Míč

Míč je geometrické těleso ; množina všech bodů v prostoru umístěných ve vzdálenosti od středu , ne více než daný. Tato vzdálenost se nazývá poloměr míče . Koule vzniká otáčením půlkruhu kolem svého pevného průměru . Tento průměr se nazývá osa koule a oba konce zadaného průměru se nazývají póly koule . Povrch koule se nazývá koule : uzavřená koule tuto kouli zahrnuje , otevřená koule ji vylučuje.

Související definice

Pokud rovina řezu prochází středem koule, pak se úsek koule nazývá velký kruh . Jiné rovinné části míče se nazývají malé kruhy . Plocha těchto sekcí se vypočítá podle vzorce πR².

Základní geometrické vzorce

Povrch a objem koule o poloměru (a průměru ) jsou určeny vzorcem: $S$ $PROTI$ $r$ $d = 2r$

$S=\ 4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Důkaz

Vezměme čtvrtinu kruhu o poloměru R se středem v bodě . Rovnice obvodu tohoto kruhu je : , odkud . $\left(0;0\right)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

Funkce je spojitá, klesající, nezáporná. Když se čtvrtina kruhu otočí kolem osy Ox, vytvoří se polokoule, proto: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Kde je Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Důkaz

$d=2r, V={4 \přes 3} \pi r^3 = {4 \přes 3} \pi \left ( {d \přes 2} \vpravo )^3 = {4 \přes 3} \pi \ frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H. t. d.

Pojem koule v metrickém prostoru přirozeně zobecňuje pojem koule v euklidovské geometrii .

Definice

Nechť je dán metrický prostor . Pak $(X,\rho)$

Kulička (nebo otevřená koule ) se středem v bodě a poloměrem je množina $x_{0}\v X$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

Uzavřená koule se středem a poloměrem je sada $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Poznámky

Koule o poloměru se středem se také nazývá sousedství bodu . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Vlastnosti

Míč je otevřená množina v topologii generované metrikou . $\rho$
Uzavřená koule je uzavřená množina v topologii generované metrikou . $\rho$
Podle definice takové topologie jsou její základnou otevřené koule se středy v libovolném bodě . $X$
Samozřejmě . Obecně však platí, že uzavření otevřené koule se nemusí shodovat s uzavřenou koulí: $B_{r}(x_{0})\podmnožina D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Například: nechť je
diskrétní metrický prostor a skládá se z více než dvou bodů. Pak pro všechny máme: $(X,\rho)$ $X$ $x\in X$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

Svazek

Objem n-rozměrné koule o poloměru R v n - rozměrném euklidovském prostoru: [1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

kde Γ je Eulerova gama funkce (což je rozšíření faktoriálu na pole reálných a komplexních čísel ). Pomocí konkrétních reprezentací funkce gama pro celočíselné a polocelé hodnoty lze získat vzorce pro objem n-rozměrné koule, které nevyžadují funkci gama:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

Známý !! zde je označen dvojitý faktoriál .

Tyto vzorce lze také zredukovat na jeden obecný:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\right]}}{n!!}}R^{n}

Inverzní funkce pro vyjádření závislosti poloměru na objemu:

{\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)){\sqrt {\pi ))}V^{1/n))

Tento vzorec lze také rozdělit na dva, pro prostory se sudým a lichým počtem rozměrů, pomocí faktoriálu a dvojitého faktoriálu místo funkce gama:

{\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)){\sqrt {\pi ))))

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\right)^{ 1/(2k+1)}

. Rekurze

Objemový vzorec lze také vyjádřit jako rekurzivní funkci . Tyto vzorce lze dokázat přímo nebo je lze odvodit z výše uvedeného základního vzorce. Nejjednodušší způsob, jak vyjádřit objem n - rozměrné koule, je objemem rozměrné koule (za předpokladu, že mají stejný poloměr): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

Existuje také vzorec pro objem n - rozměrné koule v závislosti na objemu ( n − 1)-rozměrné koule o stejném poloměru:

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )){\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n }{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

Totéž bez funkce gama:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdot 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{aligned}}

Prostory nižších rozměrů

Objemové vzorce pro některé prostory nižších rozměrů:

Počet měření	Objem koule o poloměru R	Poloměr objemové koule V
jeden	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
čtyři	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}$
osm	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}$
deset	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Prostory vyšších dimenzí

Protože počet rozměrů směřuje k nekonečnu, objem koule o jednotkovém poloměru má tendenci k nule. To lze odvodit z rekurzivní reprezentace objemového vzorce.

Příklady

Nechť je euklidovský prostor s obvyklou euklidovskou vzdáleností. Pak $\mathbb{R}^d$

if (mezera je přímka ), pak $d=1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\right),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\vpravo].

jsou otevřené a uzavřené segmenty .

if (space - plane ), then $d=2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

jsou otevřené a uzavřené disky .

pokud , tak $d=3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

jsou otevřená a uzavřená stereometrická koule , resp.

V jiných metrikách může mít míč jiný geometrický tvar. Například definujme metriku v euklidovském prostoru takto: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\součet \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Pak

if , pak je otevřený čtverec se středem v bodě a stranami délky umístěnými diagonálně k souřadnicovým osám. $d=2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\sqrt {2}}$
jestliže , pak je otevřený trojrozměrný osmistěn . $d=3$ $U_{r}(x_{0})$

Viz také

Poznámky

↑ Rovnice 5.19.4, Digitální knihovna matematických funkcí NIST. http://dlmf.nist.gov/ , vydání 1.0.6 z 06.05.2013.

Literatura

Koule, geometrické těleso // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Odkazy na online kalkulačky

Výpočet objemu a plochy koule (nepřístupný odkaz) . Získáno 12. března 2012. Archivováno z originálu 8. srpna 2011. (neurčitý)
Online kalkulačky (nedostupný odkaz) . Staženo 2. července 2019. Archivováno z originálu 9. ledna 2019. (neurčitý)
Matematické etudy (nepřístupný odkaz) . Získáno 20. října 2011. Archivováno z originálu 18. října 2011. (neurčitý) Karikatura objemu koule