Kulový mnohostěn

Sférický mnohostěn nebo sférický obklad  je takový obklad na kouli , ve kterém je povrch rozdělen velkými oblouky na ohraničené oblasti zvané sférické mnohoúhelníky. Hodně z teorie symetrických polyhedra používá sférické polyhedra.

Nejznámějším příkladem kulového mnohostěnu je fotbalový míč , který lze chápat jako komolý dvacetistěn .

Některé “nesprávné” polyhedra, takový jako osohedra a jejich dvojí dihedra , existovat jen jako sférické polyhedra a mít žádné ploché obličejové protějšky. V tabulce s příklady níže je {2, 6} osoedr a {6, 2} je jeho duální dihedron.

Historie

První známé umělé mnohostěny jsou kulové mnohostěny vytesané do kamene. Mnoho z nich bylo nalezeno ve Skotsku a pochází z období neolitu .

Během evropského „ temného věku “ napsal islámský učenec Abul-Wafa al-Buzjani první seriózní práci o sférických mnohostěnech.

Před dvěma sty lety, na začátku 19. století, Poinsot použil sférické mnohostěny k objevení čtyř pravidelných hvězdných mnohostěnů .

V polovině 20. století je Coxeter použil k výčtu všech (kromě jednoho) uniformních mnohostěnů pomocí kaleidoskopické konstrukce ( Stavba Withoff ).

Příklady

Všechny pravidelné , polopravidelné mnohostěny a jejich duály lze promítnout na kouli jako obklad. Níže uvedená tabulka ukazuje Schläfliho symboly {p, q} a schéma vrcholového obrázku abc...:

symbol Schläfli {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Vertexová postava p q q.2p.2p pqpq p. 2q.2q qp _ q.4.p. čtyři 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Tetraedral
(3 3 2)
3 3
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
3 3
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.4.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Oktaedrální
(4 3 2)
4 3
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
3 4
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Ikosahedrální
(5 3 2)
5 3
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
3 5
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Příklady dihedral
=6
(2 2 6)
6 2
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26 _
4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Třída 2 3 čtyři 5 6 7 osm deset
Hranol
(2 2 p)
bipyramida
(2 2 b)
antihranol
lichoběžník

Nepravidelné případy

Sférické obklady umožňují případy, které jsou pro mnohostěny nemožné, jmenovitě osoedry , pravidelné obrazce {2,n} a dihedry , pravidelné obrazce {n,2}.

Rodina pravidelných vos
Obrázek
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}…
coxeter CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 3.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 4.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 5.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 6.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 7.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel8.pngCDel uzel.png
Tváře a
hrany 		2 3 čtyři 5 6 7 osm
Vrcholy 2
Pravidelné dihedra: (kulaté dlaždice)
Obrázek
Schläfli {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
coxeter CDel uzel 1.pngCDel 2x.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 5.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png CDel uzel 1.pngCDel 6.pngCDel uzel.pngCDel 2x.pngCDel uzel.png
Fazety 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Hrany a
vrcholy 		2 3 čtyři 5 6

Spojení s obklady na projektivní rovině

Vzhledem k tomu, že koule je dvouplášťový kryt projektivní roviny, projektivní polytopy odpovídají dvojitému pokrytí kulovými polytopy, které mají středovou symetrii .

Nejznámějšími příklady projektivních mnohostěnů jsou pravidelné projektivní mnohostěny vytvořené ze středově symetrických pravidelných mnohostěnů , jakož i z nekonečných rodin sudých dvojstěnů a osoedrů : [1]

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Coxeter, 1966 , str. 547-552 §3 Správné karty.

Literatura