Cibrario normální forma

Normální forma Cibrario je normální forma diferenciální rovnice, která není řešena s ohledem na derivaci v blízkosti nejjednoduššího singulárního bodu. Název navrhl V. I. Arnold na počest italského matematika Maria Cibrario , který zavedl tento normální tvar pro jednu třídu rovnic [1] [2] [3] .

Související definice

Singulární body

Nechť má diferenciální rovnice tvar

$F(x,y,p)=0,\$ kde $p={\frac {dy}{dx}}.$

Předpokládá se, že funkce je reálná, hladká třída (nebo analytická ) v souhrnu všech tří proměnných. Singulárními body takové rovnice jsou body trojrozměrného prostoru se souřadnicemi ležícími na ploše dané rovnicí , ve kterých derivace mizí, tj. průmět plochy do roviny proměnných ve směru osy je nepravidelný. V obecném případě tvoří množina singulárních bodů křivku na povrchu, nazývanou criminant . Projekce criminanta na rovinu se nazývá diskriminační křivka , její body se také často nazývají singulární body rovnice, i když je možná nepřesnost: při promítání různých bodů povrchu může stejný bod roviny proměnných odpovídat [ 1] [4] [5] . $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(x,y,p)$ $F=0$ $F_{p}$ $\pi$ $\{F=0\}$ $x, y$ $p$ $\{F=0\}$ $(x,y)$ $\pi$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Zvedání rovnice

Diferenciální vztah definuje pole kontaktních rovin v prostoru . Průsečík styčných rovin s rovinami tečnými k povrchu definuje pole směrů na povrchu (definované ve všech bodech, kde se styčné a tečné roviny vzájemně neshodují). Integrální křivky takto zkonstruovaného pole jsou 1-grafy řešení původní rovnice a jejich průměty do roviny jsou grafy řešení [4] [5] $p=dy/dx$ $(x,y,p)$ $pdx-dy=0$ $\{F=0\}$ $(x,y)$

Popsaná konstrukce studia rovnic, které nejsou vyřešeny s ohledem na derivaci, sahá až do třetí monografie A. Poincarého „O křivkách definovaných diferenciálními rovnicemi“ (1885); v moderní matematické literatuře se tomu často říká zvedání rovnice na povrch [3] .

Věta o normálním tvaru

Nejjednodušší singulární body rovnice jsou tzv. pravidelné singulární body, ve kterých má projekce singularitu zvanou Whitney fold a kontaktní rovina se nedotýká povrchu. To je ekvivalentní splnění následujících podmínek při a daný bod: $F(x,y,p)=0$ $\pi$ $F=0.$

F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.

Věta . V okolí pravidelného singulárního bodu je rovnice s hladkou (nebo analytickou) funkcí hladce (respektive analytickou) ekvivalentní rovnici $F(x,y,p)=0$ $F$

p^{2}-x=0,

tzv. Cibrario normální forma [1] [4] [5] .

V roce 1932 Cibrario získal tuto normální formu zkoumáním charakteristik parciální diferenciální rovnice druhého řádu smíšeného typu [2] .

Příklady

Normální forma Cibrario je charakteristická rovnice pro Tricomiho rovnici

$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

patřící k eliptickému typu v polorovině a hyperbolickému typu v polorovině . $x<0$ $x>0$

Rovnice je snadno integrovatelná: grafy jejích řešení tvoří rodinu semikubických parabol [4] [5] $p^{2}-x=0$

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

vyplňující polorovinu , jejíž vrcholové body leží na diskriminační křivce - ose . $x>0$ $y$

Asymptotické čáry dvourozměrného povrchu v euklidovském prostoru vypadají podobně v okolí typického parabolického bodu . Normální forma Cibrario také odpovídá nejjednodušším vlastnostem zpomaleného pole v rychlých a pomalých dynamických systémech [6] .

Literatura

Arnold V. I. Další kapitoly teorie obyčejných diferenciálních rovnic, - Libovolné vydání.
Arnold V. I. Geometrické metody v teorii obyčejných diferenciálních rovnic, - Libovolné vydání.
Arnol'd V. I., Ilyashenko Yu. S. Obyčejné diferenciální rovnice, Itogi Nauki a Tekhniki. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. směr, 1985, svazek 1.
Arnold V. I., Afraimovič V. S., Iljašenko Yu. S., Shilnikov L. P. Teorie bifurkací, — Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. směr, 1986, svazek 5.
Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivát parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), str. 889–906.

Poznámky

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Iljašenko Yu. S. Obyčejné diferenciální rovnice, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. směr, 1985, svazek 1. - kap. 1, odst. 7.
↑ 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivát parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), str. 889-906.
↑ 1 2 Remizov A.O. Vícerozměrná Poincarého konstrukce a singularity zvednutých polí pro implicitní diferenciální rovnice, CMFD, 19 (2006), 131–170.
↑ 1 2 3 4 Arnold V.I. Další kapitoly teorie obyčejných diferenciálních rovnic. - ch. 1, odst. čtyři.
↑ 1 2 3 4 Arnold V. I. Geometrické metody v teorii obyčejných diferenciálních rovnic. - ch. 1, odst. čtyři.
↑ Arnold V. I., Afraimovič V. S., Iljašenko Yu. S., Shilnikov L. P. Bifurkační teorie, - Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. směr, 1986, svazek 5

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"