Paretova distribuce

Paretova distribuce
$x_{\text{m}}=1$ Hustota pravděpodobnosti
$x_{\text{m}}=1$ distribuční funkce
Označení	$P(k,x_{\text{m)))$
Možnosti	$x_{\text{m}}>0$ - faktor měřítka $k>0$
Dopravce	$x\in [x_{\text{m));+\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$
distribuční funkce	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$
Očekávaná hodnota	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , pokud $k>1$
Medián	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$
Móda	$x_{\text{m))$
Disperze	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ v $k>2$
Koeficient asymetrie	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ v $k>3$
Kurtózní koeficient	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ v $k>4$
Diferenciální entropie	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$
Generující funkce momentů	není určeno
charakteristická funkce	$k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+{}$ ${\displaystyle {}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$

Paretovo rozdělení v teorii pravděpodobnosti je dvouparametrová rodina absolutně spojitých rozdělení , která jsou mocninná. Nazývá se jménem Wilfredo Pareto . Vyskytuje se při studiu různých jevů, zejména sociálních, ekonomických a fyzikálních [1] . Mimo oblast ekonomie se někdy nazývá také Bradfordova distribuce.

Definice

Nechť je náhodná veličina taková, že její rozdělení je dáno rovností $X$

F_{X}(x)=P(X<x)=1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k},\ \ forall x\geqslant x_{\text{m)),

kde . Pak říkáme, že má Paretovo rozdělení s parametry a . Hustota Paretova rozdělení má tvar $x_{\text{m)),k>0$ $X$ $x_{\text{m))$ $k$

f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {kx_{m}^{k}}{x^{k+1}}},&x\geqslant x_{m},\ \[1ex]0,&x<x_{m}.\end{cases}}

Momenty

Momenty náhodné veličiny , která má Paretovo rozdělení, jsou dány vzorcem

\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {kx_{m}^{n}}{kn}},

odkud konkrétně

\mathbb {E} [X]={\frac {kx_{m}}{k-1)),

\mathrm {D} [X]=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}.

Aplikace

Vilfredo Pareto původně používal toto rozdělení k popisu rozdělení bohatství stejně jako rozdělení příjmu [2] . Jeho „pravidlo 20 až 80“ (které říká: 20 % populace vlastní 80 % bohatství) však závisí na konkrétní hodnotě , a tvrdí se, že ve skutečnosti existují významné kvantitativní odchylky, například Paretovy údaje o Británie ve své práci „The Course of Political Economy“ uvádí, že tam přibližně 30 % populace vlastní 70 % celkových příjmů. $k$

Paretovo rozdělení nenajdeme pouze v ekonomii. Lze uvést následující příklady:

V lingvistice je Paretovo rozdělení známé jako Zipfův zákon (u různých jazyků se exponent může mírně lišit, u nejfrekventovanějších slov je také mírná odchylka od jednoduchého mocninného zákona , ale obecně mocninný zákon popisuje toto rozdělení docela studna). Za konkrétní projevy tohoto vzoru lze uvažovat:
- Závislost absolutní četnosti slov (kolikrát se vyskytlo každé konkrétní slovo) v dostatečně dlouhém textu na pořadí (pořadové číslo při řazení slov podle absolutní četnosti). Mocninný znak zůstává bez ohledu na to, zda jsou slova redukována do původní podoby nebo převzata z textu tak, jak jsou.
- Podobná křivka oblíbenosti jmen.
Rozdělení velikosti sídel [3] .

Viz také

Poznámky

↑ Guerriero, V. Rozdělení mocninného zákona: Metoda víceškálové inferenční statistiky // Journal of Modern Mathematics Frontier ( JMMF). - 2012. - Sv. 1 , ne. 1 . - str. 21-28 . Archivováno z originálu 5. prosince 2013.
↑ Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino , Librairie Droz, Ženeva, 1964, strany 299-345.
↑ Reed, WJ , Jorgensen, M. Dvojité Pareto-Lognormal Distribuce – Nový parametrický model pro distribuci velikosti // Komunikace ve statistice: Teorie a metody. - 2004. - Sv. 33 , iss. 8 . - S. 1733-1753 . - doi : 10.1081/STA-120037438 .

Literatura

Artyukhov VV Efficiency // Obecná teorie systémů: sebeorganizace, stabilita, diverzita, krize. - M . : Knižní dům "LIBROKOM", 2009. - S. 60-68. — 224 s. - ISBN 978-5-397-00855-6 .

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona