice, měřitelná funkce . Pokud existuje Lebesgueův integrál přes prostor , pak se nazývá matematické očekávání nebo průměrná (očekávaná) hodnota a označuje se nebo . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $X$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $\Omega$ $M[X]$ ${\mathbb {E}}[X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).

Definice pomocí distribuční funkce náhodné veličiny

Jestliže je distribuční funkce náhodné veličiny, pak její matematické očekávání je dáno Lebesgue-Stieltjesovým integrálem : $F_{X} (x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Definice pro absolutně spojitou náhodnou veličinu (přes hustotu distribuce)

Matematické očekávání absolutně spojité náhodné veličiny , jejíž rozdělení je dáno hustotou , je rovno $f_{X} (x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx

Definice pro diskrétní náhodnou veličinu

If je diskrétní náhodná veličina s rozdělením $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

.. _

\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1

pak přímo z definice Lebesgueova integrálu vyplývá, že

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i))

. Matematické očekávání celočíselné hodnoty

If je kladná celočíselná náhodná veličina (zvláštní případ diskrétní) s rozdělením pravděpodobnosti $X$

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j))

... _ _

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1

pak lze její matematické očekávání vyjádřit pomocí generující funkce posloupnosti $\{p_{i}\}$

P(s)=\sum _{{k=0}}^{\infty }\;p_{k}s^{k}

jako hodnota první derivace v jednotce: . Pokud je matematické očekávání nekonečné, pak budeme psát $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $X$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Nyní vezmeme generující funkci posloupnosti „ocasů“ distribuce $Q(y)$ $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j))

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.

Tato generující funkce souvisí s dříve definovanou funkcí pomocí vlastnosti: at . Z toho podle věty o střední hodnotě vyplývá, že matematické očekávání je jednoduše hodnota této funkce v jednotě: $P$ $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ $|s|<1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Matematické očekávání náhodného vektoru

Nechť je náhodný vektor. Pak podle definice $X=(X_{1},\tečky ,X_{n})^{{\top }}\dvojtečka \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\tečky ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

to znamená, že matematické očekávání vektoru je určeno komponenta po komponentě.

Matematické očekávání transformace náhodné veličiny

Nechť je Borelova funkce taková, že náhodná veličina má konečné matematické očekávání. Pak pro něj platí vzorec $g\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y = g(X)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},

pokud má diskrétní distribuci; $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx ,

pokud má absolutně spojitou distribuci. $X$

Pokud rozdělení obecné náhodné veličiny , pak $\mathbb {P} ^{X}$ $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X }(dx).

Ve speciálním případě, kdy , se matematické očekávání nazývá tý moment náhodné veličiny. $g(X)=X^{k}$ $\mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]$ $k$

Vlastnosti matematického očekávání

Matematické očekávání čísla (nikoli náhodné, pevné hodnoty, konstanty) je samotné číslo.

\mathbb {E} [a]=a

a\in {\mathbb {R}}

je konstanta;

Matematické očekávání je lineární [4] , tzn.

\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]

, kde jsou náhodné proměnné s konečným matematickým očekáváním a jsou libovolné konstanty;

X,Y

a,b\in \mathbb{R}

Zejména matematické očekávání součtu (rozdílu) náhodných veličin se rovná součtu (respektive rozdílu) jejich matematických očekávání.

Matematické očekávání zachovává nerovnosti, tedy pokud téměř jistě , a je náhodnou veličinou s konečným matematickým očekáváním, pak je matematické očekávání náhodné veličiny také konečné a navíc $0\leqslant X\leqslant Y$ $Y$ $X$

0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]

Matematické očekávání nezávisí na chování náhodné veličiny při události nulové pravděpodobnosti, tedy pokud téměř jistě , pak $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

Matematické očekávání součinu dvou nezávislých nebo nekorelovaných [5] náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání $X,Y$

\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]

Nerovnosti očekávání

Markovova nerovnost - pro nezápornou náhodnou veličinu definovanou na pravděpodobnostním prostoru s konečným matematickým očekáváním platí následující nerovnost: ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mathbb {E} (X)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a))

, kde .

a>0

Jensenova nerovnost pro matematické očekávání konvexní funkce náhodné veličiny. Nechť je pravděpodobnostní prostor, je na něm definovaná náhodná proměnná, je konvexní Borelova funkce , taková, že , pak $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))

Věty týkající se očekávání

Levyho věta o monotónní konvergenci .
Lebesgueova věta o majorizované konvergenci : Nechť existuje posloupnost náhodných proměnných konvergujících téměř všude : . Nechť navíc existuje integrovatelná náhodná veličina taková, že téměř jistě. Pak jsou náhodné veličiny integrovatelné a $X_{n}\to X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})=\mathbb {E} (X)

Waldova identita : pro nezávislé identicky rozdělené náhodné proměnné , kde je kladné celé číslo náhodné proměnné nezávislé na , za předpokladu, že a mají konečné matematické očekávání, bude platit následující rovnost: $X_{1},...,X_{N}$ $N$ $X_{i}$ $X_{i}$ $N$

\mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\mathbb {E} (N)\mathbb {E} (X)

Matematické očekávání náhodné veličiny se rovná hodnotě první derivace její generující funkce momentů v bodě 0: $X$ $G(u)$

\mathbb {E} (X)=G'(0)

Příklady

Nechť má náhodná veličina diskrétní rovnoměrné rozdělení , tedy její matematické očekávání $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n)),\;i=1,\ldots ,n.$

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}

se rovná aritmetickému průměru všech přijatých hodnot.

Nechť náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení na intervalu , kde . Pak má jeho hustota tvar a matematické očekávání se rovná $[a,b]$ $a<b$ $f_{X}(x)={\frac {1}{ba}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{ba}}\,dx={\frac {a+b}{2 }}

Nechť má náhodná veličina standardní Cauchyho rozdělení . Pak $X$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty

to znamená, že matematické očekávání není definováno. $X$

Viz také

Poznámky

↑ " Matematická encyklopedie " / hlavní redaktor I. M. Vinogradov. - M .: "Sovětská encyklopedie", 1979. - 1104 s. - (51 [03] M34). - 148 800 výtisků.
↑ A. N. Širjajev. 1 // "Pravděpodobnost". - M. : MTSNMO, 2007. - 968 s. - ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ V.E. Gmurman. Část dvě. náhodné proměnné. -> Kapitola 4. Diskrétní náhodné proměnné. -> Odstavec 3. // [ http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf PRŮVODCE ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI A MATEMATICKÉ STATISTIKY]. - 1979. - S. 63. - 400 s. Archivováno 21. ledna 2022 na Wayback Machine
↑ Pytiev Yu.P. , Shishmarev I.A., Teorie pravděpodobnosti, matematická statistika a prvky teorie možností pro fyziky. - M .: Fyzikální fakulta Moskevské státní univerzity, 2010.
↑ Teorie pravděpodobnosti: 10.2. Věty o numerických charakteristikách . sernam.ru. Staženo 10. 1. 2018. Archivováno z originálu 10. 1. 2018. (neurčitý)

Literatura

Feller W. Kapitola XI. Celočíselné hodnoty. Generující funkce // Úvod do teorie pravděpodobnosti a její aplikace = Úvod do teorie pravděpodobnosti a její aplikace, I. díl druhé vydání / Přeloženo z angličtiny. R. L. Dobrušin, A. A. Juškevič, S. A. Molčanov Ed. E. B. Dynkina s předmluvou A. N. Kolmogorova. - 2. vyd. - M .: Mir, 1964. - S. 270-272.

Odkazy

Matematické očekávání a jeho vlastnosti na http://www.toehelp.ru

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Britannica (online) Moderní Ukrajina
V bibliografických katalozích	GND : 4152930-3

Znamenat
Matematika	Střední mocnina ( vážená ) harmonický průměr vážený geometrický průměr vážený Průměrný vážený střední kvadratická Průměrný krychlový klouzavý průměr Aritmecko-geometrický průměr Funkce Průměr Kolmogorov znamená
Geometrie	geometrický střed Barycentrum
Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika	Winsorized průměr průměr vzorku Očekávaná hodnota Medián Móda standardní odchylka Zkrácený průměr Podmíněné očekávání
Informační technologie	Medoid k-mediánová metoda
Věty	První střední věta Druhá střední věta Nerovnost o aritmetickém, geometrickém a harmonickém průměru
jiný	Metriky distribučního centra