Pseudoeuklidovský prostor

Pseudo-euklidovský prostor je konečnorozměrný skutečný vektor nebo afinní prostor s nedegenerovaným neurčitým skalárním součinem , který se také nazývá neurčitá metrika . Neurčitá metrika není metrikou ve smyslu definice metrického prostoru , ale je speciálním případem metrického tenzoru .

Pseudoeuklidovský prostor je definován dvojicí celočíselných parametrů - maximální dimenze podprostoru s kladnými a zápornými určitými metrikami; dvojice se nazývá podpis prostoru. Mezery pro podpis jsou obvykle označeny nebo . Nejdůležitějším příkladem pseudoeuklidovského prostoru je Minkowského prostor . $(m, n)$ $(m, n)$ $(m, n)$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,n))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n))$ $\mathbb {E} ^{m,1}$

Pseudoeuklidovský vesmírný podpis

Volbou vhodného základu pro vektorový pseudoeuklidovský prostor lze vždy zajistit, že neurčitý skalární součin tohoto prostoru bude mít tvar $L$

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{{m+1}}y_{{m+1}}-\ldots -x_ {n}y_{n},

kde a jsou prostorové vektory . Konkrétně skalární čtverec vektoru má tvar $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $L$

\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{{m+1}}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2},

a může být kladné i záporné číslo a také nula (i pro nenulový vektor ). Podle toho je délka vektoru definovaná rovností $X$ $X$

\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle )),

je buď kladné reálné číslo, čistě imaginární číslo nebo nula.

Podobně lze výběrem rámce vždy zajistit, aby vzdálenost mezi body n-rozměrného afinního pseudoeuklidovského prostoru se souřadnicemi a byla zapsána jako $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$

d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{{ m+1}}-y_{{m+1}})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.

Báze a rámy s touto vlastností se nazývají ortonormální .

Dvojice čísel (určující počet základních vektorů reálné a čistě imaginární délky) nezávisí na volbě ortonormální báze nebo rámce (Sylvesterův zákon setrvačnosti) a nazývá se pseudoeuklidovský prostorový podpis . $(m, nm)$

Pseudoeuklidovské prostory s různými signaturami nejsou navzájem izometrické . Prostor se signaturou však může být přeměněn na prostor se signaturou změnou znaménka skalárního součinu, a proto se mezi takovými mezerami obvykle nerozlišuje: zejména Minkowského prostor je v různých zdrojích definován jako signatura prostor a podpisový prostor . Každá dimenze tedy odpovídá (kde přímé závorky znamenají převzetí celočíselné části) různým -dimenzionálním pseudoeuklidovským prostorům. $(m, nm)$ $(nm, m)$ $(1.3)$ $(3.1)$ $n$ $\left[n/2\right]$ $n$

Izotropní vektory, směry, kužely

Důležitým rysem prostorů s neurčitou metrikou je přítomnost nenulových vektorů nulové délky. Takové vektory (stejně jako čáry, jejichž vektory řídí) se nazývají izotropní nebo podobné světlu (druhý název se častěji používá ve fyzice, je spojen s Minkowského prostorem ). Podprostor vektorového pseudoeuklidovského prostoru se nazývá izotropní , pokud se skládá výhradně z izotropních vektorů.

Soubor všech izotropních vektorů pseudoeuklidovského vektorového prostoru se nazývá izotropní kužel (nebo světelný kužel ) tohoto prostoru. Světelný kužel prostoru podpisu neobsahuje „obličeje“, tedy izotropní podprostory o rozměru větším než 1 [1] . $(1,n-1)$

Množina všech izotropních vektorů pseudoeuklidovského afinního prostoru vynesená z libovolně pevného bodu se nazývá izotropní kužel (nebo světelný kužel ) toho prostoru v daném bodě. Tato množina je skutečně kužel (v zobecněném smyslu tohoto konceptu) s vrcholem v daném bodě. Izotropní kužely pseudoeuklidovského afinního prostoru s vrcholy v různých bodech jsou získány od sebe navzájem pomocí paralelní translace .

Zejména pseudoeuklidovská vektorová rovina má přesně dva izotropní směry. V ortonormální bázi, kde skalární čtverec vektoru má podobu izotropních směrů - přímek a izotropní kužel se skládá ze spojení těchto dvou čar. $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ $x_{1}\pm x_{2}=0,$

Trojrozměrný pseudoeuklidovský vektorový prostor má nekonečný počet izotropních směrů. V ortonormální bázi, kde skalární čtverec vektoru má formu izotropních směrů, jsou to všechny možné přímky ležící na izotropním kuželu , který je v tomto případě skutečným kuželem . $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$

Podprostory pseudoeuklidovského prostoru

Podprostor pseudoeuklidovského prostoru se signaturou nemusí být nutně pseudoeuklidovský prostor se stejným číslem ; navíc to může být i euklidovský prostor. Například v trojrozměrném pseudoeuklidovském prostoru se signaturou může být rovina buď pseudoeuklidovská se signaturou , nebo euklidovská, nebo může mít degenerovaný skalární součin. Geometricky jsou tyto tři případy určeny umístěním roviny vzhledem k izotropnímu kuželu (viz obrázek). Konkrétně rovina je pseudoeuklidovská, pokud protíná izotropní kužel ve dvou různých přímkách (izotropních směrech); omezení skalárního součinu na rovinu je degenerované, pokud se dotýká izotropního kužele, to znamená, že se s ním protíná podél jedné jediné přímky; A konečně, rovina je euklidovská, pokud má jeden bod společný s izotropním kuželem (vrcholem kužele). $(nm, m)$ $m$ $(2.1)$ $\Pí$ $(1.1)$ $\Pí$ $\Pí$ $\Pí$ $\Pí$ $\Pí$

Kruhy a koule

Z hlediska geometrie pseudoeuklidovské roviny jsou kružnice libovolného nenulového (skutečného nebo čistě imaginárního) poloměru hyperboly . Podobně v trojrozměrném pseudoeuklidovském prostoru podpisu jsou koule s nenulovým reálným poloměrem jednovrstvé hyperboloidy a sféry s nenulovým čistě imaginárním poloměrem jsou dvouvrstvé hyperboloidy . Podobně v prostorech více dimenzí, například ve čtyřrozměrném podpisu (3,1). $(2.1)$

Z hlediska svých geometrických vlastností je každá ze dvou „polovin“ hypersféry s imaginárním poloměrem v –dimenzionálním pseudoeuklidovském prostoru podpisu –rozměrným Lobachevského prostorem . Dimenzní podprostory (od do ) v tomto Lobačevského prostoru odpovídají dimenzním podprostorům původního pseudoeuklidovského prostoru procházejícím počátkem a protínajícím hypersféru pomyslného poloměru a jeho pohyby odpovídají Lorentzovým transformacím . $n+1$ $(n,1)$ $n$ $k$ $0$ $n-1$ $k+1$

Inverzní Cauchy-Bunyakovského nerovnost

V pseudoeuklidovském prostoru se signaturou pro všechny vektory imaginární délky platí následující nerovnost : [1] $(n-1,1)$

\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \ lang y,y\rangle .

Aplikace ve fyzice

Nejdůležitějším speciálním případem pseudoeuklidovského prostoru je Minkowského prostor , používaný ve speciální relativitě jako časoprostor , ve kterém je signaturní metrika (1,3) Lorentzova invariantní (pouze pseudoeuklidovská metrika může být Lorentzova invariantní ), a pro časovou podobnost dvojice událostí délka (ve smyslu takové metriky) křivky, která tyto události spojuje a je také všude časová, mezi nimi je čas měřený hodinami, jehož pohyb je popsán v časoprostoru této křivky. Izotropní směry jsou směry šíření světla a nazývají se také nulové nebo podobné světlu.

Hilbertův prostor s neurčitou metrikou se používá v kvantové elektrodynamice pro matematický popis kvantování podélných a skalárních oscilací elektromagnetického pole [2] .

Teoretická fyzika uvažuje pseudoeuklidovské prostory a další dimenze, ale metrika v nich má zpravidla signaturu , to znamená, že se jedná o prostory s jednou časovou souřadnicí a n prostorovými. $(1,n)$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie, kap. VII, odst. 7, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
↑ Akhiezer A.I. , Berestetsky V.B. Kvantová elektrodynamika. - M., Nauka, 1969. - str. 63

Literatura

Walter Noll (1964) "Euklidovská geometrie a Minkowskian chronometrie", American Mathematical Monthly 71:129-44.
Poincaré , Science and Hypothesis 1906, zmiňovaná v knize B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (anglický překlad) str.266.
Szekeres, Peter. Kurz moderní matematické fyziky : grupy, Hilbertův prostor a diferenciální geometrie . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521829607 .
Alexandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya. — Encyklopedie elementární matematiky. Svazek V. Geometrie
Rashevsky PK Riemann geometrie a tenzorová analýza. - Jakékoli vydání.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie (metody a aplikace). - Jakékoli vydání.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Přednášky o klasické diferenciální geometrii. — M.: Logos, 2009.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný