Ito stochastický kalkul

Itôův počet je matematická teorie, která zobecňuje metody matematické analýzy pro aplikaci na náhodné procesy , jako je Brownův pohyb (viz také Wienerův proces ). Pojmenován po tvůrci, japonském matematikovi Kiyoshi Itovi . Často se používá ve finanční matematice a teorii stochastických diferenciálních rovnic . Ústředním konceptem této teorie je Itô integrál :

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

kde je lokálně čtverec integrovatelný proces ${\displaystyle H_{s))$ a přizpůsobenépod filtrací generovanou procesem , což je zase Brownův pohyb nebo, v obecnější formulaci, semimartingal ${\displaystyle X_{s))$ [1] . Lze ukázat, že standardní metody integrálního počtu nejsou použitelné na trajektorie Brownova pohybu. Zejména Brownův pohyb není diferencovatelnou funkcí v žádném bodě trajektorie a má nekonečné variace v jakémkoli časovém intervalu. Itôův integrál tedy nelze definovat ve smyslu Riemann-Stieltjesova integrálu . Integrál Itô však lze správně definovat, pokud je integrandadaptovaným procesem, tj. jeho hodnota v určitém okamžikuzávisí pouze na informacích, které byly do tohoto okamžiku k dispozici. ${\displaystyle H_{s))$ $t$

Chování hodnoty akcií a jiných finančních aktiv lze modelovat stochastickými procesy, jako je Brownův pohyb nebo běžněji používaný geometrický Brownův pohyb (viz také Black-Scholesův model ). V tomto případě stochastický integrál Ito představuje zisk z časově kontinuální tržní strategie, ve které má účastník trhu v tuto chvíli cenné papíry. V takové situaci podmínka adaptability procesu odpovídá nezbytnému omezení modelu, které spočívá v tom, že tržní strategie může v daném okamžiku vycházet pouze z informací dostupných v daném okamžiku. Tato podmínka brání tomu, aby byly dosahovány neomezené zisky velmi častým obchodováním, nákupem akcií před každým růstem hodnoty a jejich prodejem před každým poklesem. Navíc podmínka adaptability integrandu zajišťuje správnost definice stochastického integrálu jako limity Riemannových součtů [1] . $t$ $H_t$ $H$

Příklady důležitých výsledků Itôovy teorie jsou rovnice integrace po částech a Itôova formule (změna vzorce proměnné v integrál). Tyto vzorce se liší od klasických vzorců analýzy přítomností členů odpovídajících kvadratické variaci.

Notace

Procesní integrál definovaný výše s ohledem na proces , rovný $Y$ $H$ $X$

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

je také časově závislý stochastický proces, někdy psaný jako [2] . $t$ $H\cdot X$

Alternativní způsob zápisu integrálu je diferenciální forma a její ekvivalent . $Y$ $dY=HdX$ $Y-Y_{0}=H\cdot X$

Protože Itôův kalkul studuje spojité stochastické procesy, předpokládá se, že je definován filtrovaný pravděpodobnostní prostor:

(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )

σ-algebra symbolizuje informace dostupné až do okamžiku . Proces je adaptován, pokud je měřitelný v dané σ-algebře. Brownův pohyb je v tomto případě chápán jako -Brownův, tedy standardní Brownův pohyb, který je měřitelný v a pro který nezávisí na žádném [3] . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t$ $X$ $X_{t}$ $B$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\displaystyle B_{t+s}-B_{t))$ ${\mathcal {F}}_{t}$ $s,t\geqslant 0$

Integrace s ohledem na Brownův pohyb

Analogicky s Riemann-Stieltjesovým integrálem lze Itôův integrál definovat jako limitu pravděpodobnosti Riemannových součtů. Taková mez pro žádnou trajektorii neexistuje.

Nechť je Wienerův proces a nechť je zleva spojitý, adaptovaný a lokálně ohraničený náhodný proces. Jestliže je posloupnost oddílů intervalu , které se zahušťují jako , pak Itô integrál od relativně k času je náhodná proměnná rovna $B$ $H$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ $[0,t]$ $n$ $H$ $B$ $t$

\int \limits _{{0}}^{{t}}H\,dB=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\sum _{{t_{{i-1}},t_{i }\in \pi _{n}}}}H_{{t_{{i-1}}}}(B_{{t_{i}}}-B_{{t_{{i-1}}}}) ,

kde se limit bere z hlediska pravděpodobnosti. Lze ukázat, že tato limita existuje, to znamená, že definice je správná.

V některých aplikacích (například ve větě o reprezentaci martingalua určení místního času) je nutné počítat integrály z nespojitých procesů. Mnoho předvídatelných procesůje nejmenší rodina procesů, které jsou uzavřeny operací překročení limitu sekvence a obsahuje všechny přizpůsobené procesy, které zůstávají kontinuální. If je předvídatelný proces takový, že pro všechny nezáporné $H$ $t$

\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,

pak je možné definovat integrál s ohledem na a v tomto případě se nazývá -integrovatelný. Každý takový proces může být aproximován sekvencí adaptovaných, doleva spojitých a lokálně ohraničených procesů v tom smyslu, že $H$ $B$ $H$ $B$ $H_n$

\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0

podle pravděpodobnosti. Potom je Itô integrál roven

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB

kde se limit bere z hlediska pravděpodobnosti. Lze ukázat, že tato limita existuje, to znamená, že definice je správná.

Takto definovaný stochastický integrál splňuje Itô izometrii, tedy rovnost

\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]

pro jakýkoli omezený proces nebo obecněji, když je integrál na pravé straně rovnosti konečný. $H$

Ito proces

Proces Itô je adaptovaný stochastický proces, který lze reprezentovat jako součet integrálu s ohledem na Brownův pohyb a integrálu s ohledem na čas:

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _ {s}\,ds.

Zde je Brownův pohyb, je to předvídatelný - integrovatelný proces a je to předvídatelný a Lebesgueův integrovatelný proces, tj. $B$ $\sigma$ $B$ $\mu$

\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

pro jakýkoli . Jeden může definovat stochastický integrál procesu Itô: $t$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\ int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Tento výraz je definován pro všechny lokálně ohraničené a předvídatelné integrandy. V obecnější formulaci se požaduje, aby byl -integrovatelný a -Lebesgue integrovatelný, tj. $H\sigma$ $B$ $H\mu$

\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .

Předvídatelné procesy splňující tuto podmínku se nazývají -integrovatelné, množina všech takových procesů je označena . $H$ $X$ $L(X)$

Důležitým výsledkem souvisejícím se studiem procesů Itô je Itôovo lemma. Nejjednodušší verze jeho formulace je následující: pro jakoukoli funkci a proces Itô je proces také procesem Itô a rovnost $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ $X$ $f(X)$

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2))f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Tento výraz je stochastickou analogií vzorce pro změnu proměnné v integrálu a pravidla pro derivování komplexní funkce . Od klasických vzorců se liší přítomností dalšího členu, který zahrnuje druhou derivaci funkce a vzniká tím, že kvadratická variace Brownova pohybu není rovna nule. $F$

Semimartingales jako integrátoři

Integrál Itô je definován s ohledem na semimartingal , tj. proces reprezentovaný jako , kde je místní martingal $X$ $X=M+A$ $M$ , je proces s konečnou variací. Takovými procesy jsou například Wienerův proces (což je martingal), stejně jako procesy s nezávislými přírůstky . $A$

Pro levo-souvislý, lokálně ohraničený a adaptovaný proces existuje integrál , který lze vypočítat jako limitu Riemannových součtů. Dovolit je posloupnost oddílů intervalu , které ztloustnou jako . Pak $H$ $H\cdot X$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ $[0,t]$ $n$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{{n\rightarrow \infty }}\součet _{{t_{{i-1}},t_{i}\in \ pi _{n}}}H_{{t_{{i-1}}}}(X_{{t_{i}}}-X_{{t_{{i-1}}}}),

kde se limit bere z hlediska pravděpodobnosti.

Definice stochastického integrálu pro levo-spojité procesy je dostatečně obecná, aby se dala použít ve většině úloh stochastického počtu, například v aplikacích Itôova lemmatu, při změně míry podle Girsanovovy větya ve studiu stochastických diferenciálních rovnic . Taková definice se však ukazuje jako nevhodná pro jiná důležitá témata, jako je věta o reprezentaci martingalu a studium místních časů.

Pojem integrálu lze jedinečným způsobem zobecnit na všechny předvídatelné a lokálně omezené integrandy, takže budou splněny podmínky věty o dominované konvergenci . Pokud a pro nějaký lokálně ohraničený proces , pak $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $J$

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX

podle pravděpodobnosti. Jedinečnost zobecnění je důsledkem monotónní věty o třídě.

Obecně lze stochastický integrál definovat i v případě, že předpovídaný proces není lokálně ohraničen. Procesy a jsou omezené. Asociativita stochastické integrace znamená -integrovatelnost tehdy a jen tehdy a . $H\cdot X$ $H$ $K=1/(1+|H|)$ $KH$ $X$ $H$ $H\cdot X=Y$ $Y_{0}=0$ $K\cdot Y=(KH)\cdot X$

Vlastnosti

Stochastický integrál má následující vlastnosti [3] [2] .

Stochastický integrál je náhodný proces, který je prvkem skorochodského prostoru. Stochastický integrál je navíc semimartingal.

Nespojitosti stochastického integrálu vznikají, když se skokový integrátor a integrand násobí. Skok procesu, který je prvkem skorochodského prostoru, v časovém okamžiku se rovná a často se označuje . Pak $t$ $X_{t}-X_{t-}$ ${\displaystyle \Delta X_{t))$

\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.

Z toho zejména vyplývá, že integrál vzhledem ke spojitému procesu je také spojitý.

Asociativnost . Nechte a buďte předvídatelné procesy a buďte integrovatelní. Pak je -integrovatelné tehdy a jen tehdy, když je -integrovatelné a v tom případě $J$ $K$ $K$ $X$ $J$ $(K\cdot X)$ $JK$ $X$

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

Majorizovaná konvergence . Nechat a nechat pro nějaký -integrovatelný proces . Pak pravděpodobně pro jakýkoli . Na kompaktních množinách bude konvergence rovnoměrná . $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $X$ $J$ $H_{n}\cdot X\to H\cdot X$ $t$

Stochastický integrál se mění s operací kvadratické kovariance. Jestliže a jsou semimartingales, pak jakýkoli -integrovatelný proces bude také -integrovatelný a . Z toho vyplývá, že proces kvadratické variace stochastického integrálu je roven integrálu procesu kvadratické variace: $X$ $Y$ $X$ $[X,Y]$ $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Integrace po částech

Stejně jako v klasické analýze je i ve stochastickém počtu důležitým výsledkem vzorec pro integraci po částech . Vzorec pro Itôův integrál se liší od vzorce pro Riemannův-Stieltjesův integrál dodatečným členem rovným kvadratické kovarianci. Objevuje se díky tomu, že v Itôově počtu jsou studovány procesy s nenulovou kvadratickou variací, což jsou pouze procesy s nekonečnou variací, jako je například Brownův pohyb. Pokud a jsou semimartingales, pak $X$ $Y$

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _ {0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

kde je proces kvadratické kovariance. $[X,Y]$

Itovo lemma

Itôovo lemma je analogií vzorce pro derivování komplexní funkce nebo změny vzorce proměnných v integrál pro Itô stochastický integrál a jeden z nejsilnějších a nejpoužívanějších výsledků stochastického počtu.

Nechť je a- dimenzionální semimartingal a nechť je dvakrát hladká funkce od do . Pak je také semimartingal a $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ $n$ $F$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $f(X)$

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\součet _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .

Tento vzorec se liší od klasického řetězového pravidla přítomností kvadratické kovariance . Vzorec lze zobecnit na případ nespojitých semimartingalů přidáním členu odpovídajícího skokům a zajištění kontinuity. $[X^{i},X^{j}]$

Integrační martingales

Místní martingales

Důležitou vlastností integrálu Itô je zachování vlastnosti lokality martingales. Jestliže je lokální martingal a je lokálně ohraničený předvídatelný proces, pak integrál je také lokální martingal. Je možné uvést příklady, kdy není lokální pro integrandy, které nejsou lokálně ohraničené, k tomu však může dojít pouze v případě, že je nespojitý. Pokud je kontinuální místní martingal, pak je předvídatelný proces -integrovatelný tehdy a jen tehdy $M$ $H$ $H\cdot M$ $H\cdot M$ $M$ $M$ $H$ $M$

\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty

pro všechny a je vždy místní martingal. $t$ $H\cdot M$

Nejobecnější tvrzení o nespojitém lokálním martingalu je formulováno následovně: je-li proces lokálně integrovatelný, pak integrál existuje a je lokálním martingalem. $M$ ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ $H\cdot M$

Čtvercové integrovatelné martingaly

U ohraničených integrandů Itô stochastický integrál zachovává prostor čtvercových integrovatelných martingalů, tedy martingalů patřících do skorokhodského prostoru a splňujících vlastnost $M$

\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty

pro jakýkoli . Pro každý takový martingal je proces kvadratické variace integrovatelný a Itô izometrie je splněna: $t$ $M$ $[M]$

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\vpravo].

Tato rovnost platí také v obecnějším případě - pro jakýkoli martingal , takže proces je integrovatelný. Itô izometrie se často používá jako důležitý krok při konstrukci stochastického integrálu. Lze ji definovat jako jediné rozšíření Itô izometrie z určité třídy jednoduchých integrandů na případ všech ohraničených a předvídatelných procesů. $M$ ${\displaystyle H^{2}\cdot [M]_{t))$ $H\cdot M$

$p$ -integrovatelné martingales

Pro jakýkoli a jakýkoli ohraničený předvídatelný integrandový proces zachovává stochastický integrál prostor -integrovatelných martingalů, tedy martingalů patřících do skorokhodského prostoru, pro které $p>1$ $p$ $M$

\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty

pro jakýkoli . Pro tento případ to není vždy případ: lze uvést příklady integrálů omezených předvídatelných procesů s ohledem na martingaly, které nejsou martingaly. $t$ $p=1$

Maximum procesu ze Skorokhodského prostoru je označeno jako . Pro jakýkoli a jakýkoli omezený předvídatelný integrandový proces zachovává stochastický integrál prostor martingalů ze skorokhodského prostoru tak, že $M$ $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$ $p\geqslant 1$ $M$

\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty

pro jakýkoli . Z Doobovy nerovnosti vyplývá, že pro tento prostor se shoduje s prostorem -integrovatelných martingales. $t$ $p>1$ $p$

Podle Burkholder-Davis-Gandhi nerovností pro všechny existují kladné konstanty a v závislosti pouze na , takové, že pro jakýkoli martingal , lokálně patřící do skorokhodského prostoru, $p\geqslant 1$ $C$ $C$ $p$ $M$

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right].

Pomocí těchto vztahů můžeme ukázat, že pokud integrujeme a je to omezený předvídatelný proces, pak ${\displaystyle \left(M_{t}^{*}\right)^{p))$ $H$

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2 }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty

a v důsledku toho je -integrovatelný martingal. Toto tvrzení zůstává pravdivé v obecnějším případě, kdy je proces integrovatelný. $H\cdot M$ $p$ $\left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}$

Viz také

Stratonovičův integrál

Poznámky

↑ 1 2 Revuz, Yor, 1999 , kapitola IV.
↑ 12 Rogers, Williams, 2000 .
↑ 12 Revuz , Yor, 1999 .

Literatura

Kleinert, H. Integrály cesty v kvantové mechanice, statistice, fyzice polymerů a finančních trzích. — 5. vydání. - Singapur:World Scientific, 2009. - 1624 s. —ISBN 978-981-4365-26-0. -doi:10.1142/7305.
On, SW , Wang, JG , Yan, JA Semimartingale teorie a stochastický počet . - Science Press, CRC Press Inc., 1992. - ISBN 7-03-003066-4 .
Karatzas, I. , Shreve, S. E. Brownian Motion and Stochastic Calculus (anglicky) . - Springer, 1991. - ISBN 0-387-97655-8 .
Protter, P.E. Stochastickáintegrace a diferenciální rovnice . - Springer, 2001. - ISBN 3-540-00313-4 .
Øksendal, BK Stochastické diferenciální rovnice :Úvod s aplikacemi . - Springer, 2003. - ISBN 3-540-04758-1 .
Revuz, D. , Yor, M. Continuous martingales and Brownian motion (anglicky) . - Berlin: Springer, 1999. - ISBN 3-540-57622-3 .
Rogers, C. , Williams, D. Difúze, Markovovy procesy a martingales - Volume 2: Itô calculus (anglicky) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - ISBN 0-521-77593-0 .
Štěpánov, S. Stochastický svět . - Elektronická verze. (Ruština)