Normální operátor

Normální operátor je lineárně ohraničený operátor v Hilbertově prostoru , který komutuje s jeho konjugátem : . Speciálními případy normálních operátorů jsou samoadjungované operátory : a unitární operátory : . Pro normální operátory platí spektrální věta . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Rozšíření

Aditivní rozklad. , kde jsou permutační samoadjungované operátory , $N = X + i Y$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Multiplikativní (polární) expanze . , kde je kladný samoadjungovaný operátor , je unitární operátor . Operátoryakomutují jak mezi sebou, tak s libovolným lineárním operátorem , který dojíždí současně sa. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Aditivní rozvoj je podobný vyjádření komplexního čísla z hlediska jeho reálné a imaginární části: a multiplikativní rozvoj je podobný zobrazení v exponenciální formě: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Vlastnosti

Pokud je operátor normální, pak operátory , , a inverzní operátor (pokud existuje) jsou také normální. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
Lineární spojitý operátor v Hilbertově prostoru je normální právě tehdy, když pro každý . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\v H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Zde je jádro a obrázek operátora . _ $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Pokud pro některé a , tak . $N x = \alpha x$ $x \v H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
Vlastní prostory odpovídající různým vlastním číslům normálního operátoru jsou ortogonální . [3]
Věta o permutability. Dovolit být lineární spojité operátory a nechat operátory a být normální. Pokud , tak . Konkrétně, pokud operátor komutuje s normálním operátorem , pak komutuje s konjugátem . [čtyři] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT=TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \up \{ |(Nx,x)| \dvojtečka x \v H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
Normální operátor je samoadjungovaný právě tehdy, když jeho spektrum leží na reálné ose . Normální operátor je unitární právě tehdy, když jeho spektrum leží na jednotkové kružnici . [6]
Podobné normální operátory jsou unitárně ekvivalentní, to znamená, jestliže , kde jsou normální operátory a operátor je invertibilní , pak , kde je unitární operátor . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ , proto se spektrální poloměr normálního operátora shoduje s jeho normou . [2]

Spektrální věta

Jakýkoli normální operátor odpovídá rodině promítacích operátorů , což jsou aditivní a multiplikativní funkce obdélníku, takže $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

a obecně řečeno

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

kde je libovolný polynom v a ; pro jakýkoli pevný obdélník je operátor limitou nějaké posloupnosti polynomů v operátorech a [8] . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

Na základě spektrálního rozkladu normálních operátorů je pro funkce zkonstruován funkční počet

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Případ konečně-dimenzionálního prostoru

V konečném -rozměrném unitárním prostoru v ortonormálním základě , normální operátor odpovídá normální matici . Normální operátor má také následující vlastnosti.

Lineární operátor je normální právě tehdy, když má ortonormální systém vlastních vektorů .
Pro normální operátor je každý z operátorů a reprezentován jako polynom z jiného operátoru; navíc jsou tyto dva polynomy určeny určením vlastních hodnot operátoru . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Jestliže je pod operátorem invariantní podprostor , pak jeho ortogonální doplněk je také invariantní podprostor pro . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
Matice je normální právě tehdy, když je jednotně podobná diagonální matici , tj. kde je unitární matice , je diagonální matice . [deset] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Neomezený počet operátorů

Pojem normální operátor je zobecněn na neomezené operátory. Lineární operátor (ne nutně ohraničený ) v Hilbertově prostoru se nazývá normální, pokud je jeho doména hustá v , je uzavřená a splňuje podmínku . Pro běžného operátora pro jakékoliv . Některé další vlastnosti normálního operátora jsou také zobecněny, včetně spektrální věty . [jedenáct] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \in D(N)$

Viz také

Poznámky

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , s.12.12.
↑ Rudin, 1975 , s.12.16.
↑ Rudin, 1975 , s.12.25.
↑ Rudin, 1975 , s.12.26.
↑ Rudin, 1975 , s.12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 309.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , kapitola 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , kapitola 13.

Literatura

Sobolev V.I. Normální operátor // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Přednášky o funkcionální analýze. — M .: Mir, 1979. — 592 s.
Rudin W. Funkční analýza. — M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. teorie matice. - Ed. 2., doplňkový .. - M . : Nauka, Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1966.