Integrační metody

Nalezení přesné primitivní (nebo integrální ) funkce libovolných funkcí je složitější postup než „diferenciace“, tedy nalezení derivace . Často je nemožné vyjádřit integrál v elementárních funkcích .

Přímá integrace

Přímá integrace je metoda, při které se integrál identickými transformacemi integrandu (nebo výrazu) a uplatněním vlastností integrálu redukuje na jeden nebo více integrálů elementárních funkcí .

Variabilní substituční metoda (substituční metoda)

Substituční integrační metoda spočívá v zavedení nové integrační proměnné. V tomto případě je daný integrál redukován na integrál elementární funkce , nebo redukován na něj.

Obecné metody pro výběr substitucí neexistují – schopnost správně určit substituci se získává praxí.

Nechť je potřeba vypočítat integrál Udělejme substituci kde je funkce, která má spojitou derivaci . $\int F(x)dx.$ $x=\varphi (t),$ $\varphi (t)$

Potom a na základě vlastnosti invariance neurčitého integrálního integračního vzorce získáme integrační vzorec substitucí: $dx=\varphi '(t)\cdot dt$

\int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.

Tato metoda se také nazývá metoda diferenciálního znaménka a je zapsána následovně: funkce zobrazení je integrována následovně: $v(u(x))$

\int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx))=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x))}.

Příklad: Najít $\int x{\sqrt {x-3}}\,dx$

Řešení: Nechte , pak . ${\sqrt {x-3}}=t$ $x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt$

$\int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2} )dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t ^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C$

Obecně se pro výpočet integrálů obsahujících radikály často používají různé substituce. Dalším příkladem je Abelova substituce

$t={d({\sqrt {x^{2}+px+q))) \over dx},$

používá se k výpočtu integrálů formuláře

$\int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2)),$

kde m je přirozené číslo [1] . Někdy se používají Eulerovy substituce . Viz také diferenciální binomická integrace níže .

Integrace některých goniometrických funkcí

Nechť je potřeba integrovat výraz , kde R je racionální funkce dvou proměnných. Je vhodné vypočítat takový integrál substituční metodou: $R(\sin x,\cos x)$

if , pak se použije substituce [2] ; $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\cos x$
if , pak se použije substituce [2] ; $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ $t=\sinx$
if , pak se použije substituce [3] . $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ $t=\operatorname {tg} x$

Zvláštní případ tohoto pravidla:

$\int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx$

Volba náhrady se provádí takto:

je -li m liché a kladné, je vhodnější provést substituci ; $\cos x=t$
je -li n liché a kladné, je vhodnější provést substituci ; $\sin x=t$
jsou -li n i m sudé, je pohodlnější provést substituci . $\operatorname {tg} x=t$

Příklad: . $I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$

Řešení: Nechat ; potom a , kde C je libovolná konstanta. $\sin x=t$ $\cos x\cdot dx=dt$ $I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C$

Integrace diferenciálního binomu

Vypočítat integrál diferenciálního binomu

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

kde a , b jsou reálná čísla , a m , n , p jsou racionální čísla , používá se substituční metoda také v následujících třech případech:

$p$ je celé číslo. Používá se substituce , je společným jmenovatelem zlomků a ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ je celé číslo. Substituce se používá , je jmenovatelem zlomku . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $p$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ je celé číslo. Substituce se používá , je jmenovatelem zlomku . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $p$

V jiných případech, jak ukázal P. L. Čebyšev v roce 1853 , tento integrál není vyjádřen v elementárních funkcích [4] .

Integrace po částech

Integrace po částech - použití následujícího vzorce pro integraci:

\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.

Nebo:

\int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.

Konkrétně tím , že použijeme tento vzorec n krát, najdeme integrál

\int P_{{n+1}}(x)e^{x}\,dx,

kde je polynom tého stupně. $P_{{n+1}}(x)$ $(n+1)$

Příklad: Najděte integrál . $\int x\cdot \ln x\,dx$

Řešení: K nalezení tohoto integrálu použijeme metodu integrace po částech, k tomu budeme předpokládat, že a poté podle vzorce pro integraci po částech získáme ${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x))))$ $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}$ $\int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot { \frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C$

Integrace racionálních zlomků

Neurčitý integrál jakéhokoli racionálního zlomku na jakémkoli intervalu, na kterém jmenovatel zlomku nezaniká, existuje a je vyjádřen pomocí elementárních funkcí, totiž je to algebraický součet superpozice racionálních zlomků, arkustangens a racionálních logaritmů.

Samotná metoda spočívá v rozkladu racionálního zlomku na součet jednoduchých zlomků.

Jakýkoli správný racionální zlomek , jehož jmenovatel je faktorizován ${\tfrac {P(x)}{Q(x)))$

Q(x)=\prod _{{i=1}}^{{n}}(x-x_{i})^{{k_{i}}}\cdot \prod _{{j=1}} ^{{m}}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{{s_{j}}}

může být reprezentován (a jednoznačně) jako následující součet jednoduchých zlomků:

{\frac {P(x)}{Q(x)}}=\součet _{{i=1}}^{{n}}{\součet _{{j=1}}^{{k_{n ))}{{\frac {A_{{ij}}}{(x-x_{i})^{j}}}}}+\sum _{{l=1}}^{{m}}{ \sum _{{t=1}}^{{s_{m}}}{{\frac {\alpha _{{lt}}+\beta _{{lt}}x}{(x^{2} +p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}

kde jsou nějaké reálné koeficienty, obvykle vypočítané pomocí metody neurčitých koeficientů . $A_{{ij}},\alpha _{{lt}},\beta _{{lt}}$

Příklad : $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.$

Řešení: Rozšiřujeme integrand na jednoduché zlomky:

${\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)))={\frac {\alpha }{( x-3)))+{\frac {\beta }{(x+3)))$

Seskupujeme členy a dáváme rovnítko mezi koeficienty členů se stejnými mocninami:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

tudíž ${\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases)),{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2 }}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}$

Pak

{\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {{\frac {3}{2}}}{x-3}}+{\frac {{\frac {1 }{2}}}{x+3}}

Nyní je snadné vypočítat původní integrál $\int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{ \frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2 }}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C$

Integrace elementárních funkcí

Pro nalezení primitivní funkce elementární funkce jako elementární funkce (nebo určení, že primitivní funkce není elementární) byl vyvinut Rischův algoritmus. Je plně nebo částečně implementován v mnoha systémech počítačové algebry .

Viz také

Poznámky

↑ Vinogradova I. A., Olehnik S. N., Sadovničij V. A. Úkoly a cvičení v matematické analýze. Kniha 1. - 2. vyd. - M . : Vyšší škola , 2000. - S. 213.
↑ 1 2 Viz odůvodnění v knize: I. M. Uvarenkov, M. Z. Maller. Kurz matematické analýzy. - M . : Vzdělávání , 1966. - T. 1. - S. 459-460.
↑ Viz odůvodnění v knize: V. A. Ilyin, E. G. Poznyak. Základy matematické analýzy. - 2. vyd. - M . : Nauka , 1967. - S. 219. - (Kurz vyšší matematiky a matematické fyziky).
↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (francouzsky) // Journal de mathématiques pures et appliquées :časopis. - 1853. - Sv. XVIII . - S. 87-111 .

Odkazy

Wolfram Integrator - online výpočet integrálů pomocí Mathematica
Matematický asistent na webu - online symbolické výpočty
Online kalkulačka Integrals

Integrální počet

Hlavní

Zobecnění
Riemannova integrálu

Integrální
transformace

Numerická
integrace

teorie míry

související témata

Seznamy integrálů