Operátor Nabla

Operátor nabla je vektorový diferenciální operátor, jehož složky jsou parciální derivace s ohledem na souřadnice. Označuje se symbolem ∇ ( nabla ).

Pro trojrozměrný euklidovský prostor v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému [1] je operátor nabla definován následovně:

,

kde  jsou jednotkové vektory podél os, resp.

Používá se také následující zápis operátoru nabla přes komponenty:

.

Hlavní operace vektorové analýzy jsou vyjádřeny pomocí operátoru nabla přirozeným způsobem : grad ( gradient ), div ( divergence ), rot ( rotor ), stejně jako Laplaceův operátor (viz níže). Je široce používán v popsaném smyslu ve fyzice a matematice (ačkoli někdy se grafický symbol používá také k označení některých dalších, i když v některých ohledech nepříliš vzdálených uvažovaných matematických objektů, například kovariantní derivace ).

N - rozměrný operátor nabla znamená vektor v n - rozměrném prostoru [2] následujícího tvaru:

,

kde  jsou jednotkové vektory podél os, resp.

Někdy, zejména při ručním kreslení, je nad operátorem nakreslena šipka:  - pro zdůraznění vektorového charakteru operátoru. Význam takového nápisu se neliší od obvyklého .

Vlastnosti operátoru nabla

Tento operátor má smysl v kombinaci se skalární nebo vektorovou funkcí, na kterou je aplikován.

Pokud skalárně vynásobíme vektor funkcí , dostaneme vektor

,

což je gradient funkce .

Pokud je vektor skalárně vynásoben vektorem , výsledkem je skalár

,

to je, divergence vektoru .

Pokud vynásobíme vektorem , dostaneme rotor vektoru :

V souladu s tím je skalárním součinem skalární operátor nazývaný Laplaceův operátor . To druhé je také označováno . V kartézských souřadnicích je Laplaceův operátor definován takto:

.

Vzhledem k tomu, že operátor nabla je diferenciální operátor, je při transformaci výrazů nutné brát v úvahu jak pravidla vektorové algebry, tak pravidla derivování. Například:

To znamená, že derivace výrazu, který závisí na dvou polích, je součtem výrazů, z nichž je pouze jedno pole podrobeno diferenciaci.

Pro usnadnění označení, na která pole nabla působí, je obvyklé předpokládat, že v součinu polí a operátorů každý operátor působí na výraz napravo od něj a ne na vše nalevo. Pokud je požadováno, aby operátor jednal na poli vlevo, je toto pole nějak označeno, například umístěním šipky nad písmeno:

Tento zápis se obvykle používá v přechodných transformacích. Kvůli jeho nepohodlnosti se v konečné odpovědi snaží zbavit šípů.

Operátoři druhého řádu

Protože existují různé způsoby násobení vektorů a skalárů, lze pomocí operátoru nabla zapsat různé druhy diferenciace. Kombinace skalárních a vektorových produktů dává 7 různých možností pro deriváty druhého řádu:

Pro dostatečně hladká pole (dvakrát plynule diferencovatelná) nejsou tyto operátory nezávislé. Dva z nich jsou vždy nula:

Dva se vždy shodují:

Zbývající tři spolu souvisí:

Další lze vyjádřit pomocí tenzorového součinu vektorů:

Rozdíly operátoru nabla od obvyklého vektoru

Ačkoli většina vlastností operátoru nabla vyplývá z algebraických vlastností operátorů a čísel a při pohledu na vektor se stávají zcela zřejmými, je třeba postupovat opatrně. Operátor nabla nepatří do stejného prostoru jako regulární vektory, přesněji řečeno, skalární a vektorový součin pro něj je definován s určitými rozdíly (hlavně v tom, že - jak je obvykle chápáno - operátor působí na ta pole, která stojí zprava a nepůsobí na ty nalevo, proto skalární a vektorový součin s účastí nejsou komutativní a ne antikomutativní, jak je typické pro takové součiny běžných vektorů), takže operátor nabla ne mají některé vlastnosti běžných vektorů, a proto se nemusí chovat ve všem v souladu s geometrickými vlastnostmi běžného vektoru. Zejména,

nekomutuje s vektory :

,

protože  - to je divergence, to je nakonec jen skalární funkce souřadnic, ale je to netriviální operátor derivace ve směru vektorového pole .

To, že se neshodují, můžete navíc ověřit použitím obou výrazů na skalární funkci f :

protože

Pokud by nabla byla vektorem, pak by smíšený součin byl vždy nula, ale je snadné vidět, že to není pravda .

Kromě toho je nutné si pamatovat, na které vektory a funkce každý operátor nabla v zapsaném vzorci působí , například:

(zde první operátor nabla působí pouze na pole a druhý - pouze na pole , který, jak to bylo, pevně stanoví pořadí akcí). Zatímco pro běžné vektory:

protože zde a jsou snadno vyjmuty.

Proto, pro usnadnění, při násobení operátoru nabla komplexním výrazem je diferencovatelné pole obvykle označeno šipkou:

Pokud operátor na nějaké pole nepůsobí, pak vektor pole a operátor komutují (u vektorového součinu antikomutují). Vektory ve smíšených produktech příkladu se přesunou doleva od operátoru a konečný výraz se zapíše bez šipek.

Historie

V roce 1853 W. R. Hamilton zavedl tento operátor a vytvořil pro něj symbol v podobě obráceného řeckého písmene Δ (delta). U Hamiltona hrot symbolu směřoval doleva, později, v dílech P. G. Taita, symbol získal moderní vzhled. Hamilton nazval tento symbol slovem „atled“ (slovo „delta“ se čte pozpátku), ale později angličtí vědci, včetně O. Heaviside , začali tento symbol nazývat „nabla“ kvůli podobnosti s kostrou starověkého asyrského hudebního nástroje . nabla a operátor se nazýval Hamiltonův operátor nebo operátor nabla [3] .

Podle některých zdrojů [4] je  písmeno fénické abecedy , jehož původ je spojen s hudebním nástrojem, jako je harfa, protože „ναβλα“ (nabla) ve starověké řečtině znamená „harfa“. Nablius je druh harfy [5] .

Příklady

Viz také

Poznámky

  1. V jiných souřadnicových systémech – viz odkaz níže.
  2. Tato dimenze n , tedy dimenze prostoru, ve kterém operátor působí, je indikována explicitně nebo je implikována z formulace odpovídající teorie nebo problému.
  3. „Vícenásobné a křivočaré integrály. Prvky teorie pole“ , V. R. Gavril, E. E. Ivanova, V. D. Morozova. Matematika na Technické univerzitě VII, Bauman nakladatelství Moskevské státní technické univerzity .
  4. Manturov O. V. et al. Matematika v pojmech, definicích a termínech / Ed. L. V. Sabinina. - T. 2. - M .: Vzdělávání , 1982.
  5. Stolyarov A. Notes // Senkevich G. Kamo come. - L .: Lenizdat, 1990. - S. 692.