Dimenze fyzikální veličiny

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Dimenze fyzikální veličiny je výraz ukazující vztah této veličiny k základním veličinám daného systému fyzikálních veličin ; se zapisuje jako součin mocnin činitelů odpovídajících hlavním veličinám, ve kterých jsou vynechány číselné koeficienty [1] [2] .

Když už mluvíme o dimenzi, je třeba rozlišovat mezi pojmy soustava fyzikálních veličin a soustava jednotek .

Soustava fyzikálních veličin a soustava jednotek

Soustava fyzikálních veličin je chápána jako soubor fyzikálních veličin spolu se soustavou rovnic, které tyto veličiny k sobě vztahují. Soustava jednotek je zase soubor základních a odvozených jednotek spolu s jejich násobky a podnásobky, určenými podle stanovených pravidel pro danou soustavu fyzikálních veličin [1] .

Všechny veličiny zahrnuté v soustavě fyzikálních veličin se dělí na základní a derivační. Pod hlavní rozumí hodnoty, podmíněně zvolené jako nezávislé, takže žádná hlavní hodnota nemůže být vyjádřena jinými základními. Všechny ostatní veličiny soustavy jsou určeny prostřednictvím hlavních veličin a nazývají se derivace [1] .

Každá základní veličina je spojena se symbolem dimenze ve formě velkého písmene latinské nebo řecké abecedy. V různých soustavách fyzikálních veličin se používají následující označení rozměrů [3] :

Základní množství	Symbol pro rozměr
Délka	L
Hmotnost	M
Čas	T
Elektřina	já
Termodynamická teplota	Θ
Množství látky	N
Síla světla	J
Síla	F

Dále se pomocí těchto symbolů označují rozměry odvozených veličin.

K označení soustav veličin se také používají kótovací značky [4] . Takže systém veličin, jejichž hlavními veličinami jsou délka, hmotnost a čas, se označuje jako LMT . Na jeho základě vznikly systémy jednotek jako SGS , MKS a MTS . Na základě systému LFT , ve kterém jsou hlavními veličinami délka, síla a čas, byl vytvořen systém jednotek MKGSS [1] .

V Mezinárodní soustavě veličin ( anglicky International System of Quantities, ISQ ), na které je založena Mezinárodní soustava jednotek (SI) , se jako délka , hmotnost , čas , elektrický proud , termodynamická teplota , svítivost a množství látky volí základní veličiny . Symboly jejich rozměrů jsou uvedeny výše v tabulce [2] . V souladu s tím je mezinárodní soustava jednotek označena symboly LMTIΘNJ .

Rozměry odvozených veličin

Pro označení rozměrů odvozených veličin se používá symbol dim (z anglického dimensions - size, dimensions). Někdy je rozměr označen uzavřením hodnoty do hranatých závorek: . $\dim v\equiv [v]$

Například pro rychlost s rovnoměrným pohybem,

v={\frac {s}{t}},

kde je délka dráhy, kterou těleso urazí v čase . Chcete-li určit rozměr rychlosti, místo délky dráhy a času dosaďte jejich rozměry do tohoto vzorce: $s$ $t$

{\mathrm {dim}}~v={\mathrm {LT^{{-1}}}}.

Podobně pro dimenzi zrychlení dostaneme

{\mathrm {dim}}~a={\mathrm {LT^{{-2}}}}.

Z rovnice druhého Newtonova zákona, při zohlednění rozměru zrychlení pro rozměr síly v Mezinárodní soustavě veličin a v jakékoli jiné soustavě, kde se jako základní veličiny používají délka, hmotnost a čas, vyplývá:

{\mathrm {dim}}~F={\mathrm {LMT^{{-2}}}}.

V obecném případě je dimenze fyzikální veličiny součinem dimenzí základních veličin umocněných na různé racionální mocniny [5] . Exponenty v tomto výrazu se nazývají rozměry fyzikální veličiny. Pokud v rozměru veličiny není alespoň jeden z rozměrů roven nule, pak se taková veličina nazývá rozměrová , pokud jsou všechny rozměry rovny nule - bezrozměrné [1] [6] .

Jak vyplývá z výše uvedeného, rozměr fyzikální veličiny závisí na použité soustavě veličin. Takže například rozměr síly v systému LMT , jak je naznačeno výše, je vyjádřen rovností dim F = LMT -2 a v systému LFT je splněn dim F = F . Navíc se bezrozměrná veličina v jednom systému veličin může stát rozměrnou v jiném. Například v systému LMT má elektrická kapacita rozměr L a poměr kapacity kulového tělesa k jeho poloměru je bezrozměrná veličina, zatímco v Mezinárodní soustavě veličin (ISQ) tento poměr bezrozměrný není. Mnohá bezrozměrná čísla používaná v praxi (například kritéria podobnosti , konstanta jemné struktury v kvantové fyzice nebo Machova , Reynoldsova , Strouhalova a další čísla v mechanice kontinua ) charakterizují relativní vliv určitých fyzikálních faktorů a jsou poměrem veličin s stejné rozměry, proto i přes skutečnost, že množství v nich obsažená v různých systémech mohou mít různé rozměry, sama budou vždy bezrozměrná.

Kontrola rozměrů

Ve vzorcích, které mají fyzikální význam, lze sčítat, odečítat nebo porovnávat pouze veličiny, které mají stejný rozměr. Například přičítání hmotnosti předmětu k délce jiného předmětu nedává smysl. Nelze také říci, co je více: 1 kilogram nebo 3 sekundy . Z tohoto pravidla zejména vyplývá, že levá a pravá strana rovnic musí mít stejný rozměr.

Kromě toho musí být argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí bezrozměrné veličiny.

Tato pravidla slouží ke kontrole správnosti fyzikálních vzorců. Pokud je některá z nich ve výsledné rovnici porušena, pak je jasné, že ve výpočtech došlo k chybě.

Rozměrový vzorec

Vzorec pro rozměr závislé veličiny (se zvoleným systémem veličin) je odvozen z požadavku, aby poměr dvou číselných hodnot závislé veličiny nezávisel na zvolených měřítcích hlavních. To vede k tomu, že dimenze závislé veličiny má vždy podobu mocninné závislosti.

To znamená, že vzorec dimenze , kde je závislá hodnota a množina jsou hlavní. Hranaté závorky označují, že ve výrazu jsou zahrnuty rozměry. $[y]=C[x_{1}]^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot [x_{n}]^{\alpha _{n}}$ $y$ $x_{i}$

Důkaz

Pro závislou veličinu , kde je hlavní proměnná, to říká vložená podmínka $y=f(x)$ $X$

{\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {f(x_{1})}{f(x_{2}})}}={\frac {f( ax_ {1})}{f(ax_{2})}}

Kde by měl

{\frac {f(x_{1})}{f(ax_{1})}}={\frac {f(x_{2})}{f(ax_{2}})))= g (a)

Kde funkce g závisí pouze na měřítku. Proto pro měření zapsané v různých měřítcích:

{\frac {g(a)}{g(b)}}={\frac {f(bx)}{f(ax)))

Změna měřítka vede k vlastnosti $x={\tilde {x}}/b$

{\frac {g(a)}{g(b)}}={\frac {f(a/b\cdot {\tilde {x}})}{f({\tilde {x}} )}}=g\left({\frac {a}{b}}\right)

Rozlišení extrémních rovností dává: $A$

{\frac {1}{g(b)}}{\frac {dg}{da}}={\frac {1}{b}}{\frac {dg}{d(a/b) }}

Na místě $a=b$

{\frac {dg}{g(a)}}={\frac {da}{a}}{\frac {dg}{d(a/b))){\Bigg |}_{a =b}=\alpha {\frac {da}{a}}

Kde je číslo. Integrace vede k tomu, že . kde . $\alpha$ ${\displaystyle g(a)=Ca^{\alpha ))$ ${\displaystyle [y]=C[x]^{\alpha ))$

Pokud je získaný výsledek aplikován na pevných měřítcích všech základních veličin kromě , pak vyplývá z . $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $a_{i}$ $g\sim a_{i}^{\alpha _{i))$ $g=Ca_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot a_{n}^{\alpha _{n}}$

Tedy obecný vzorec pro dimenzi . $[y]=C[x_{1}]^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot [x_{n}]^{\alpha _{n}}$

Na základě tohoto vzorce lze získat rozměrové pravidlo ( Pi-teorém ), které říká, že v bezrozměrných proměnných lze počet parametrů problému snížit o počet rozměrově nezávislých veličin.

Dimenzionální analýza

Rozměrová analýza je metoda používaná fyziky k vytvoření rozumných hypotéz o vztahu mezi různými rozměrovými parametry komplexního fyzikálního systému. Někdy lze rozměrovou analýzu použít k získání hotových vzorců (až do bezrozměrné konstanty). Podstata metody spočívá v tom, že z parametrů charakterizujících systém se sestaví výraz, který má požadovaný rozměr.

Při analýze rozměrů vzorců se rozměr levé strany rovnice musí rovnat rozměru pravé strany rovnice. Absence takové rovnosti ukazuje na nesprávnost vzorce. Přítomnost takové rovnosti však nedává 100% záruku správnosti vzorce.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Chertov A. G. Jednotky fyzikálních veličin. - M . : Vyšší škola, 1977. - S. 7-9. — 287 s.
↑ 1 2 Mezinárodní metrologický slovník: základní a obecné pojmy a související pojmy / Per. z angličtiny. a fr .. - 2. vyd., opraveno. - Petrohrad. : NPO "Professional", 2010. - S. 17. - 82 s. - ISBN 978-5-91259-057-3 .
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Jednotky množství. Odkaz na slovník. - M . : Nakladatelství norem, 1990. - S. 18. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ RMG 29-99. Metrologie. Základní pojmy a definice. . Získáno 29. dubna 2013. Archivováno z originálu 11. října 2014. (neurčitý)
↑ Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. Mechanika. - M., Nauka, 1979. - Náklad 50 000 výtisků. - S. 433
↑ Sena L. A. Dimension // Fyzická encyklopedie / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4 Poynting-Robertsonův efekt - Streamers. - S. 244. - 704 s. - 40 000 výtisků. - ISBN 5-85270-087-8 .

Viz také

Rozměry fyzikálních veličin v soustavě SI

Literatura

Sena L. A. Jednotky fyzikálních veličin a jejich rozměry. — M.: Nauka , 1977. — 336 s.

Bezrozměrné veličiny ve fyzice
Koncepty	Dimenze fyzikální veličiny Bezrozměrné množství π - Věta kritérium podobnosti
kritéria podobnosti	Alfvénovo číslo (Al) Archimédovo číslo (Ar) Atwoodovo číslo (A) Bagnoldovo číslo (Ba) Burstow číslo (Be) Bio číslo (Bi) Boltzmannovo číslo (Bo) Bond/Eötvös číslo (Bo, Bd nebo Eo) Brinkmannovo číslo (Br) Bulygin číslo (Bu) Weisenbergovo číslo (Wi nebo We) Weberovo číslo (My) Galileovské číslo (Ga) Hartmannovo číslo (Ha) Gay-Lussac číslo (Gc nebo GaL) Homochronní číslo (Ho) Grashofovo číslo (Gr) Graetzovo číslo (Gz) Gouche číslo (Go) Damköhlerovo číslo (Da) číslo Deborah (De) Deryaginovo číslo (Dg nebo De) Dean číslo (Dn nebo D ) Číslo kapoty (Co) Kapilaritní číslo (Cp nebo Ca) Karmanovo číslo (Ka) Keleghan-Carpenter číslo ( K C ) Kibel číslo (Ki) Kirpičovovo číslo (Ki) Clausiovo číslo (Cl) Knudsenovo číslo (Kn) Kossovičovo číslo (Ko) Cauchyho číslo (Ca) Laplaceovo číslo (La) Lundquistovo číslo (Lu nebo S) Lykov číslo (Lk nebo Lu) Lewisovo číslo (Le) Ljaščenkovo číslo (Ly) Marangoni číslo (Mg) Machovo číslo (M) Mortonovo číslo (po) Nusseltovo číslo (Nu) Newtonové číslo (Ne nebo Nt) Onesorge číslo (Oh) Číslo pecletu (Pe) Posnov číslo (Pn) Prandtlovo číslo (Pr) Magnetické Prandtlovo číslo (Pr m ) Turbulentní Prandtlovo číslo (Pr t ) Poiseuille číslo (Po) Reynoldsovo číslo (Re) Akustické Reynoldsovo číslo (Re a ) Magnetické Reynoldsovo číslo (Re m ) Richardsonovo číslo (Ri) Rossbyho číslo (Ro) Růžové číslo (Rs) Číslo Roshko (Rk nebo Ro) Ruarkovo číslo (Ru) Rayleighovo číslo (Ra) Soret číslo (Sr) Stantonovo číslo (St) Stokesovo číslo (Sk nebo Stk) Strouhalovo číslo (S, Sh nebo St) Stewartovo číslo (St nebo N ) Suratmanovo číslo (Su) Taylorovo číslo (Ta) Womersleyho číslo (Wo nebo α) Fedorovovo číslo v hydrodynamice v teorii sušení (Fe) Froude číslo (Fr) Fourierovo číslo (Fo) Hagenovo číslo (Hg) Číslo Chandrasekhar (Ch nebo Q ) Schmidtovo číslo (Sc) Sherwoodovo číslo (Sh) Eulerovo číslo (Eu) Eckertovo číslo (Ec nebo E ) Ekmanovo číslo (Ek) Elsasserovo číslo (El nebo Λ) Eriksenovo číslo (Er) Jacobovo číslo (Ja)
Ostatní bezrozměrné veličiny	Abbe číslo kvantová čísla