Operátor nabla je vektorový diferenciální operátor, jehož složky jsou parciální derivace s ohledem na souřadnice. Označuje se symbolem ∇ ( nabla ).
Pro trojrozměrný euklidovský prostor v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému [1] je operátor nabla definován následovně:
,kde jsou jednotkové vektory podél os, resp.
Používá se také následující zápis operátoru nabla přes komponenty:
.Hlavní operace vektorové analýzy jsou vyjádřeny pomocí operátoru nabla přirozeným způsobem : grad ( gradient ), div ( divergence ), rot ( rotor ), stejně jako Laplaceův operátor (viz níže). Je široce používán v popsaném smyslu ve fyzice a matematice (ačkoli někdy se grafický symbol používá také k označení některých dalších, i když v některých ohledech nepříliš vzdálených uvažovaných matematických objektů, například kovariantní derivace ).
N - rozměrný operátor nabla znamená vektor v n - rozměrném prostoru [2] následujícího tvaru:
,kde jsou jednotkové vektory podél os, resp.
Někdy, zejména při ručním kreslení, je nad operátorem nakreslena šipka: - pro zdůraznění vektorového charakteru operátoru. Význam takového nápisu se neliší od obvyklého .
Tento operátor má smysl v kombinaci se skalární nebo vektorovou funkcí, na kterou je aplikován.
Pokud skalárně vynásobíme vektor funkcí , dostaneme vektor
,což je gradient funkce .
Pokud je vektor skalárně vynásoben vektorem , výsledkem je skalár
,to je, divergence vektoru .
Pokud vynásobíme vektorem , dostaneme rotor vektoru :
V souladu s tím je skalárním součinem skalární operátor nazývaný Laplaceův operátor . To druhé je také označováno . V kartézských souřadnicích je Laplaceův operátor definován takto:
.Vzhledem k tomu, že operátor nabla je diferenciální operátor, je při transformaci výrazů nutné brát v úvahu jak pravidla vektorové algebry, tak pravidla derivování. Například:
To znamená, že derivace výrazu, který závisí na dvou polích, je součtem výrazů, z nichž je pouze jedno pole podrobeno diferenciaci.
Pro usnadnění označení, na která pole nabla působí, je obvyklé předpokládat, že v součinu polí a operátorů každý operátor působí na výraz napravo od něj a ne na vše nalevo. Pokud je požadováno, aby operátor jednal na poli vlevo, je toto pole nějak označeno, například umístěním šipky nad písmeno:
Tento zápis se obvykle používá v přechodných transformacích. Kvůli jeho nepohodlnosti se v konečné odpovědi snaží zbavit šípů.
Protože existují různé způsoby násobení vektorů a skalárů, lze pomocí operátoru nabla zapsat různé druhy diferenciace. Kombinace skalárních a vektorových produktů dává 7 různých možností pro deriváty druhého řádu:
Pro dostatečně hladká pole (dvakrát plynule diferencovatelná) nejsou tyto operátory nezávislé. Dva z nich jsou vždy nula:
Dva se vždy shodují:
Zbývající tři spolu souvisí:
Další lze vyjádřit pomocí tenzorového součinu vektorů:
Ačkoli většina vlastností operátoru nabla vyplývá z algebraických vlastností operátorů a čísel a při pohledu na vektor se stávají zcela zřejmými, je třeba postupovat opatrně. Operátor nabla nepatří do stejného prostoru jako regulární vektory, přesněji řečeno, skalární a vektorový součin pro něj je definován s určitými rozdíly (hlavně v tom, že - jak je obvykle chápáno - operátor působí na ta pole, která stojí zprava a nepůsobí na ty nalevo, proto skalární a vektorový součin s účastí nejsou komutativní a ne antikomutativní, jak je typické pro takové součiny běžných vektorů), takže operátor nabla ne mají některé vlastnosti běžných vektorů, a proto se nemusí chovat ve všem v souladu s geometrickými vlastnostmi běžného vektoru. Zejména,
nekomutuje s vektory :
,protože - to je divergence, to je nakonec jen skalární funkce souřadnic, ale je to netriviální operátor derivace ve směru vektorového pole .
To, že se neshodují, můžete navíc ověřit použitím obou výrazů na skalární funkci f :
protože
Pokud by nabla byla vektorem, pak by smíšený součin byl vždy nula, ale je snadné vidět, že to není pravda .
Kromě toho je nutné si pamatovat, na které vektory a funkce každý operátor nabla v zapsaném vzorci působí , například:
(zde první operátor nabla působí pouze na pole a druhý - pouze na pole , který, jak to bylo, pevně stanoví pořadí akcí). Zatímco pro běžné vektory:
protože zde a jsou snadno vyjmuty.
Proto, pro usnadnění, při násobení operátoru nabla komplexním výrazem je diferencovatelné pole obvykle označeno šipkou:
Pokud operátor na nějaké pole nepůsobí, pak vektor pole a operátor komutují (u vektorového součinu antikomutují). Vektory ve smíšených produktech příkladu se přesunou doleva od operátoru a konečný výraz se zapíše bez šipek.
V roce 1853 W. R. Hamilton zavedl tento operátor a vytvořil pro něj symbol v podobě obráceného řeckého písmene Δ (delta). U Hamiltona hrot symbolu směřoval doleva, později, v dílech P. G. Taita, symbol získal moderní vzhled. Hamilton nazval tento symbol slovem „atled“ (slovo „delta“ se čte pozpátku), ale později angličtí vědci, včetně O. Heaviside , začali tento symbol nazývat „nabla“ kvůli podobnosti s kostrou starověkého asyrského hudebního nástroje . nabla a operátor se nazýval Hamiltonův operátor nebo operátor nabla [3] .
Podle některých zdrojů [4] je písmeno fénické abecedy , jehož původ je spojen s hudebním nástrojem, jako je harfa, protože „ναβλα“ (nabla) ve starověké řečtině znamená „harfa“. Nablius je druh harfy [5] .
Diferenciální počet | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní | |||||||
soukromé pohledy | |||||||
Diferenční operátory ( v různých souřadnicích ) |
| ||||||
související témata |