Nulová matice

Nulová matice je matice , jejíž velikost všech prvků je rovna nule . Označuje se jako nebo nebo [1] $m\times n,$ $Z$ $Ó$ ${\displaystyle O_{m,n))$

$Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix))$

Značky

Nulová matice a pouze ona má hodnost 0.

To znamená, že pouze nulová matice má vlastnost vytvářet nulový sloupec, když je vynásobena zprava libovolným sloupcovým vektorem a podobně, když je vynásobena řádkovým vektorem zleva.

Dalším důsledkem této skutečnosti je nulovost všech matic m × 0 a 0 × n , protože hodnost matice m × n nepřesahuje min( m , n ).

Vlastnosti

Součin nulové matice libovolným číslem je roven sám sobě:

a\,Z=Z.

Součet matice a nulové matice stejné velikosti se rovná původní matici : $A$ $A$

A+Z=A,\;\;\;Z+A=A.

Rozdíl matice a nulové matice stejné velikosti je roven původní matici : $A$ $A$

AZ=A.

Součin matice velikosti maticí nulové velikosti se rovná matici nulové velikosti $A$ $l\times m,$ $m\times n,$ $l\times n:$

A\cdot Z=Z.

Čtvercová nulová matice n × n at je degenerovaná a v důsledku toho je její determinant roven nule: $n\geqslant 1$ $\left|Z\right|=0.$ Taková matice tedy nemá inverzní .

Čtvercová nulová matice je symetrická a v důsledku toho je její transponovaná matice rovna sama sobě:

Z^{T}=Z.

Čtvercová nulová matice je také šikmo symetrická :

Z^{T}=-Z\,(=Z).

Pouze nulová matice je současně symetrická i šikmo symetrická.

Poslední dva body jsou pravdivé doslovně také s ohledem na to , že jsou hermitovské a zešikmené v oboru komplexních čísel.

Čtvercová nulová matice je horní trojúhelníková , dolní trojúhelníková a diagonální matice.

Čtvercová nulová matice je skalární matice, a proto permutuje s jakoukoli čtvercovou maticí stejné velikosti:

ZA=AZ=Z

Všechny výše uvedené vlastnosti nulové matice jsou tak či onak důsledkem skutečnosti, že nulová matice je aditivní neutrální prvek (hovorově: nula) lineárního prostoru matic své velikosti, což znamená, že patří (a pouze ono) do libovolného lineárního podprostoru . No a zároveň nula algebry matic, pokud je matice čtvercová.

Navzdory tomu má nulová matice také netriviální vlastnost týkající se nenulových dělitelů . Ve skutečnosti je jich tolik, kolik chcete, alespoň napravo, dokonce i nalevo, ale přesná definice „kolik se vám líbí“ závisí na prostoru matic, jaké velikosti budeme hledat. jim. Dvojice nenulových matic M o velikosti m × l a N o velikosti l × n takové, že existují právě tehdy, když . Pro existenci l \u003d 0 to nestačí už z toho důvodu, že mezi maticemi o velikosti m × 0 i 0 × n nejsou vůbec žádné nenulové jedničky (viz výše ). A vysvětlení neexistence dělitelů s l = 1 najdete v článku součin tenzoru . Tak, v algebře n × n matic přes nějaké pole tam jsou nula dělitelé jestliže a jediný jestliže . Což ovšem není překvapivé, podíváme-li se na to, jak jsou takové algebry uspořádány pro n = 1 a n = 0. ${\displaystyle NM=Z_{m\times n))$ $l\geqslant 2$ $n\geqslant 2$

Poznámky

↑ Základy lineární algebry, 1975 , str. jedenáct.

Literatura

Maltsev AI Základy lineární algebry. — M .: Nauka, 1975. — 400 s.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný