Simplexní

Simplex nebo n - rozměrný čtyřstěn (z latinského simplex 'jednoduchý') je geometrický útvar , který je n - rozměrným zobecněním trojúhelníku .

Definice

Simplex (přesněji n -simplex , kde číslo n se nazývá dimenze simplexu) je konvexní obal n  + 1 bodů v afinním prostoru (dimenze n nebo větší), o kterých se předpokládá, že jsou afinně nezávislé. (tj. neleží v podprostoru dimenze n  − 1). Tyto body se nazývají vrcholy simplexu [1] [2] .

Simplex lze charakterizovat jako množinu všech možných konvexních kombinací jeho vrcholů : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Související definice

Otevřený simplex je množina všech možných barycentrických kombinací jeho vrcholů s kladnými koeficienty (v tomto případě se simplex se stejnými vrcholy, který splňuje definici z předchozí části, nazývá také uzavřený simplex ; v souladu s terminologií obecné topologie , uzavřený simplex je uzavřením odpovídajícího otevřeného simplexu a tento otevřený simplex je otevřeným jádrem uzavřeného simplexu) [1] [3] .
Kostra simplexu je množina všech jeho vrcholů [4] .
Hrany simplexu jsou segmenty spojující jeho vrcholy [5] .
Tváře dimenzí s simplexu se nazývají s -rozměrné simplexy, jejichž kostry jsou podmnožinami kostry původního simplexu [6] .
O simplexu se říká, že je orientovaný , je-li jeho jádrem dobře uspořádaná množina ; předpokládá se, že řády, které se od sebe liší sudou permutací vrcholů, definují stejnou orientaci (orientovaný 0-simplex je bod, kterému je přiřazeno znaménko: „plus“ nebo „mínus“) [6] [7 ] .
Simplex ležící v euklidovském prostoru se nazývá regulární , jestliže všechny jeho hrany mají stejnou délku [8] .

Standardní simplex

Standardní n - simplex je podmnožinou aritmetického prostoru , definovaného jako [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\tečky ,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Jeho vrcholy jsou body [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … en = (0, 0, …, 1).

Existuje kanonické zobrazení jedna ku jedné ze standardního n - simplexu na jakýkoli jiný n - simplex Δ se souřadnicemi vrcholu : $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$

(t_{0},\tečky ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Hodnoty pro daný bod simplexu Δ se nazývají jeho barycentrické souřadnice [3] . $t_{i}$

Vlastnosti

N - rozměrný simplex má vrcholy, z nichž kterýkoli tvoří k - rozměrnou plochu. $n+1$ $k+1$
- Konkrétně počet k -rozměrných ploch v n - simplexu je roven binomickému koeficientu ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- Konkrétně počet ploch nejvyšší dimenze se shoduje s počtem vrcholů a je roven . $n+1$
Orientovaný objem n - simplexu v n - rozměrném euklidovském prostoru lze určit vzorcem $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).$
- Cayley-Mengerův determinant vám umožňuje vypočítat objem simplexu se znalostí délek jeho hran: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\tečky &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\tečky &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\tečky &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\tečky &0\\\end{vmatrix}},$

kde je vzdálenost mezi i -tým a j -tým vrcholem, n je rozměr prostoru . Tento vzorec je zobecněním Heronova vzorce pro trojúhelníky.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Objem pravidelného n -simplexu s jednotkovou stranou je . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

Poloměr popsané n -rozměrné koule vyhovuje vztahu $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

kde je objem simplexu a

PROTI

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\tečky &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\tečky &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\tečky &0\\\end{vmatrix}}.

Konstrukce

Je-li rozměr prostoru n , pak lze nadrovinu nakreslit libovolným n z jejích bodů a existují množiny n  + 1 bodů, kterými nelze nadrovinu nakreslit. Tedy n  + 1 je minimální počet takových bodů v n - rozměrném prostoru , které neleží ve stejné nadrovině; tyto body mohou sloužit jako vrcholy n - rozměrného mnohostěnu [10] .

Nejjednodušší n - rozměrný mnohostěn s n  + 1 vrcholy se nazývá simplex ( přijímá se i název " n - rozměrný čtyřstěn "). V méněrozměrných prostorech tato definice odpovídá následujícím obrázkům [11] :

0-simplexní ( bod ) — 1 vrchol;
1-simplex ( segment ) — 2 vrcholy;
2-simplexní ( trojúhelník ) - 3 vrcholy;
3-simplex ( čtyřstěn ) - 4 vrcholy.

Všechny tyto figury mají tři společné vlastnosti.

Podle definice je počet vrcholů každého obrázku o jeden větší než rozměr prostoru.
Existuje obecné pravidlo pro převod zjednodušení z nižších dimenzí na zjednodušení z vyšších dimenzí. Spočívá v tom, že z nějakého bodu simplexu se nakreslí paprsek , který neleží v afinní slupce tohoto simplexu, a na tomto paprsku se zvolí nový vrchol, který je hranami spojen se všemi vrcholy původního. simplexní.
Jak vyplývá z postupu popsaného v odstavci 2, jakýkoli vrchol simplexu je spojen hranami se všemi ostatními vrcholy.

Popisovaná koule

An n - koule může být popsána kolem nějakého n - simplexu v euklidovském prostoru .

Důkaz

Pro 1-simplex je toto tvrzení zřejmé. Popisovaná 1-koule bude dva body stejně vzdálené od středu úsečky, shodné s konci úsečky a její poloměr bude R = a /2. Přidejme k 1-simplexu ještě jeden bod a zkusme kolem nich popsat 2-kouli.

Sestrojíme 2-kouli s 0 o poloměru a /2 tak, že úsečka AB je jejím průměrem . Pokud je bod C mimo kružnici s 0 , pak zvětšením poloměru kružnice a jejím posunutím směrem k bodu C zajistíte, že všechny tři body jsou na kružnici. Pokud bod C leží uvnitř kružnice s 0 , pak můžete kružnici umístit pod tento bod zvětšením jejího poloměru a posunutím ve směru opačném k bodu C. Jak je vidět z obrázku, lze to provést v každém případě, když bod C neleží na stejné přímce jako body A a B. Překážkou není ani asymetrické umístění bodu C vůči segmentu AB .

Vzhledem k obecnému případu předpokládejme, že existuje ( n  − 1)-koule S n −1 o poloměru r opsaná kolem nějakého ( n −1)-rozměrného útvaru. Umístěte střed koule do počátku souřadnic. Rovnice koule bude vypadat

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Sestrojme n -kouli se středem v bodě (0, 0, 0, ... 0, h S ) a poloměrem R a

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Rovnice této sféry

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

nebo

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Dosazením x n = 0 do rovnice (2) získáme rovnici (1). Pro libovolné h S je tedy koule S n −1 podmnožinou koule S n , totiž jejím řezem rovinou x n = 0.

Předpokládejme, že bod C má souřadnice ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Převeďme rovnici (2) do tvaru

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

a dosaďte do něj souřadnice bodu C :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Výraz na levé straně je druhá mocnina vzdálenosti RC od počátku k bodu C , což nám umožňuje převést poslední rovnici do tvaru

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

odkud můžeme vyjádřit parametr h S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Je zřejmé, že h S existuje pro libovolné R C , X n a r , kromě X n = 0. To znamená, že pokud bod С neleží v rovině koule S n −1 , vždy lze najít parametr h S takové, že na kouli S n se středem (0, 0, 0, ..., h S ) bude ležet koule S n −1 i bod C . Takže n -kouli lze popsat kolem libovolných n  + 1 bodů , pokud n z těchto bodů leží na stejné ( n  − 1) -kouli a poslední bod s nimi neleží ve stejné ( n  − 1) - letadlo.

Argumentovat indukcí , jeden může tvrdit, že n - koule může být popsána kolem nějakých n  + 1 bodů, jak dlouho jak oni neleží ve stejné ( n  − 1)-rovina.

Počet ploch simplexu

Simplex má n  + 1 vrcholů, z nichž každý je spojen hranami se všemi ostatními vrcholy.

Vzhledem k tomu, že všechny vrcholy simplexu jsou propojeny, každá podmnožina jeho vrcholů má stejnou vlastnost. To znamená, že jakákoli podmnožina L  + 1 vrcholů simplexu definuje jeho L -rozměrnou plochu a tato plocha je sama L - simplexem. Potom pro simplex je počet L -rozměrných ploch roven počtu způsobů, jak vybrat L  + 1 vrchol z celkové množiny n  + 1 vrcholů.

Označme symbolem K ( L , n ) počet L - rozměrných ploch v n - polytopu; pak pro n - simplex

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

kde je počet kombinací od n do k . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Konkrétně počet ploch nejvyšší dimenze se rovná počtu vrcholů a rovná se n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Vztahy v regulárním simplexu

Pro regulární n - rozměrný simplex označujeme:

$A$ - délka strany;
$H_n$ - výška;
$V_{n}$ - hlasitost;
$R_n$ je poloměr opsané koule;
$r_{n}$ je poloměr vepsané koule;
$\alpha_{n}$ - dihedrální úhel .

Pak

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [osm]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2))$

Vzorce pro pravidelný simplex

Počet L-rozměrných ploch	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Výška	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Hlasitost	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Poloměr opsané koule	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Poloměr vepsané koule	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Dihedrální úhel	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Simplexy v topologii

Topologický simplex je podmnožina topologického prostoru , který je homeomorfní k simplexu nějakého afinního prostoru (nebo ekvivalentně ke standardnímu simplexu odpovídající dimenze). Koncept topologického simplexu je základem teorie simpliciálních komplexů ( simpliciální komplex je topologický prostor reprezentovaný jako sjednocení topologických simplicí, které tvoří triangulaci daného prostoru) [12] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Aleksandrov a Pasynkov, 1973 , s. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Matematická encyklopedie. T. 4 / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Archivní kopie ze dne 21. ledna 2022 u Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , str. 355.
↑ Alexandrov a Pasynkov, 1973 , s. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Komplexní // Matematická encyklopedie. svazek 2 / kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Archivní kopie ze dne 20. listopadu 2012 u Wayback Machine - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Základy matematické analýzy. 2. vyd. — M .: Mir , 1976. — 319 s. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . Elementary Calculation of the Dihedral Angle of Regular n -Simplex // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - S. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin a Manin, 1986 , str. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 353-355.
↑ Kostrikin a Manin, 1986 , s. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Jednoduchý prostor // Matematická encyklopedie. T. 4 / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Archivní kopie ze dne 21. ledna 2022 u Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1168.

Literatura

P. S. Alexandrov . kombinatorická topologie. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 s.
P. S. Alexandrov . Přednášky z analytické geometrie. — M .: Nauka , 1968. — 912 s.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Úvod do teorie rozměrů. Úvod do teorie topologických prostorů a obecné teorie dimenze. — M .: Nauka , 1973. — 576 s.
V. G. Boltyansky . Optimální řízení diskrétních systémů. — M .: Nauka , 1973. — 448 s.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Lineární algebra a geometrie. 2. vyd. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
L. S. Pontrjagin . Základy kombinatorické topologie. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 s. - S. 23-31.

Odkazy

Simplex - článek z Velké sovětské encyklopedie .

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus

Dimenze prostoru
Prostory podle dimenzí	Nulový rozměr jednorozměrný 2D 3D čtyřrozměrný pětirozměrný šestirozměrný sedmirozměrný osmičková devítirozměrný n-rozměrný Negativní rozměr
Polytopy a postavy	Simplexní hyperkrychle tesseract Hyperobdélník (ortotop) Semihypercube Cross-polytope hypersféra
Typy prostorů	konečně-dimenzionální prostor Euklidovský prostor afinní prostor projektivní prostor Modul zdarma Rozdělovač Dimenze algebraické proměnné vesmírný čas
Jiné dimenzionální koncepty	Krullova dimenze Lebesgueova dimenze Indukční rozměr Zlomková dimenze ( Minkowského dimenze , Hausdorffova dimenze ) fraktální dimenze Stupně svobody
Matematika