Mřížka (geometrie)

Mříž je soubor euklidovských prostorových vektorů , které sčítáním tvoří diskrétní grupu . $\mathbb {R} ^{n}$

Související pojmy

Lineárně nezávislý systém vektorů, který generuje mřížku, se nazývá její základ . Dvě množiny vektorů generují stejnou dimenzionální mřížku právě tehdy, když matice a , složené ze sloupcových vektorů souřadnic vektorů těchto množin, jsou spojeny pravým násobením unimodulární maticí : , . Proto je možné asociovat svazy maximální úrovně v dimenzionálním prostoru s kossetami [1] . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Determinant mřížky je determinant matice složené ze souřadnic vektorů, které ji generují. Rovná se objemu jeho základní oblasti , což je rovnoběžnostěn , a nazývá se také covolume mřížky.

Norma vektoru v teorii svazů v euklidovském prostoru se obvykle nazývá ne délka vektoru, ale jeho čtverec . $proti$ $\|v\|^{2}$

Mřížka se nazývá: $\Gamma \subset \mathbb{R} ^{n}$

Celé číslo , pokud je skalární součin libovolných dvou jeho vektorů celé číslo:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

I když je norma kteréhokoli z jeho vektorů sudá:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimodulární , pokud jeho základní rovnoběžnostěn má objem 1.

Nenulový vektor mřížky se nazývá primitivní , pokud není kolineární s žádným kratším nenulovým vektorem této mřížky.

Primitivní vektor mřížky, s ohledem na odraz, podél kterého je mřížka invariantní, se nazývá kořen mřížky. Soubor kořenů mřížky tvoří kořenový systém . Každá mříž generovaná svými kořeny je podobná mřížce generované vektory s normami 1 nebo 2. Taková mřížka se nazývá kořenová mřížka [2] .

Duál mřížky k mřížce je mříž, která je označena nebo a je definována jako $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\vee ))$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Mříž se nazývá sebeduální, pokud se shoduje se svým dvojím vůči sobě.

Podmřížka je podskupina mřížky.

Lze definovat objekt analogický mříži v afinním prostoru - afinní mřížku; je dráha bodu v afinním prostoru působením posuvů na mřížkové vektory.

Ve fyzice se mříže v trojrozměrném prostoru, klasifikované podle jejich symetrií, nazývají Bravaisovy mřížky , duální mřížka je reciproká mřížka , základní rovnoběžnostěn je (primitivní) jednotková buňka .

Cayleyův graf mřížky se také nazývá (nekonečná) mřížka .

Vlastnosti

Pokud je mřížka celočíselná, pak . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
Koobjemy mřížky a její duál v součinu dávají 1.
Celá unimodulární mříž je automaticky samoduální.
I samoduální mřížky existují pouze v prostorech o rozměrech dělitelných osmi.
Izometrická grupa mřížky je vždy konečná.

Příklady

Celočíselná mřížka , konkrétně čtvercová mřížka
Šestihranná mříž
Mřížka E8
Lich Grid

Třídy izometrie a podobnosti

Mříže, stejně jako jiné geometrické objekty, jsou často považovány za pohyby (isometrie do sebe) obklopujícího euklidovského prostoru – rotace kolem počátku a odrazy s ohledem na roviny, které jím procházejí. Taková transformace působí na matici složenou ze souřadnic báze mřížky jako násobení vlevo ortogonální maticí . Proto mohou být třídy izometrie svazů - třídy ekvivalence svazů vzhledem k izometriím - spojeny s třídami oboustranného sousedství skupiny invertibilních matic : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\obrácené lomítko \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Také, v některých problémech, mřížky jsou považovány za až podobnost ; takové transformace působí na matici jako násobení prvky (množiny nenulových reálných čísel). Třídy podobnosti mřížek odpovídají třídám sousednosti [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\obrácené lomítko \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Bilineární a kvadratické formy

Blízce příbuzná, “ číslo-teoretická ” definice mřížky je abstraktní volná abelian skupina konečné pozice (to je, izomorfní ) s pozitivně-definitivní symetrická bilineární forma na tom; místo bilineární formy lze zadat kvadratickou formu . Aby byla tato definice ekvivalentní k výše uvedené „geometrické“ definici svazů (přesněji jejich tříd izometrie), je třeba uvažovat kvadratické formy až do určitého vztahu ekvivalence. $\mathbb{Z } ^{n}$

Je-li dána mřížka a její báze, pak maticí odpovídající kvadratické formy je Gramova matice této báze. Pozitivní definitní kvadratická forma jako funkcionál na může být dána jako , (pak matice kvadratické formy je ), a nemění se, pokud je vektor podroben ortogonální transformaci, takže kladné definitní kvadratické formy jsou v jedné až -jedna korespondence s cosets . Uvažujeme-li ekvivalentní formy, jejichž matice a jsou spojeny prostřednictvím unimodulární matice jako , pak se třídy ekvivalence kvadratických forem ukáží být v korespondenci jedna ku jedné s kosmnožinami — a tedy is izometrickými třídami svazů [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2))$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\zpětné lomítko \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q_1$ $Q_{2}$ $U$ ${\displaystyle U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2))$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\obrácené lomítko \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Na komplexní rovině

Ve dvourozměrném případě lze identifikovat okolní euklidovský prostor s komplexním letadlem a mřížkové vektory s komplexními čísly. Je - li kladně orientovaná báze mřížky reprezentována dvojicí komplexních čísel , lze podobnostní transformací přejít na mřížku s bází , po které bude změna báze v mříži se zachováním orientace odpovídat lineárně-frakční transformace horní poloroviny - prvek modulární skupiny . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Aplikace

Různé geometrické problémy jsou spojeny s mřížemi, jako je těsné balení stejných koulí . Také kódy pro kódování opravující chyby jsou založeny na mřížkách . Mnoho problémů v teorii mřížky je základem kryptografie mřížky .

Zobecnění

Pokud s volnou abelovskou grupou spojíme bilineární formu, která není kladně definitní, pak výsledkem bude mřížka v pseudoeuklidovském prostoru .
Mřížka s maximální hodností v má základní doménu konečného objemu. V teorii Lieových grup a některých dalších oblastí je mříž ve skupině diskrétní podgrupou, jejíž objem kvocientového prostoru grupy je konečný, což tuto vlastnost zobecňuje. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Z obecnějšího algebraického hlediska je mříž volný modul vložený do vektorového prostoru nad číselným polem obsaženým v . Jeden může zobecnit toto pojetí tím, že zvažuje libovolný finitely generovaný torzně-volný modul přes integrální prsten , vložený do vektorového prostoru přes pole kvocientů pro [4] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Poznámky

↑ Martinet, 2003 , str. 3.
↑ Martinet, 2003 , str. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , str. 20-22.
↑ Reiner, I. Maximální objednávky . - Oxford University Press , 2003. - Vol. 28. - S. 44. - (Monografie London Mathematical Society. Nová řada). — ISBN 0-19-852673-3 .

Literatura

J. Conway, N. Sloan. Balení koulí, mříží a skupin. — M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Dokonalá mříž v euklidovských prostorech. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .