Kaluza-Klein teorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. dubna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Kaluza-Kleinova teorie je jednou z vícerozměrných teorií gravitace , která umožňuje kombinovat dvě základní fyzikální interakce: gravitaci a elektromagnetismus . Teorii poprvé publikoval v roce 1921 německý matematik Theodor Kaluza , který rozšířil Minkowského prostor na 5-rozměrný prostor a odvodil z rovnic své teorie rovnice obecné relativity a klasické Maxwellovy rovnice . Zdůvodnění nepozorovatelnosti páté dimenze (její kompaktnosti) navrhl švédský fyzik Oscar Klein v roce 1926 [1] .

Tato teorie byla jednou z prvních úspěšných teorií, které položily základ pro geometrickou interpretaci kalibračních polí (konkrétně jediné dobře známé v době svého vzniku, kromě gravitace, elektromagnetického pole). Byla to také první úspěšná teorie sjednocení , která, i když nevedla k experimentálně potvrzeným objevům, byla vnitřně konzistentní a ideologicky smysluplná teorie, která neodporovala experimentu.

Původní verze teorie nezahrnovala další základní interakce (silné a slabé), které nebyly v té době známy, a také zde nebyl prostor pro částice s polovičním spinem. Ale myšlenka vícerozměrných sjednocených teorií pole se zhutněnými komplementárními prostory našla uplatnění v moderních teoriích supersymetrie , supergravitace a superstrun [2] .

Historie

Geometrický přístup ve fyzice položili R. Descartes , I. Kant a G. Galileo . Pojem zakřivení prostoru nemohl ve vědě dlouho vzniknout kvůli dominanci představ o homogenitě prostoru a času, která vycházela z pátého Euklidova axiomu a splývala s každodenní zkušeností [3] . Odmítnutí axiomu rovnoběžnosti přímek vedlo N. I. Lobačevského k objevu nové (neeuklidovské) geometrie v prostoru s negativním zakřivením . B. Riemann objevil další typ neeuklidovské geometrie s kladnou křivostí , kdy neexistuje ani jedna rovnoběžná přímka rovnoběžná s danou (geodetické přímky) procházející žádným bodem neležícím na této přímce [4] . Riemannova sférická geometrie popisuje svět s konečným objemem. W. Clifford předpověděl některé důsledky sférické geometrie, zvážil představy o světě brouka lezoucího po kouli a položil otázku ohledně geometrie našeho vesmíru a jeho spojení s fyzikou:

Položme si otázku, zda nemůžeme obdobně považovat za změnu fyzického charakteru i to jednání, které ve skutečnosti vděčí za svůj původ změnám v zakřivení našeho prostoru. Neukáže se, že všechny nebo některé příčiny, které nazýváme fyzikální, pocházejí z geometrické struktury našeho prostoru? [5]

Cliffordovým zásadním předpokladem bylo spojení mezi elektrickým polem a geometrií prostoru [6] . Vědci zabývající se hledáním geometrického popisu světa však nemohli dospět ke konstrukci obecné teorie relativity před zahrnutím času jako jedné ze souřadnic našeho prostoru, což bylo prosazováno v dílech H. Lorentze , A. Einstein , G. Minkowski [7] . V roce 1913 M. Grossman a A. Einstein navrhli, že gravitační interakce je způsobena zakřivením 4-rozměrného časoprostoru. Na přelomu let 1915 a 1916 se téměř současně objevily rovnice pro gravitační pole v pracích A. Einsteina a D. Hilberta [8] .

Teoretická fyzika popisuje svět prostřednictvím matematiky, snaží se najít univerzálnost v jejích zákonech. Newton si všiml, že gravitace, která působí na jablko, je stejná gravitace, která řídí pohyb nebeských těles. Dnes jsou známy čtyři základní interakce a moderní teorie uvažuje o možnosti popsat všechny interakce jednotným způsobem pomocí vyvolání vyšších dimenzí [9] . V tomto kontextu je kvantová teorie pole v pětirozměrném prostoru (5D) přirozeným rozšířením Einsteinovy obecné teorie relativity (GR) [10] .

Gunnar Nordström se v roce 1914 poprvé pokusil spojit teorii gravitace s elektromagnetismem s odvoláním na pátou dimenzi. Ale v tomto případě byla pátá složka přidána k elektromagnetickému vektorovému potenciálu, což je newtonovský gravitační potenciál, protože jeho teorie se objevila dříve než obecná teorie relativity a nepředpokládal tenzorovou povahu gravitačního potenciálu [11] , a umožnil psaní Maxwellových rovnic v pěti rozměrech [12] [13] .

Vývoj pětirozměrné (5D) teorie je rozdělen do tří etap. Původní domněnku má na svědomí Theodor Kaluza , který své výsledky zaslal Einsteinovi v roce 1919 [14] a zveřejnil je v roce 1921 [15] . Kaluza představil ryze klasické 5D rozšíření obecné teorie relativity s metrickým tenzorem 15 složek. 10 složek je identifikováno čtyřrozměrnou časoprostorovou metrikou, čtyři složky s elektromagnetickým vektorovým potenciálem a jedna složka s neidentifikovaným skalárním polem , které Kaluza neuvažoval, někdy nazývané " radion " nebo "dilaton". V souladu s tím 5D Einsteinovy rovnice dávají 4D Einsteinovy rovnice pro pole , Maxwellovy rovnice pro elektromagnetické pole a rovnice pro skalární pole. Kaluza také představil hypotézu „cylindrické podmínky“, podle níž žádná ze složek pětirozměrné metriky nezávisí výslovně na páté souřadnici. Bez tohoto předpokladu se objevují termíny, které zahrnují derivace polí vzhledem k páté souřadnici, které stejně jako skalární pole nejsou v experimentech pozorovány. Tento dodatečný stupeň volnosti je takový, že rovnice pole s pátou souřadnicí jsou neuvěřitelně složité. Standardní fyzika ve 4D se objeví, když je uložena válcová podmínka, a odpovídající matematika nabývá jednodušší formy [16] .

V roce 1926 dal Oskar Klein klasické pětirozměrné Kaluzově teorii kvantovou interpretaci v souladu s objevy Heisenberga a Schrödingera [17] [18] . Klein předpokládal, že pátá dimenze je stočená a mikroskopická, aby vysvětlila válcový stav, a cyklický pohyb v páté dimenzi může přirozeně vysvětlit kvantování elektronového náboje [19] . Klein navrhl, že geometrie dalšího pátého rozměru by mohla být kruhová s poloměrem 10 -30 cm . Klein také přispěl ke klasické teorii poskytnutím správně normalizované 5D metriky [18] . Práce na teorii pole Kalužy pokračovaly do 30. let 20. století Einsteinem a jeho kolegy z Princetonu [20] .

Původní Kaluza-Kleinova teorie je považována za nesprávnou z několika důvodů. Zejména zhutnění páté dimenze vede k závěru, že částice, které budou dominovat světu, musí mít Planckovy hmotnosti, což není v experimentu pozorováno. Tento problém je známý jako problém hromadné hierarchie . Ignorování skalárního pole Calucei také neponechává žádný způsob, jak vysvětlit přítomnost temné energie v našem vesmíru [19] . Také válcová podmínka, která je příčinou vzniku hmot, podle Einsteina vylučuje geometrickou interpretaci hmot [21] .

Ve 40. letech 20. století byla dokončena klasická teorie a kompletní rovnice pole včetně skalárního pole byly získány třemi nezávislými výzkumnými skupinami [22] : Thiry [23] [24] [25] , pracující ve Francii na disertační práci pod vedením Lichneroviče ; Jordan, Ludwig a Müller v Německu [26] [27] [28] [29] [30] s kritickými příspěvky Pauliho a Fierze; a Scherrer [31] [32] [33] , který pracoval sám ve Švýcarsku. Jordanova práce vedla k Brans-Dicke skalární-teorii tenzoru [34] ; Bruns a Dike očividně nevěděli o Tiri a Scherrerovi. Kompletní Kaluzovy rovnice s cylindrickou podmínkou jsou poměrně složité a většina anglických recenzí, stejně jako Thiryho anglické překlady, obsahuje některé chyby. Tenzory křivosti pro úplné Kaluzovy rovnice byly vypočteny pomocí počítačového systému tensorové algebry v roce 2015 [35] s kontrolou výsledků Ferrari [36] a Coquera a Esposito-Farese [37] . Williams uvažoval o 5D kovariantní formě zdroje (tensor energie-hybnosti) [38] .

Kalužova hypotéza

Kaluza ve svém článku z roku 1921 [15] použil všechny prvky klasické pětirozměrné teorie: metriku, rovnice pole, pohybové rovnice, tenzor energie-hybnosti a cylindrickou podmínku. Bez použití volných parametrů rozšířil obecnou relativitu na pět rozměrů.

Začněme hypotézou o tvaru pětirozměrné metriky. , kde latinské indexy pokrývají pět dimenzí. Zavádíme také čtyřrozměrnou časoprostorovou metriku , kde řecké indexy pokrývají obvyklé čtyři rozměry prostoru a času; 4-vektor je identifikován s elektromagnetickým vektorovým potenciálem; a skalární pole [39] . Poté rozdělíme 5D metriku tak, že 4D metrika je orámována elektromagnetickým vektorovým potenciálem se skalárním polem na páté pozici na diagonále. To může být reprezentováno jako: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\displaystyle {g}_{\mu \nu ))$ ${\displaystyle A^{\mu ))$ $\phi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}\,.

Přesněji řečeno, člověk může psát

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv \phi ^{2}\,,

kde index označuje pátou souřadnici podle konvence, zatímco první čtyři souřadnice mají indexy 0, 1, 2 a 3. Odpovídající inverzní metrika je $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alfa \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Toto rozšíření je poměrně obecné a všechny pojmy jsou bezrozměrné. Kaluza pak na tuto metriku aplikuje aparát standardní obecné teorie relativity . Rovnice pole jsou odvozeny z pětirozměrných Einsteinových rovnic , zatímco pohybové rovnice jsou odvozeny z pětirozměrné geodetické hypotézy. Výsledné rovnice pole dávají jak obecnou relativitu, tak elektrodynamické rovnice; pohybové rovnice dávají čtyřrozměrnou geodetickou rovnici a zákon pro Lorentzovu sílu [40] a bylo zjištěno, že elektrický náboj je ztotožněn s pohybem v páté dimenzi.

Metrická hypotéza implikuje, že existuje invariantní pětirozměrný délkový prvek [39] : $\operatorname {d} \!s$

\operatorname {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatorname {d} \!x^{a}\operatorname {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\jméno operátora {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\jméno operátora {d} \ !x^{\nu }+\jméno operátora {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Polní rovnice z Kaluzovy domněnky

Rovnice pole teorie 5D nebyly nikdy správně definovány Kaluzou ani Kleinem, protože ignorovaly skalární pole. Odvození úplných Kaluzových rovnic pole je obvykle připisováno Thirymu [24] , který získal rovnice pole ve vakuu. Kaluza [15] původně pro svou teorii napsal tenzor energie-hybnosti a Thiry zahrnul tenzor energie-hybnosti do své disertační práce. Ale, jak popsal Gonner [22] , několik nezávislých skupin pracovalo na rovnicích pole ve 40. letech 20. století a dříve. Thiry je možná nejznámější jen proto, že Applequist, Chodos a Freund publikovali anglický překlad jeho díla ve své recenzní knize [41] . Applequist a spol., také zveřejnili anglický překlad Kalužova článku. Jordanova díla nebyla přeložena do angličtiny [26] [27] [29] . První správné rovnice Kalužova pole v angličtině, včetně skalárního pole, získal Williams [35] .

Pro získání 5D rovnic pole se 5D Christoffelovy spojovací symboly vypočítají z 5D metriky a 5D Ricciho tenzor se vypočítá z 5D Christoffelových spojovacích symbolů. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Klasické výsledky Thiryho a dalších autorů byly získány pomocí válcové podmínky:

{\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0

Bez tohoto předpokladu se rovnice polí stávají mnohem složitějšími, což vede k mnohem více stupňům volnosti, které lze identifikovat s různými novými poli. Paul Wesson a jeho kolegové se pokusili zeslabit cylindrický stav, aby získali další členy, které lze ztotožnit s hmotnými poli [42] , pro které Kaluza [15] ručně vložil tenzor energie-hybnosti.

Námitkou proti původní myšlence Kalužy bylo použití páté dimenze, ale bez její dynamiky. Thiry však tvrdil [22] , že interpretace zákona pro Lorentzovu sílu v termínech 5-rozměrné geodetiky silně odporuje existenci páté dimenze, bez ohledu na válcovou podmínku. Většina autorů proto při odvozování rovnic pole použila válcovou podmínku. Kromě toho se obvykle předpokládají vakuové rovnice, pro které

{\widetilde {R}}_{ab}=0

kde

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gama }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gama }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\částečné _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\částečné _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Rovnice vakuového pole získané tímto způsobem Thiry [24] a Jordanovou skupinou [26] [27] [29] jsou napsány níže.

Rovnice pole pro je získána z $A^{\nu }$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

kde , , a je standardní čtyřrozměrná kovariantní derivace. Rovnice ukazuje, že elektromagnetické pole je zdrojem skalárního pole. Všimněte si, že skalární pole nelze považovat za konstantní, aniž by bylo elektromagnetické pole uvaleno na příslušné omezení. Dřívější interpretace Kaluzy a Kleina dostatečně nepopisovaly skalární pole a nebraly v úvahu výsledné omezení elektromagnetického pole za předpokladu konstantního skalárního pole. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha ))$ ${\displaystyle \Box \equiv g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu ))$ ${\displaystyle \nabla _{\mu ))$

Rovnice pole pro čtyřrozměrný Ricciho tenzor je získána z $R_{\mu \nu }$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\right)

Pokud je skalární pole konstantní, pak má tvar Maxwellových vakuových rovnic.

{\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Šipka doprava \\R_{\mu \nu }-{1 \přes 2}g_{\mu \nu }R&={1 \přes 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \nad 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{aligned))

kde je standardní 4D Ricciho skalár. $R$

Z této rovnice, nazvané A. Salamem „zázrak Kalužy“ [43] , vyplývá pozoruhodný výsledek – přesná podoba tenzoru energie-hybnosti elektromagnetického pole vzniká z 5D rovnic vakua jako zdroje ve 4D rovnicích – pole z vakua. Další zázrak zahrnuje vysvětlení invariance měřidla [44] . Forma tenzoru energie-hybnosti elektromagnetického pole nám umožňuje jej konečně ztotožnit s elektromagnetickým vektorovým potenciálem. K tomu je třeba změnit měřítko pole pomocí transformační konstanty : . Výše uvedený vztah ukazuje, že konstanta by měla mít tvar ${\displaystyle A^{\mu ))$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}

kde je gravitační konstanta a je magnetická permeabilita volného prostoru . V Kaluzově teorii lze gravitační konstantu chápat jako elektromagnetickou vazebnou konstantu v metrice. Existuje také tenzor energie-hybnosti pro skalární pole. Skalární pole se chová jako proměnná gravitační konstanta ve smyslu modulace spojení tenzoru energie-hybnosti elektromagnetického pole se zakřivením časoprostoru. Znaménko v metrice je pevné v souladu s teorií 4D, takže hustoty elektromagnetické energie jsou kladné. Často se předpokládá, že pátá souřadnice je ve svém podpisu v metrice podobná prostoru. $G$ $\mu_{0}$ $\phi ^{2}$

V přítomnosti hmoty je porušena podmínka 5D vakua. Tohle Kaluza skutečně nečekal. Kompletní rovnice pole vyžadují výpočet 5D Einsteinova tenzoru

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

jak je vidět z rekonstrukce tenzoru energie-hybnosti elektromagnetického pole výše. Tenzory 5D zakřivení jsou složité a většina recenzí v anglickém jazyce obsahuje chyby buď v jejich anglických překladech nebo stejné jako jejich anglické překlady [24] . Viz Williams [35] pro kompletní sadu 5D tenzorů křivosti s cylindrickou podmínkou vypočítanou pomocí programu tensor algebra. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Pohybové rovnice z Kaluzovy hypotézy

Pohybové rovnice jsou odvozeny z pětirozměrné geodetické hypotézy [15] z hlediska 5-rychlosti : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Tato rovnice může být transformována několika způsoby a byla v různých podobách studována autory včetně Kaluzy [15] , Pauliho [45] , Grosse a Perryho [46] , Hegenberga a Kunstattera [47] a Wessona a Ponce de Leon [48 ] . ale pro lepší pochopení je užitečné převést jej zpět na obvyklý 4rozměrný element délky , který souvisí s 5rozměrným elementem délky , jak je uvedeno výše: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}

Pak lze napsat 5D geodetickou rovnici [49] pro časoprostorové složky 4-rychlosti,

{\begin{aligned}&U^{\nu }\equiv {dx^{\nu } \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\right)=0\end{aligned}}

Kvadratický člen v , má za následek 4D geodetickou rovnici plus některé elektromagnetické členy: ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\částečné _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Termín, lineární v , vede k zákonu pro Lorentzovu sílu : ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alfa \nu }-A_{\alpha }\částečné _{\nu }\ln \phi ^{2}\right)

To je další vyjádření „kalužova zázraku“. Stejná hypotéza pro 5D metriku, která vytváří tenzor energie-hybnost elektromagnetického pole v Einsteinových rovnicích, také dává Lorentzův silový zákon v pohybové rovnici spolu s 4D geodetickou rovnicí. Nicméně soulad s Lorentzovým zákonem o síle vyžaduje, aby 5-rychlostní složka podél páté dimenze byla identifikována s elektrickým nábojem:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\rightarrow {q \over mc}

kde je hmotnost částice a elektrický náboj částice. Elektrický náboj je tedy chápán jako pohyb po páté dimenzi. Skutečnost, že Lorentzův silový zákon lze chápat jako geodetický v 5 rozměrech, byla Kalužovou hlavní motivací pro uvažování o 5rozměrné hypotéze i za přítomnosti esteticky nepříjemného válcového stavu. $m$ $q$

Ale je tu problém: člen, který je kvadratický v , vede k rovnici $U^{5}$

{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}

Pokud ve skalárním poli není gradient, pak termín kvadratický v mizí. Ale jinak z výše uvedeného výrazu vyplývá $U^{5}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

Pro elementární částice . V rovnici musí dominovat člen kvadratický v, možná v rozporu s experimentálními fakty. To byl hlavní nedostatek 5-dimenzionální teorie, jak ji viděl Kaluza [15] , o které se ve svém původním článku zamýšlel. Yu S. Vladimirov zdůrazňuje následující nedostatky teorie: fyzikální význam páté složky a složky metrického tenzoru není jasný; příčina cylindrického stavu není jasná; takové spojení je formální a nedává nové experimentálně ověřitelné předpovědi a další [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ $U^{5}$ $G_{55}$

Pohybová rovnice pro je zvláště zjednodušená za válcové podmínky. Začněme s alternativní formou geodetické rovnice napsané pro kovariantní 5-rychlost: $U^{5}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \partial x^{a}}

To znamená, že s ohledem na válcovou podmínku je konstanta 5-rozměrného pohybu: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\right)={\rm {konstanta))

Kalužova hypotéza o tenzoru energie-hybnosti hmoty

Kaluza [15] navrhl použít 5D tenzor energie-hybnosti hmoty ve formě ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

kde je výše definovaný prvek hustoty a délky . $\rho$ $ds$

Pak složka časoprostoru dává typický tenzor energie a hybnosti prašné hmoty :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

Smíšená část slouží jako 4proudový zdroj pro Maxwellovy rovnice:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}

Stejně jako pětirozměrná metrika zahrnuje 4-rozměrnou metriku orámovanou elektromagnetickým vektorovým potenciálem, 5-rozměrný tenzor energie-hybnosti zahrnuje 4-rozměrný tenzor energie-hybnosti orámovaný vektorovým 4-proudem.

Kleinova kvantová interpretace

Původní Kalužova hypotéza byla čistě klasická a rozšířená obecná teorie relativity. V době Kleinova příspěvku přitahovaly velkou pozornost objevy Heisenberga, Schrödingera a de Broglieho. Kleinův článek v Nature [18] naznačuje, že pátá dimenze je uzavřená a periodická a že identifikaci elektrického náboje s pohybem v páté dimenzi lze interpretovat jako stojaté vlny s vlnovou délkou podobnou elektronům kolem jádra v Bohrově modelu atom. Pak by kvantování elektrického náboje mohlo být dobře pochopeno z hlediska celočíselných násobků pětirozměrné hybnosti. Zkombinováním předchozího Kaluzova výsledku pro z hlediska elektrického náboje a de Broglieho vztahu hybnosti odvodil Klein výraz pro 0. mód takových vln: $\lambda ^{5}$ $U^{5}$ $p^{5}=h/\lambda ^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

kde je Planckova konstanta. Klein našel cm, a tedy vysvětlení válcovitého stavu na tak malé hodnotě. $h$ $\lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}$

Podrobnější diskusi podává Kleinův článek v Zeitschrift für Physik z téhož roku [17] , který výslovně používá metody Schrödingera a de Broglieho. Reprodukovala velkou část Kaluzovy klasické teorie popsané výše a poté přešla ke Kleinově kvantové interpretaci. Klein vyřešil vlnovou rovnici podobnou Schrödingerově pomocí expanze v podmínkách pětirozměrných vln rezonujících v uzavřené, kompaktní páté dimenzi.

Interpretace teorie grup

V roce 1926 Oskar Klein navrhl, že čtvrtá prostorová dimenze je zabalena do kruhu s velmi malým poloměrem , takže částice pohybující se o malou vzdálenost podél této osy se vrátí do výchozího bodu. Vzdálenost, kterou může částice urazit, než dosáhne své výchozí polohy, se nazývá velikost dimenze. Tento extra rozměr je kompaktní soubor a konstrukce tohoto kompaktního rozměru se nazývá zhutnění .

V moderní geometrii, zvláštní pátý rozměr může být dohodnutý jako U(1) skupina od té doby, co elektromagnetismus může nezbytně být formulován jako teorie měřidla na svazku , svazku na kruhu , s kalibrační skupinou U(1). V Kaluzově-Kleinově teorii tato skupina předpokládá, že kalibrační symetrie je symetrií kruhových kompaktních prostorů. Jakmile je tato geometrická interpretace přijata, je relativně snadné změnit, že U(1) je obecná Lieova grupa . Taková zobecnění se často nazývají Yang-Millsovy teorie . Pokud se rozlišuje, pak Yang-Millsovy teorie vznikají v plochém časoprostoru, zatímco Kaluza-Klein uvažuje o obecnějším případu zakřiveného časoprostoru. Základním prostorem Kaluza-Kleinovy teorie nemusí být čtyřrozměrný časoprostor; to může být nějaká ( pseudo ) Riemannovská varieta , supersymetrická varieta, orbifold , nebo dokonce non-komutativní prostor .

Konstrukce se dá zhruba popsat následovně [51] . Začneme tím, že vezmeme v úvahu hlavní svazek P s kalibrační skupinou G nad varietou M. Za předpokladu spojení na svazku, metriky na základním potrubí a metriky invariantní na tečně ke každému vláknu, můžeme sestrojit svazek metrika definovaná pro celý balíček. Výpočtem skalárního zakřivení této metriky svazku zjistíme, že je konstantní na každé vrstvě: to je „zázrak Kalužy“. Nebylo třeba výslovně ukládat válcovou podmínku nebo zhutňovat: podle předpokladu je skupina měřidel již kompaktní. Pak se toto skalární zakřivení vezme jako hustota Lagrangianu a na základě toho se zkonstruuje Einstein-Hilbertova akce pro svazek jako celek. Pohybové rovnice, Euler-Lagrangeovy rovnice , mohou být získány obvyklým způsobem uvažováním stacionární akce s ohledem na variace buď metriky na základním potrubí nebo připojení měřidla. Variace s ohledem na základní metriku dávají Einsteinovy rovnice pole na základním potrubí, kde tenzor energie-hybnost je dán zakřivením připojení měřidla . Na druhé straně je akce stacionární s ohledem na variace ve vztahu měřidla právě tehdy, když je vztah měřidla řešením Yang-Millsovy rovnice . Aplikováním jediné myšlenky: principu nejmenšího působení na jedinou veličinu: skalární zakřivení na svazku (jako celku), lze současně získat všechny potřebné rovnice pole jak pro časoprostor, tak pro kalibrační pole.

Jako přístup ke sjednocení sil je snadné použít Kaluzovu-Kleinovu teorii ve snaze sjednotit gravitaci se silnými a elektroslabými silami pomocí skupiny symetrie SU(3) × SU(2) × U(1) Standardního modelu . . Pokus přeměnit tuto zajímavou geometrickou konstrukci v plnohodnotný model reality však ztroskotá na řadě obtíží, včetně toho, že fermiony je nutné zavádět uměle (v nesupersymetrických modelech). Nicméně Kaluza-Kleinova teorie zůstává důležitým prubířským kamenem teoretické fyziky a je často začleněna do složitějších teorií. To je studováno v jeho vlastní pravý jako předmět geometrického zájmu v K-teorii .

I při absenci plně uspokojivého základu teoretické fyziky je myšlenka zkoumání dalších, kompaktních dimenzí velmi zajímavá v experimentálních a astrofyzických komunitách . Mnoho předpovědí může být provedeno se skutečnými experimentálními implikacemi (v případě velkých extra dimenzí a zkreslených modelů ). Například na základě nejjednodušších principů by se dalo očekávat stojaté vlny v dodatečném zhutněném rozměru nebo rozměrech. Pokud má extra prostorová dimenze poloměr R , bude invariantní hmotnost takových stojatých vln M n = nh / Rc, kde n je celé číslo , h je Planckova konstanta a c je rychlost světla . Tato sada možných hmotnostních hodnot je často označována jako Kaluza-Kleinova věž . Podobně v kvantové teorii pole při nenulových teplotách vede zhutnění euklidovské časové dimenze k Matsubarovým frekvencím a tím k diskrétnímu spektru tepelné energie.

Kleinův přístup ke kvantové teorii je však chybný a vede například k vypočtené hmotnosti elektronů řádu Planckovy hmotnosti [52] .

Příklady experimentálně ověřitelných důsledků teorie zahrnují práci CDF spolupráce , která znovu analyzovala data urychlovače částic , aby identifikovala efekty spojené s velkými extra rozměry a deformovanými modely .

Brandenberger a Wafa navrhli, že v raném vesmíru kosmická inflace způsobila expanzi tří prostorových dimenzí do kosmologických dimenzí, zatímco zbývající dimenze prostoru zůstaly mikroskopické.

Teorie časoprostoru a hmoty

Konkrétní varianta Kaluza-Klein teorie, známá jako teorie časoprostoru-hmoty nebo teorie indukované hmoty , byla zkoumána hlavně Paulem Wessonem a dalšími členy Space-Time-Matter Consortium [53] . Tato verze teorie uvádí, že řešení rovnice

{\widetilde {R}}_{ab}=0

lze přeformulovat tak, že ve čtyřech dimenzích tato řešení splňují Einsteinovy rovnice

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

s přesnou podobou T μν vyplývající z podmínky zániku Ricciho tenzoru v pětirozměrném prostoru. Jinými slovy, válcová podmínka není použita a tenzor hybnosti energie je nyní získán z derivací 5D metriky vzhledem k páté souřadnici. Protože tenzor energie-hybnosti je obvykle uvažován ve čtyřrozměrném prostoru s hmotou, lze výše uvedený výsledek interpretovat jako čtyřrozměrnou hmotu vyvolanou geometrií pětirozměrného prostoru.

Zejména solitonové roztoky obsahují Friedmann-Lemaître-Robertson-Walkerovu metriku jak ve formách s převahou záření (raný vesmír), tak ve formách s převahou hmoty (pozdní vesmír). Lze ukázat, že obecné rovnice dostatečně úzce souhlasí s klasickými testy obecné relativity , aby byly přijatelné z hlediska fyzikálních principů, a přitom stále umožňují značnou volnost při výběru zajímavých kosmologických modelů . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Geometrická interpretace

Kaluza-Kleinova teorie má zvláště elegantní výklad z hlediska geometrie. V jistém smyslu je to podobné běžné gravitaci ve volném prostoru , až na to, že je vyjádřena v pěti rozměrech místo čtyř.

Einsteinovy rovnice

Rovnice popisující obyčejnou gravitaci ve volném prostoru lze získat z akce použitím variačního principu na určitou akci . Nechť M je ( pseudo ) Riemannovská varieta , kterou lze považovat za časoprostor obecné relativity . Je -li g metrikou na této varietě, je akce S ( g ) definována jako

S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

kde R ( g ) je skalární zakřivení a vol( g ) je objemový prvek . Aplikace variačního principu na akci

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

dostaneme přesně Einsteinovy rovnice pro volný prostor:

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0

kde R ij je Ricciho tenzor .

Maxwellovy rovnice

Naproti tomu Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetismus lze chápat jako Hodgeovy rovnice hlavního U(1)-svazku nebo kruhového svazku s vláknem U(1) . To znamená, že elektromagnetické pole je harmonická 2-forma v prostoru diferencovatelných 2-forem na rozdělovači . Při absenci nábojů a proudů mají Maxwellovy rovnice ve volném poli tvar $\pi :P\to M$ $F$ $\Omega ^{2}(M)$ $M$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{and))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

kde je Hodgeova hvězda . $\star$

Geometrie Kaluza-Klein

Pro konstrukci Kaluza-Kleinovy teorie je zvolena invariantní metrika na kružnici , tedy vláknu U(1)-svazku elektromagnetismu. V této diskusi je invariantní metrika jednoduše metrika, která je invariantní při rotaci kruhu. Předpokládejme, že tato metrika udává kruhu celkovou délku . Poté jsou uvažovány metriky na svazku , které jsou konzistentní jak s metrikou vlákna, tak s metrikou na podkladovém potrubí . Podmínky konzistence: $S^{1}$ $\lambda$ ${\widehat {g))$ $P$ $M$

Projekce do vertikálního podprostoru musí být konzistentní s metrikou na vrstvě nad bodem na rozdělovači . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P$ $M$
Projekce do vodorovného podprostoru tečného prostoru v bodě musí být izomorfní s metrikou na v . ${\widehat {g))$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P$ $p\in P$ $G$ $M$ $\pi (P)$

Akce Kaluza-Klein pro takovou metriku je dána

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

Skalární zakřivení zapsané v komponentách se pak rozšíří na

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\vpravo),

kde je kodiferenciál průmětu svazku vláken . Spojení na vrstvě svazku souvisí s tenzorem elektromagnetického pole $\pi ^{*}$ $\pi :P\to M$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Že takové spojení vždy existuje, dokonce i pro svazky libovolně složité topologie, je výsledkem homologie a zejména K-teorie . Aplikováním Fubiniho teorému a integrací přes vrstvu získáme

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\right)\;{\mbox{vol}}(g)

Změnou akce vzhledem ke komponentě se dostaneme k Maxwellovým rovnicím. Aplikováním variačního principu na základní metriku získáme Einsteinovy rovnice $A$ $G$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

s tenzorem energie-hybnosti daným jako

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},

který se někdy nazývá Maxwellův tenzor napětí .

Původní teorie definuje metrikou vrstvy a umožňuje ji měnit vrstvu od vrstvy. V tomto případě spojení mezi gravitací a elektromagnetickým polem není konstantní, ale má své vlastní dynamické pole - radionické . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Zobecnění

Výše uvedená velikost smyčky působí jako vazebná konstanta mezi gravitačním polem a elektromagnetickým polem. Pokud je základní varieta čtyřrozměrná, pak je Kaluza-Kleinova varieta P pětirozměrná. Pátá dimenze je kompaktní prostor , který se nazývá kompaktní dimenze . Metoda zavedení kompaktních rozměrů pro získání vícerozměrného potrubí se nazývá zhutňování . Kompaktifikace neprovádí skupinové akce na chirálních fermionech, s výjimkou velmi specifických případů: rozměr celého prostoru musí být 2 mod 8 a G-index Diracova operátoru kompaktního prostoru musí být nenulový [54] . $\lambda$

Výše uvedený vývoj víceméně přímo zobecňuje na obecné hlavní G -svazky pro nějakou libovolnou Lieovu grupu G zabírající místo U(1) . V tomto případě se teorie často nazývá Yang-Millsova teorie . Jestliže základní varieta je supersymetrická , pak výsledná teorie je supersymetrická Yang-Mills teorie.

Experimentální ověření

Neexistují žádné oficiální zprávy o experimentálních nebo pozorovacích známkách dalších dimenzí. Pro detekci Kaluzových–Kleinových rezonancí bylo navrženo mnoho teoretických vyhledávacích metod pomocí hromadné interakce takových rezonancí s top kvarkem . Pozorování takových rezonancí na Velkém hadronovém urychlovači je však nepravděpodobné. Analýza výsledků LHC v prosinci 2010 vážně omezuje teorie s velkými extra rozměry [55] .

Pozorování bosonu Higgsova typu na LHC zakládá nový empirický test, který lze aplikovat na hledání Kaluza-Kleinových rezonancí a supersymetrických částic. Smyčkové Feynmanovy diagramy , které existují v Higgsových interakcích, umožňují jakékoli částici s elektrickým nábojem a hmotností pohybovat se po takové smyčce. Částice standardního modelu jiné než top kvark a boson W příliš nepřispívají k průřezu pozorovanému v H → γγ , ale pokud se nové částice objeví mimo standardní model, mohly by potenciálně změnit poměr předpovězeného standardního modelu H → γγ do experimentálně sledovaného úseku. Proto je měření jakékoli náhlé změny H → γγ předpovězené standardním modelem rozhodující pro studium fyziky za jejími limity.

Jiná novější práce z července 2018 [56] dává této teorii jistou naději; v článku zpochybňují, že gravitace proniká do vyšších dimenzí, jako v teorii brane. Z článku však vyplývá, že elektromagnetické pole a gravitace mají stejný počet rozměrů a tato skutečnost potvrzuje Kaluza-Kleinovu teorii; zda je počet rozměrů skutečně 3 + 1 nebo skutečně 4 + 1 je věcí další debaty.

Viz také

Univerzální dodatečné rozměry

Poznámky

↑ A. A. Starobinskij. Kaluza - Klein theory // Physical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. A. M. Prochorov . - M. : Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2: Faktor kvality - Magnetooptika. - 704 s. — 100 000 výtisků. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Kalutsy - Klein theory / A. A. Starobinsky // Velká ruská encyklopedie [Elektronický zdroj]. — 2004.
↑ Vladimirov, 2009 , str. jedenáct.
↑ Vladimirov, 2009 , str. patnáct.
↑ Vladimirov, 2009 , str. 16.
↑ Vladimirov, 2009 , str. 17.
↑ Vladimirov, 2009 , str. 19.
↑ Vladimirov, 2009 , str. 21-22.
↑ Wesson, 2006 , str. jeden.
↑ Wesson, 2006 , str. 1-2.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 307.
↑ Nordström, Gunnar (1914). „O možnosti sjednocení gravitačního a elektromagnetického pole“. Phys. Zeitschr . 15 :504-506. arXiv : fyzika/0702221 .
↑ Keskinen, Raimo. Gunnar Nordström & Suomen Einstein (fin.) (nedostupný odkaz) (25. června 2007). Získáno 10. července 2021. Archivováno z originálu dne 3. března 2016.
↑ Pais, Abraham. Subtilní je Pán...: Věda a život Alberta Einsteina . - 1982. - S. 329-330 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kaluza, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik“. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlín. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K .
↑ Wesson, 2006 , str. 3-4.
↑ 1 2 Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
↑ 1 2 3 Klein, Oskar (1926). "Atomicita elektřiny jako zákon kvantové teorie." příroda . 118 (2971): 516. Bibcode : 1926Natur.118..516K . DOI : 10.1038/118516a0 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 5.
↑ Overduin & Wesson, 1997 , s. 308.
↑ Wesson, 2006 , str. 6.
↑ 1 2 3 Goenner, H. (2012). "Několik poznámek ke vzniku teorií skalárních tenzorů." Obecná teorie relativity a gravitace . 44 (8): 2077-2097. arXiv : 1204.3455 . Bibcode : 2012GReGr..44.2077G . DOI : 10.1007/s10714-012-1378-8 .
↑ Lichnerowicz, A. (1947). "Problèmes de calcul des variations liés à la dynamicique classique et à la théorie unitaire du champ." Compt. Rend. Akad. sci. Paříž . 224 : 529-531.
↑ 1 2 3 4 Thiry, Y. (1948). „Les équations de la théorie unitaire de Kaluza“ . Compt. Rend. Akad. sci. Paříž . 226 : 216-218.
↑ Thiry, Y. (1948). „Sur la regularité des champs gravitationnel et électromagnetique dans les théories unitaires“. Compt. Rend. Akad. sci. Paříž . 226 : 1881-1882.
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1946). „Relativistická gravitační teorie s proměnnou gravitační konstantou“. Naturwissenschaften . 11 (8): 250-251. Bibcode : 1946NW.....33..250J . DOI : 10.1007/BF01204481 .
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1947). "Über die Feldgleichungen der Gravitation bei variabler "Gravitationslonstante " " ". Z.Naturforsch . 2a (1): 1-2. Bibcode : 1947ZNatA...2....1J . DOI : 10.1515/zna-1947-0102 .
↑ Ludwig, G. (1947). „Der Zusammenhang zwischen den Variationsprinzipien der projektiven und der vierdimensionalen Relativitätstheorie“ . Z.Naturforsch . 2a (1): 3-5. Bibcode : 1947ZNatA...2....3L . DOI : 10.1515/zna-1947-0103 . Archivováno z originálu dne 2020-10-04 . Staženo 2021-07-10 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ 1 2 3 Jordan, P. (1948). Funfdimensionale Kosmologie. Astron. Nachr . 276 (5-6): 193-208. Bibcode : 1948AN....276..193J . DOI : 10.1002/asna.19482760502 .
↑ Ludwig, G. (1948). "Ein Modell des Kosmos und der Sternentstehung". Annalen der Physik . 2 (6): 76-84. Bibcode : 1948AnP...437...76L . DOI : 10.1002/andp.19484370106 .
↑ Scherrer, W. (1941). „Bemerkungen zu meiner Arbeit: „Ein Ansatz für die Wechselwirkung von Elementarteilchen “ . Helv. Phys. Acta . 14 (2):130.
↑ Scherrer, W. (1949). “Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld”. Helv. Phys. Acta . 22 : 537-551.
↑ Scherrer, W. (1950). “Über den Einfluss des metrischen Feldes auf ein skalares Materiefeld (2. Mitteilung)”. Helv. Phys. Acta . 23 :547-555.
↑ Brans, CH (1. listopadu 1961). „Machův princip a relativistická teorie gravitace“ . Fyzický přehled . 124 (3): 925-935. Bibcode : 1961PhRv..124..925B . DOI : 10.1103/PhysRev.124.925 .
↑ 1 2 3 Williams, LL (2015). „Rovnice pole a Lagrangian pro metriku Kaluza vyhodnocené pomocí softwaru Tensor Algebra“ (PDF) . Journal of Gravity . 2015 . DOI : 10.1155/2015/901870 . Archivováno (PDF) z originálu dne 2021-06-30 . Staženo 2021-07-10 . Použitý zastaralý parametr |deadlink=( nápověda )
↑ Ferrari, JA (1989). „O přibližném řešení nabitého objektu a experimentálních důkazech pro teorii Kaluza-Klein“. Gen. relativní. Gravitace . 21 (7). Bibcode : 1989GReGr..21..683F . DOI : 10.1007/BF00759078 .
↑ Coquereaux, R. (1990). "Teorie Kaluza-Klein-Jordan-Thiry přehodnocena." Annales de l'Institut Henri Poincare . 52 .
↑ Williams, LL (2020). „Rovnice pole a Lagrangian tenzoru energie a hybnosti Kaluza“. Pokroky v matematické fyzice . 2020 _ DOI : 10.1155/2020/1263723 .
↑ 12 Wesson , 2006 , s. 13.
↑ Wesson, 2006 , str. čtrnáct.
↑ Appelquist, Thomas. Moderní Kaluza–Kleinovy teorie / Thomas Appelquist, Chodos, Alan, Freund, Peter GO. — Menlo Park, Cal. : Addison-Wesley, 1987. - ISBN 978-0-201-09829-7 .
↑ Wesson, Paul S. Space–Time–Matter, Modern Kaluza–Klein Theory . - Singapur: World Scientific, 1999. - ISBN 978-981-02-3588-8 .
↑ Vladimirov, 2012 , str. 16.
↑ Nugajev Rinat M. Problém časoprostorové dimenze jako kámen úrazu inflační kosmologie // Metavesmír, prostor, čas / Vadim V. Kazutinsky, Elena A. Mamchur, Alexandre D. Panov & VD Erekaev (eds.). - Filosofický ústav RAS, 2013. - S. 52-73. (Ruština)
↑ Pauli, Wolfgang. Teorie relativity . - 1958. - P. Dodatek 23.
↑ Gross, DJ (1983). „Magnetické monopoly v teoriích Kaluza-Klein“. Nucl. Phys. b . 226 (1): 29-48. Bibcode : 1983NuPhB.226...29G . DOI : 10.1016/0550-3213(83)90462-5 .
↑ Gegenberg, J. (1984). „Pohyb nabitých částic v Kaluza–Kleinově časoprostoru“. Phys. Lett . 106A (9). Bibcode : 1984PhLA..106..410G . DOI : 10.1016/0375-9601(84)90980-0 .
↑ Wesson, PS (1995). "Pohybová rovnice v kosmologii Kaluza-Klein a její důsledky pro astrofyziku." Astronomie a astrofyzika . 294 . Bibcode : 1995A&A...294....1W .
↑ Williams, LL (2012). „Fyzika elektromagnetického řízení časoprostoru a gravitace“ . Sborník příspěvků ze 48. konference AIAA Joint Propulsion Conference . AIAA 2012-3916. DOI : 10.2514/6.2012-3916 .
↑ Vladimirov, 1987 , s. 45-46.
↑ David Bleecker, „ Teorie měření a variační principy archivované 9. července 2021 na Wayback Machine “ (1982) D. Reidel Publishing (viz kapitola 9 )
↑ Ravndal, F., Oskar Klein a pátá dimenze, arXiv:1309.4113 [physics.hist-ph]
↑ 5Dstm.org . Získáno 10. července 2021. Archivováno z originálu dne 21. srpna 2013. (neurčitý)
↑ L. Castellani a kol., Supergravitace a superstruny, svazek 2, kapitola V.11
↑ CMS Collaboration, „Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider“, https://arxiv.org/abs/1012.3375 Archivováno 10. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ Omezení počtu prostoročasových dimenzí z GW170817 , https://arxiv.org/abs/1801.08160 Archivováno 3. listopadu 2019 na Wayback Machine

Literatura

Vladimirov Yu. S. Dimenze fyzického časoprostoru a asociace interakcí. - M. : Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1987. - 215 s.
Vladimirov Yu. S. Klasická teorie gravitace. - M. : Knižní dom LIBROKOM, 2009. - 264 s. - ISBN 978-5-397-00884-6 .
Vladimirov Yu. S. Geometrofyzika. - 2. vydání, Rev. - M. : Binom. Vědomostní laboratoř, 2012. - 536 s. - ISBN 978-5-9963-0303-8 .
Hodos, A. Kaluza-Kleinovy teorie: obecný přehled // Phys . - 1985. - T. 146 . - S. 647-654 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508d.0647 .
Wesson, Paul S. Pětirozměrná fyzika: klasické a kvantové důsledky Kaluza-Kleinovy kosmologie . — Hackensack, NJ: World Scientific, 2006. — ISBN 9812566619 .
Overduin JM, Wesson PS Kaluza-Klein gravitace // Fyzikální zprávy. - 1997. - T. 283 . - S. 303-378 . - doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . - arXiv : gr-qc/9805018 .
Kaluža, Theodor (1921). „Zum Unitätsproblem in der Physik“. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlín. (Math. Phys.) : 966-972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift fur Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . DOI : 10.1007/BF01397481 .
Witten, Edward (1981). „Hledání realistické teorie Kaluza–Klein“. Jaderná fyzika B . 186 (3): 412-428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . DOI : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
Duff, MJ Kaluza–Klein Theory in Perspective // Sborník příspěvků ze sympozia „Sté výročí Oskara Kleina“ / Lindström, Ulf. - Singapur : World Scientific, 1994. - S. 22–35. — ISBN 978-981-02-2332-8 .
Overduin, JM (1997). Kaluza-Klein Gravitace. Fyzikální zprávy . 283 (5): 303-378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . DOI : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 .
Wesson, Paul S. Pětirozměrná fyzika: klasické a kvantové důsledky kosmologie Kaluza–Klein . - Singapur : World Scientific, 2006. - ISBN 978-981-256-661-4 .
The CDF Collaboration, Search for Extra Dimensions using Missing Energy at CDF , (2004 )
John M. Pierre Extra Rozměry , (2003).
Chris Pope, Přednášky o Kaluze–Kleinově teorii .
Edward Witten (2014). "Poznámka k Einsteinovi, Bergmannovi a páté dimenzi", arXiv : 1401.8048
Lee Smolin Potíže s fyzikou: Vzestup teorie strun, úpadek vědy a ještě dál

Teorie gravitace

Standardní teorie gravitace

Alternativní teorie gravitace

Kvantové teorie gravitace

Sjednocené teorie pole

klasická fyzika

Newtonova teorie gravitace

Relativistická fyzika

Obecná teorie relativity
- Matematická formulace
- Hamiltonovská formulace

Zásady

Klasický

Relativistické

Multidimenzionální

Struny

jiný

Výjimečně jednoduchá teorie všeho

Fyzika nad rámec standardního modelu
Důkaz	Problém hierarchie měřidel Temná hmota temná energie Problém kosmologické konstanty Silný problém s CP Oscilace neutrin
teorie	Technicolor Pátá síla Kaluza-Klein teorie Velké sjednocené teorie Teorie všeho Teorie strun
supersymetrie	MSSM teorie superstrun supergravitace
kvantová gravitace	Teorie strun Smyčka kvantové gravitace Kauzální dynamická triangulace Kanonická kvantová gravitace
Experimenty	ANNIE Sasso INO NÁDRŽ SNO Super-K Tevatron mion g- NOvA