Mollweideovy vzorce

Mollweideovy vzorce jsou goniometrické závislosti vyjadřující vztah mezi délkami stran a hodnotami úhlů ve vrcholech určitého trojúhelníku, které objevil K. B. Mollweide .

Popis

Mollweideovy vzorce mají následující tvar:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos}\;{\frac {AB}{2}}}{\operatorname {sin}\;{\frac {C}{ 2}}}};

{\frac {ab}{c}}={\frac {\operatorname {sin} \;{\frac {AB}{2}}}{\operatorname {cos} \;{\frac {C} {2}}}},

kde A , B , C jsou hodnoty úhlů v odpovídajících vrcholech trojúhelníku a a , b , c jsou délky stran mezi vrcholy B a C , C a A , A a B . Vzorce jsou pojmenovány po německém matematikovi Karlu Mohlweideovi . Mollweideovy vzorce je vhodné použít při řešení trojúhelníku o dvou stranách a úhlu mezi nimi [1] :146 a o dvou úhlech a přilehlé straně. Podobné vztahy ve sférické trigonometrii se nazývají Delambreovy vzorce [1] :83 .

Důkaz

Uvažujme odvození pouze prvního vztahu, protože důkaz druhého je podobný.

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos}\;{\frac {AB}{2}}}{\operatorname {sin}\;{\frac {C}{ 2}}}};

Ze sinusové věty:

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}

my máme:

{\frac {a}{c}}={\frac {\sin A}{\sin C}}

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin B}{\sin C}}

odkud následuje:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}

Vzhledem k rovnici dvojitého úhlu pro sinus :

\sin C=2\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}

stejně jako vzorce pro součet sinů :

\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {AB}{2}}

my máme:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\sin A+\sin B}{\sin C}}={\frac {\sin {\frac {A+B}{2 }}\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}}

Podle věty o součtu úhlů trojúhelníku :

C=\pi -(A+B)

z čehož s přihlédnutím k redukčnímu vzorci pro kosinus vyplývá, že:

\cos {\frac {C}{2}}=\cos {\frac {\pi -(A+B)}{2}}=\sin {\frac {A+B}{2}}

v důsledku toho máme:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}}

Q.E.D.

Aplikace

Pokud odděleně vydělíme pravou a levou část posledních vzorců, okamžitě získáme teorém

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - M. - L.: OGIZ , 1948. - 154 s.

Literatura

O. V. Manturov , Yu K. Solntsev , Yu I. Sorkin a N. G. Fedin . Výkladový slovník matematických pojmů, M.: Education, 1965.

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní