Akcelerace

Akcelerace
${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$
Dimenze	LT- 2
Jednotky
SI	m/s²
GHS	cm/s²
Poznámky
vektorová veličina

Zrychlení (obvykle označované latinskými písmeny a (z lat. acceleratio ) nebo w ) je fyzikální veličina, která určuje rychlost změny rychlosti tělesa, tedy první derivace rychlosti s ohledem na čas . Zrychlení je vektorová veličina ukazující, jak moc se mění vektor rychlosti tělesa, když se pohybuje za jednotku času: ${\vec {v}}$

\vec a={d\vec v \over dt}.

Například tělesa volně padající blízko povrchu Země podél vertikály, v případech, kdy je odpor vzduchu , který zažívají , malý, zvýší svou rychlost asi o 9,8 m / s za sekundu, to znamená, že jejich zrychlení je přibližně 9,8 m . / s² . Při nepřímočarém pohybu se bere v úvahu nejen změna velikosti rychlosti, ale i její směr: například zrychlení tělesa pohybujícího se po kružnici konstantní rychlostí v absolutní hodnotě není rovno nule: je konstantní v absolutní hodnotě (a proměnlivé ve směru) zrychlení směřující ke středu kruhu.

Jednotkou zrychlení v mezinárodní soustavě jednotek (SI) je metr za sekundu za sekundu (ruské označení: m/s 2 ; mezinárodní: m/s 2 ).

Zrychlení v kinematice bodů

Nejobecnější případ

Zrychlení a související veličiny

Vektor zrychlení hmotného bodu v libovolném časovém okamžiku se nalézá jednou časovou diferenciací vektoru rychlosti hmotného bodu (nebo dvojnásobnou diferenciací vektoru poloměru ):

\vec a = {d\vec v \over dt} = {d^2\vec r \over dt^2}.

Pokud jsou známy souřadnice a vektor rychlosti na trajektorii bodu v libovolném čase t 0 , stejně jako závislost zrychlení na čase , pak integrací této rovnice můžete získat souřadnice a rychlost bodu v libovolném čase. čas t (před i po okamžiku t 0 ): $\vec r (t_0) = \vec r_0$ $\vec v(t_0) = \vec v_0$ $\vec a (t),$

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau ) d\tau ,

{\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{ t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau )d\tau d\xi .

Časová derivace zrychlení, tedy hodnota charakterizující rychlost změny zrychlení, se nazývá trhnutí :

\vec j=\frac {\mathrm{d} \vec a} {\mathrm{d}t},

kde je vektor trhnutí.

\vec j

Analýza pohybu křivky

Dráhu pohybu hmotného bodu na malé ploše lze považovat za plochou. Vektor zrychlení může být rozšířen v doprovodném základu $\vec a$ $\left\{\vec \tau, \vec{n}, \vec{b}\right\}:$

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} + {a}_b {\vec b} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau } + \frac{v^2}{R} {\vec n} + {a}_b {\vec b} ,

kde

proti\

- hodnota rychlosti ,

{\vec \tau} = \vec v/|\vec v|

je jednotková tečna k vektoru trajektorie směřující podél rychlosti (tangenciální jednotkový vektor ),

{\vec n}

je vektor hlavní normály k trajektorii, kterou lze definovat jako jednotkový vektor ve směru

d\vec\tau/dl,

{\vec b}

je ort binormály k trajektorii, kolmý k oběma ortům a (tj. ortogonální k okamžité rovině trajektorie),

{\vec \tau}

{\vec n}

R

je poloměr zakřivení trajektorie.

Termín nazývaný binormální zrychlení je vždy roven nule. To lze považovat za přímý důsledek definice vektorů , můžeme říci, že jsou voleny tak, že první se vždy shoduje s normálním zrychlením, zatímco druhé je ortogonální k prvnímu. ${a}_b{\vec b},$ $\vec n, \vec b:$

Vektory a se nazývají tečné ( tangenciální ) a normálové zrychlení . ${a}_\tau\vec \tau}$ ${a}_n{\vec n}$

Takže s ohledem na výše uvedené lze vektor zrychlení při pohybu po jakékoli trajektorii zapsat jako:

\vec a = {a}_\tau {\vec \tau} + {a}_n {\vec n} = \frac{dv}{dt}{\vec \tau} + \frac{v^2}{ R} {\vec n}.

Důležité speciální případy

Rovnoměrně zrychlený pohyb

Pokud se vektor s časem nemění, pohyb se nazývá rovnoměrně zrychlený . Při rovnoměrně zrychleném pohybu jsou výše uvedené obecné vzorce zjednodušeny do následující podoby: $\vec a$

\vec v(t) = \vec v_0 + (t - t_0)\vec a,

\vec r(t) = \vec r_0 + (t-t_0)\vec v_0 + {(t-t_0)^2\přes 2}\vec a.

Zvláštním případem rovnoměrně zrychleného pohybu je případ, kdy je zrychlení po celou dobu pohybu nulové. V tomto případě je rychlost konstantní a pohyb nastává po přímočaré trajektorii (pokud je rychlost také nulová, pak je tělo v klidu), proto se takový pohyb nazývá přímočarý a rovnoměrný.

Rovnoměrně zrychlený pohyb bodu je vždy plochý a pohyb tuhého tělesa je vždy rovinně paralelní ( translační ). Opak obecně neplatí.

Rovnoměrně zrychlený pohyb při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy zůstává rovnoměrně zrychlený.

Případ rovnoměrně zrychleného pohybu, kdy zrychlení (konstanta) a rychlost směřují po stejné přímce, ale v různých směrech, se nazývá rovnoměrně pomalý pohyb. Rovnoměrně zpomalený pohyb je vždy jednorozměrný. Pohyb lze považovat za rovnoměrně zpomalený pouze do okamžiku, kdy se rychlost stane nulovou. Navíc vždy existují inerciální vztažné soustavy, ve kterých pohyb není stejně pomalý.

Přímý pohyb

Důležitým konkrétním případem pohybu se zrychlením je přímočarý pohyb, kdy je zrychlení v každém okamžiku kolineární s rychlostí (například případ padajícího tělesa s vertikální počáteční rychlostí). V případě přímočarého pohybu lze zvolit jednu ze souřadnicových os podél směru pohybu a nahradit vektor poloměru a vektory zrychlení a rychlosti skaláry. Přitom při konstantním zrychlení z uvedených vzorců vyplývá, že

v^{2}=v_{0}^{2}+2\,as.

Zde v 0 a v jsou počáteční a konečné rychlosti tělesa, a je jeho zrychlení, s je dráha, kterou těleso urazí.

Řada prakticky důležitých vzorců spojuje uplynulý čas, ujetou vzdálenost, dosaženou rychlost a zrychlení při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu s nulovou ( ) počáteční rychlostí: $v_{0}=0$

t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \frac{v}{a} = \frac{2s}{v}, \qquad\qquad s = \frac{vt}{2}=\ frac{at^2}{2} = \frac{v^2}{2a},

v = \sqrt{2 \, as} = at = \frac{2s}{t}, \qquad\qquad a = \frac{v}{t} = \frac{2s}{t^2} = \frac {v^2}{2s},

takže libovolné dvě z těchto veličin určují další dvě (zde se předpokládá, že čas se počítá od začátku pohybu: t 0 = 0 ).

Kruhový pohyb

Vektor zrychlení

\vec a = \frac{d \vec v}{dt}

když se bod pohybuje po kružnici, lze jej rozložit na dva pojmy (složky):

\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n .

Tangenciální nebo tečné zrychlení(někdy označovanéatd., podle toho, které písmeno v konkrétním textu je zvykem označovat zrychlení) směřuje tečně k dráze. Je to složka vektoru zrychleníkolineární s vektorem okamžité rychlosti. Charakterizuje změnu rychlosti modulo. $\vec a_\tau$ $\vec w_\tau, \vec u_\tau$ $\vec a,$

\vec a_\tau = \frac{\vec v}{|\vec v|} \cdot \frac{d |\vec v|}{dt}.

Dostředivé nebo normálové zrychlení(někdy také označovanéatd.) nastává (nerovná se nule) vždy, když se bod pohybuje nejen po kružnici, ale také po jakékoli trajektorii s nenulovým zakřivením. Je to složka vektoru zrychleníkolmá na vektor okamžité rychlosti. Charakterizuje změnu rychlosti ve směru. Normální vektor zrychlení je vždy nasměrován k okamžité ose rotace, $\vec a_n$ $\vec w_n, \vec u_n$ $\vec a,$

\vec a_n = {|\vec v|} \cdot \frac{d}{dt}\frac{\vec v}{|\vec v|},

a modul je

|\vec a_n| = \omega ^2 r = {v^2 \over r},

kde ω je úhlová rychlost kolem středu otáčení a r je poloměr kružnice.

Kromě těchto dvou složek se také používá koncept úhlového zrychlení , který ukazuje, jak moc se úhlová rychlost změnila za jednotku času, a podobně jako u lineárního zrychlení se vypočítá takto:

\vec \varepsilon = {d\vec \omega \over dt}.

Směr vektoru zde udává, zda se modul rychlosti zvyšuje nebo snižuje. Pokud jsou vektory úhlového zrychlení a úhlové rychlosti směrovány společně (nebo je alespoň jejich skalární součin kladný), hodnota rychlosti se zvyšuje a naopak.

V konkrétním případě rovnoměrného pohybu po kružnici jsou vektory úhlového zrychlení a tečného zrychlení rovny nule a dostředivé zrychlení je konstantní v absolutní hodnotě.

Zrychlení v komplexním pohybu

Říká se, že hmotný bod (tělo) vykonává složitý pohyb, pokud se pohybuje vzhledem k jakékoli vztažné soustavě, a ten se naopak pohybuje vzhledem k jiné, „laboratorní“ vztažné soustavě. Pak se absolutní zrychlení tělesa v laboratorním systému rovná součtu relativních, translačních a Coriolisových zrychlení:

{\vec {a}}={\vec {a}}_{r'}+{\vec {a}}_{e}+2\left[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{r'}\right].

Poslední člen obsahuje vektorový součin úhlové rychlosti otáčení pohyblivé vztažné soustavy a rychlosti hmotného bodu v této pohyblivé soustavě.

Zrychlení v kinematice tuhého tělesa

Souvislost mezi zrychleními dvou bodů absolutně tuhého tělesa A a B lze získat z Eulerova vzorce pro rychlosti těchto bodů:

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \left[\vec{\omega}\times\vec{AB}\right],

kde je vektor úhlové rychlosti tělesa. Když to rozlišíme s ohledem na čas, dostaneme Rivalův vzorec [1] [2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889 [3] ): $\vec{\omega}$

\vec{a}_B = \vec{a}_A + \left[\vec{\omega}\times \left[ \vec{\omega}\times \vec{AB}\right] \right] + \left [ \vec{\varepsilon}\times \vec{AB} \right],

kde je vektor úhlového zrychlení těla. $\vec{\varepsilon}$

Druhý člen se nazývá oscilační zrychlení a třetí člen se nazývá rotační zrychlení [1] .

Vytvoření zrychlení. Dynamika bodů

První Newtonův zákon předpokládá existenci inerciálních vztažných soustav . V těchto vztažných soustavách dochází k rovnoměrnému přímočarému pohybu, když těleso ( hmotný bod ) není v průběhu svého pohybu vystaveno žádným vnějším vlivům. Na základě tohoto zákona vzniká pro mechaniku klíčový pojem síla jako takový vnější vliv na těleso, který jej vyvádí z klidového stavu nebo ovlivňuje rychlost jeho pohybu. Předpokládá se tedy, že příčinou nenulového zrychlení v inerciální vztažné soustavě je vždy nějaké vnější silové působení [4] .

Klasická mechanika

Druhý Newtonův zákon, jak je aplikován na nerelativistický pohyb (tj. na pohyb rychlostí mnohem menší než je rychlost světla), říká, že zrychlení hmotného bodu je vždy úměrné síle, která na něj působí a generuje zrychlení, a koeficient úměrnosti je vždy stejný bez ohledu na typ silového působení (říká se setrvačná hmotnost hmotného bodu):

m \vec a = \vec F.

Je-li známa hmotnost hmotného bodu a (jako funkce času) síla na něj působící, pak jeho zrychlení známe i z druhého Newtonova zákona: Je-li síla konstantní, bude konstantní i zrychlení. Rychlost a souřadnice bodu v libovolném okamžiku lze získat integrací zrychlení pomocí vzorců z části o kinematice bodu pro dané počáteční rychlosti a souřadnice. $\vec a = \vec F /m.$

Relativistická mechanika

V relativistické fyzice je druhý Newtonův zákon zapsán ve tvaru

m{\frac {d}{dt}}{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\vec {F }}

což ztěžuje nalezení zrychlení než v klasickém případě. Zejména dlouhodobý pohyb s konstantním zrychlením je zásadně nemožný (jinak rychlost bodu nakonec překročí rychlost světla ) a neměnnost síly neznamená neměnnost zrychlení: bude mít tendenci k nule s zvýšení rychlosti. Pokud je však závislost přesto nalezena, lze výpočet provést pomocí stejných vzorců jako v nerelativistické limitě. ${\vec {a}}(t)$ ${\vec {v}}(t)$ ${\vec r} (t)$

Zrychlení v relativitě

V teorii relativity je pohyb tělesa s proměnnou rychlostí podél světové linie ve 4-rozměrném časoprostoru charakterizován určitou hodnotou, podobnou zrychlení. Na rozdíl od obvyklého (trojrozměrného) vektoru zrychlení je 4- vektor zrychlení (nazývaný 4-zrychlení ) a i druhou derivací 4-vektoru souřadnic x i ne vzhledem k času, ale vzhledem k prostoru- časový interval τ (nebo ekvivalentně , ve správném čase ) podél světové linie tělesa:

a^i = \frac {d^2 x^i}{d\tau^2} = \frac{du^i}{d\tau} .

V kterémkoli bodě světové čáry je 4-vektor zrychlení vždy ortogonální ke 4-rychlosti :

u_i a^i = 0 \, .

To konkrétně znamená, že 4-rychlosti se nemění v absolutní hodnotě, ale pouze ve směru: bez ohledu na směr v časoprostoru se 4-rychlost jakéhokoli tělesa v absolutní hodnotě rovná rychlosti světla. Geometricky se 4-zrychlení shoduje se zakřivením světové čáry a je analogické normálnímu zrychlení v klasické kinematice.

V klasické mechanice se hodnota zrychlení při pohybu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé nemění , to znamená, že zrychlení je při Galileových transformacích neměnné . V relativistické mechanice je 4-zrychlení 4-vektorové, tedy při Lorentzových transformacích se mění podobně jako časoprostorové souřadnice.

"Obyčejný" trojrozměrný vektor zrychlení (stejný jako v předchozích částech, označení je změněno, aby nedošlo k záměně se 4-zrychlením), definovaný jako derivace "obyčejné" trojrozměrné rychlosti s ohledem na souřadnicový čas , se také používá v rámci relativistické kinematiky, ale invariant Lorentzových transformací není. V okamžitě doprovázející inerciální vztažné soustavě je 4-zrychlení Působením konstantní síly zrychlení bodu klesá s rostoucí rychlostí, ale 4-zrychlení zůstává nezměněno (tento případ se nazývá relativisticky rovnoměrně zrychlený pohyb , i když „běžný "zrychlení není konstantní). $\vec{w}$ ${\vec {a}}(t)$ $\vec{v}$ ${\vec {w}}=d{\vec {v}}/dt$ $a=(0, \vec{w}).$ $\vec{w}$

Měření zrychlení

Použité jednotky

metr za sekundu na druhou (metr za sekundu za sekundu), m/s² , odvozená jednotka SI ;
centimetr za sekundu na druhou (centimetr za sekundu za sekundu), cm/s² , odvozená jednotka systému CGS , má také své vlastní jméno gal nebo galileo (používané hlavně v gravimetrii );
g (vyslovuje se „stejný“), standardní zrychlení volného pádu na zemském povrchu, které je podle definice 9,80665 m/s² . V technických výpočtech, které nevyžadují přesnost vyšší než 2 %, se často používá aproximace g ≈ 10 m/s² .

Převody mezi různými jednotkami zrychlení

	m/s 2	ft/s 2	G	cm/s 2
1 m/s² =	jeden	3,28084	0,101972	100
1 stopa /s² =	0,304800	jeden	0,0310810	30,4800
1 g =	9,80665	32,1740	jeden	980,665
1 cm/s² =	0,01	0,0328084	0,00101972	jeden

Technické prostředky

Zařízení pro měření zrychlení se nazývají akcelerometry . „Nedetekují“ zrychlení přímo, ale měří sílu reakcepodpora, ke které dochází při zrychleném pohybu. Protože podobné odporové síly se vyskytují v gravitačním poli, lze gravitaci měřit také pomocí akcelerometrů .

Akcelerografy jsou zařízení, která měří a automaticky zaznamenávají (ve formě grafů) hodnoty zrychlení translačního a rotačního pohybu.

Hodnoty zrychlení v některých případech

Hodnoty zrychlení různých pohybů: [5]

Typ pohybu	Zrychlení, m/s 2
Dostředivé zrychlení sluneční soustavy během orbitálního pohybu v galaxii	2,2⋅10 −10
Centripetální zrychlení Země při orbitálním pohybu kolem Slunce	0,0060
Centripetální zrychlení Měsíce při orbitálním pohybu kolem Země	0,0027
osobní výtah	0,9-1,6
vlak metra	jeden
Auto "Zhiguli"	1.5
Běžec na krátké vzdálenosti	1.5
Cyklista	1.7
Bruslař	1.9
Motorka	3-6
Nouzové brzdění vozu	4-6
Usain Bolt , maximální zrychlení	8 [6]
Závodní auto	8-9
Brzdění při otevírání padáku	30 ( 3 g )
Start a zpomalení kosmické lodi	40-60 ( 4-6 g )
tryskový manévr	až 100 (až 10 g )
Hromada po dopadu	300 ( 30 g )
Píst spalovacího motoru	3×10 3
Kulka v hlavni pušky	2,5 ×105
Mikročástice v urychlovači	(2–50) × 10 14
Elektrony mezi katodou a anodou barevné TV trubice (20 kV , 0,5 m)	≈7× 1015
Elektrony srážející se s fosforem barevné televizní trubice (20 kV)	≈1022 _
Alfa částice v atomovém jádru	≈1027 _

Poznámka: zde g ≈ 10 m/s 2 .

Koncept "generalizovaného zrychlení"

Pokud je dynamika mechanického systému popsána nikoli kartézsky, ale ve zobecněných souřadnicích (například v hamiltonovských nebo lagrangeovských formulacích mechaniky), pak lze zavést zobecněná zrychlení - poprvé derivace zobecněných rychlostí nebo podruhé derivace z zobecněné souřadnice; například pokud je úhel vybrán jako jedna ze zobecněných souřadnic, pak zobecněné zrychlení bude odpovídající úhlové zrychlení . Dimenze zobecněných zrychlení v obecném případě není rovna LT −2 . $Qi}$ $\ddot{q_i}$ $\dot{q_i}$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Markeev A.P. Teoretická mechanika. - M. : CheRo, 1999. - S. 59. - 572 s.
↑ Přehled výsledků Rivals: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l'École polytechnique. - 1853. - T. 20 . - S. 109-115 . Archivováno z originálu 9. března 2016.
↑ Joulin L. Notice bigraphique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l'Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. - 1891. - T. 3 , čís. 9 . - S. 535-539 . Archivováno z originálu 8. března 2016.
↑ Aby bylo možné použít pohybovou rovnici ve tvaru shodném s tvarem rovnice druhého Newtonova zákona, ve vztahu ke zrychlením, která se vyskytují v neinerciálních vztažných soustavách, a to i bez jakýchkoliv vlivů na těleso, fiktivní setrvačnost jsou zavedeny síly . Nechť je například těleso o hmotnosti m v klidu v inerciální vztažné soustavě v určité vzdálenosti R od osy. Pokud uvedeme vztažnou soustavu do rotace s úhlovou rychlostí ω kolem této osy, pak se systém stane neinerciálním a těleso bude vykonávat viditelný rotační pohyb s lineární rychlostí v = ω R v kruhu kolem osy. Pro jeho popis v rotující vztažné soustavě je nutné zavést dostředivé zrychlení, které lze formálně považovat za výsledek působení jedné ze setrvačných sil - Coriolisovy síly rovné v modulu 2 mv ω a směřující k ose , kolmo k ose a rychlosti tělesa; zároveň je napůl kompenzován působením další setrvačné síly - odstředivé síly , stejné v modulu mv ω a směřující od osy otáčení.
↑ Koshkin N.I., Shirkevič M.G. Příručka elementární fyziky. - 10, správně. a další .. - M . : Nauka , 1988. - S. 61. - 256 s. — ISBN 5-02-013833-9 .
↑ Graf zrychlení W. Bolta versus čas Archivováno 10. května 2013 na Wayback Machine - závod na 100 m na Letních olympijských hrách 2008 v Pekingu

Odkazy

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanika. - 5. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2004 . — 224 s. — („Teoretická fyzika“, svazek I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
David C. Cassidy, Gerald James Holton a F. James Rutherford. pochopení fyziky . — Birkhauser, 2002. - ISBN 978-0-387-98756-9 .
Pauli W. Teorie relativity. - Dover, 1981. - ISBN 978-0-486-64152-2 .

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština velká čínština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Britannica (online) Treccani
V bibliografických katalozích	BNF : 11978022j GND : 4144870-4 J9U : 987007292957505171 LCCN : sh85000344

mechanický pohyb
referenční systém	inerciální vztažná soustava Neinerciální vztažná soustava Složený pohyb Princip relativity
Materiální bod	Jednotný pohyb Přímočarý pohyb Pohybová rovnice Pohybové rovnice v neinerciální vztažné soustavě Trajektorie (cesta) pohybující se Rychlost Zrychlení ( centripetální zrychlení tečné zrychlení ) pomlčka
Fyzické tělo	translační pohyb Rovinně-paralelní pohyb ( paralelní překlad ) Kulový pohyb ( Rotační pohyb Kruhový pohyb Precese nutace )
kontinuum	laminární proudění turbulentní proudění
Související pojmy	Plán rychlosti Trakce vlaku Šest stupňů volnosti