Alternativní teorie gravitace

Je zvykem nazývat alternativní teorie gravitace teoriemi gravitace , které existují jako alternativy k obecné teorii relativity (GR) nebo ji významně (kvantitativně či kvalitativně) mění. Alternativní teorie gravitace často zahrnují obecně jakékoli teorie, které se alespoň v detailech neshodují s obecnou teorií relativity nebo ji nějak zobecňují. Často se však teorie gravitace, zejména kvantové , které se shodují s obecnou teorií relativity v nízkoenergetické hranici, neoznačují jako „alternativní“.

Klasifikace alternativních teorií gravitace

Ve fyzice 17.-19. století byla Newtonova teorie dominantní teorií gravitace. V současnosti většina fyziků považuje obecnou teorii relativity (GR) za hlavní teorii gravitace, protože je s ní v souladu celý existující soubor experimentů a pozorování (viz Testy obecné relativity ). Obecná teorie relativity má však řadu významných problémů, což vede k pokusům o úpravu obecné teorie relativity nebo k prezentaci nových teorií. Moderní teorie gravitace lze rozdělit do následujících hlavních tříd:

Metrické teorie. Patří mezi ně obecná teorie relativity, relativistická teorie gravitace (RTG) Logunova a další.
Nemetrické teorie jako Einstein-Cartanova teorie.
Vektorové teorie.
Skalárně-tenzorové teorie. Taková je zejména Jordan-Brans-Dickova teorie.
Alternativní teorie k Newtonově klasické teorii. Pozoruhodné teorie jsou Le Sage gravitace a modifikovaná Newtonova dynamika (MOND).
Teorie kvantové gravitace, reprezentované celou řadou odrůd.
Teorie sjednocení různých fyzikálních interakcí. Zde můžete specifikovat teorii supergravitace a teorii strun.

Obecný seznam teorií gravitace s odkazy je uveden níže.

Teorie gravitace

Standardní teorie gravitace

Alternativní teorie gravitace

Kvantové teorie gravitace

Sjednocené teorie pole

klasická fyzika

Newtonova teorie gravitace

Relativistická fyzika

Obecná teorie relativity
- Matematická formulace
- Hamiltonovská formulace

Zásady

Klasický

Relativistické

Multidimenzionální

Struny

jiný

Výjimečně jednoduchá teorie všeho

Důvody pro vytvoření alternativních teorií gravitace

Existují stovky pokusů o vytvoření ideální teorie gravitace. Podle motivace spadají tyto pokusy do 3 širokých kategorií:

Přímé alternativy k obecné teorii relativity (GR), jako je Einstein-Cartanova teorie , skalární tenzorová teorie gravitace (teorie Brans-Dicke ), bimetrická Rosenova teorie nebo Logunovova relativistická teorie gravitace ;
Pokusy vytvořit kvantovou teorii gravitace , nejslavnější který je smyčková kvantová gravitace ;
Klasické sjednocené teorie pole , které kombinují gravitaci s elektromagnetismem a případně dalšími (obvykle hypotetickými) silami, např. Kaluza-Kleinova teorie , Schmutzerova teorie .

Tento článek popisuje pouze přímé alternativy ke GR, kvantové teorie gravitace jsou předmětem článku „ Kvantová gravitace “, jednotné teorie pole jsou popsány ve stejnojmenném článku, stejně jako pokusy o vytvoření teorie všeho .

Důvody pro vytváření teorií gravitace se v průběhu času měnily, historicky první z nich byly pokusy vysvětlit pohyb planet ( s tím se úspěšně vyrovnala newtonská gravitace ) a satelitů, zejména Měsíce . Pak přišla doba kombinovaných teorií gravitace a světla, založených na konceptu éteru nebo korpuskulární teorie světla , jako příklad Fatio-Lesageova teorie gravitace . Poté, co celá fyzika po vytvoření speciální teorie relativity změnila svůj charakter , bylo nutné spojit ji s gravitačními silami. Experimentální fyzika ve svém vývoji zároveň dospěla k ověření základů teorie relativity a gravitace: Lorentzova invariance , gravitační výchylka světla a ekvivalence setrvačné a gravitační hmoty ( Eötvösův experiment ). Tyto experimenty a další úvahy vedly nakonec k obecné teorii relativity .

Poté se motivace dramaticky změnila. Gravitace opustila hlavní ohnisko aplikace sil pro rozvoj fyziky – stala se rozvojem kvantové mechaniky a kvantové teorie pole , inspirovaného objevy atomové , jaderné a částicové fyziky . Spojení kvantové mechaniky i se speciální teorií relativity se ukázalo být natolik komplikované, že kvantová teorie pole stále nepředstavuje žádné ucelené odvětví fyzikálního poznání. Pokusy o spojení principů kvantové mechaniky s obecnou teorií relativity nelze považovat za zcela úspěšné a jsou popsány v článku „ kvantová gravitace “.

Po vytvoření obecné teorie relativity byly učiněny pokusy jak zlepšit rané teorie, tak vyvinout nové, které berou v úvahu nové koncepty. Byly použity různé přístupy, například přidání spinu ke GR , zavedení expanze vesmíru do rámce hlavního (nenarušeného) prostoru teorie a požadavek absence singularit .

Experimentální technologie dosáhla nových výšin a kladla stále přísnější omezení na teorii gravitace. Mnoho přístupů vyvinutých brzy po vzniku GR bylo vyvráceno a obecným trendem je vyvíjet stále obecnější formy teorií gravitace, které nakonec dosáhly určité dokonalosti v tom smyslu, že bez ohledu na experimentálně zjištěnou odchylku od GR bude být teorií, jejím popisem.

Do 80. let 20. století neustále rostoucí přesnost experimentů vedla k úplnému odmítnutí všech teorií gravitace, s výjimkou té třídy z nich, která zahrnuje obecnou teorií relativity jako extrémní případ. Stejné teorie lze odmítat na základě principu „ Occamovy břitvy “, dokud nebudou spolehlivě detekovány a experimentálně potvrzeny odchylky od předpovědí obecné teorie relativity. Teoretické fyziky brzy uchvátily teorie strun , které vypadaly velmi slibně. V polovině 80. let. několik experimentů údajně našlo odchylky od obecné teorie relativity na krátké vzdálenosti (stovky metrů a méně), které nazývali projevy „ páté síly “. Výsledkem byl krátkodobý výbuch aktivity ve strunových teoriích gravitace, ale tyto experimentální výsledky nebyly následně potvrzeny (v současné době je ověřena newtonovská povaha sil gravitační přitažlivosti až do měřítka desítek mikrometrů - 2009 ).

Nové pokusy o vývoj alternativních teorií gravitace jsou inspirovány téměř výhradně kosmologickými důvody spojenými nebo nahrazujícími pojmy jako „ inflace “, „ temná hmota “ a „ temná energie “. Hlavní myšlenkou je v tomto případě shoda moderní gravitace s gravitační interakcí v obecné relativitě, ale s předpokládanou silnou odchylkou od ní v raném vesmíru. Studium anomálie Pioneer také nedávno vyvolalo nárůst zájmu o alternativy k obecné teorii relativity, ale pozorovaná odchylka je pravděpodobně příliš velká na to, aby mohla být vysvětlena jakoukoli z těchto novějších teorií.

Notace

Viz tenzorová analýza , diferenciální geometrie , matematické základy obecné relativity .

Latinské indexy se pohybují od 1 do 3, řecké indexy se pohybují od 0 do 3. Časový index je obvykle 0. Einsteinova konvence se používá pro sčítání přes opakované ko- a kontravariantní indexy.

$\eta _{{\mu \nu }}\;$ je Minkowského metrika , je tenzor , obvykle metrický tenzor . Metrický podpis $g_{{\mu \nu }}\;$ $(-,+,+,+)\;.$

Kovariantní derivát se zapisuje jako nebo jako $\partial _{\mu } \varphi \;$ $\varphi _{{;\mu }}\;.$

Rané teorie, 1686–1916

Hlavní zdroj: Pais (1989).

Rané teorie gravitace, podle kterých se všechny teorie vyvíjely před GR, zahrnují Newtonovu teorii (1686) , její různé modifikace (zejména Clairaut a Hill) a poté relativistické teorie: teorie Poincarého ( 1905 ), Einsteina ( 1912a & b ), Einstein-Grossmann ( 1913 ), Nordström (1912, 1913) a Einstein-Fokker ( 1914 ).

Newtonova teorie ( 1686 )

V Newtonově ( 1686 ) teorii , přepsané do moderních termínů, pole hmotnostní hustoty generuje gravitační potenciální skalární pole následovně (až do konstanty): $\rho$ $\varphi$

\Delta \varphi =4\pi G\rho

, kde , je gravitační konstanta , je Laplaceův operátor a druhá mocnina nabla je skalární.

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi

G

\Delta

Konkrétně pro sféricky symetrickou hmotu (včetně bodové hmoty) se skalární pole mimo ni, přičemž potenciál v nekonečnu je rovný nule, rovná $M$

\varphi =-G{M \over r}

, kde je vzdálenost od daného bodu ke středu symetrie.

r

Skalární pole zase ovlivňuje trajektorii volně se pohybující částice následovně:

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \varphi \over \partial x^{j}}=0

nebo .

{\ddot {x}}+\operatorname {grad} \varphi =0

Potenciální energie hmoty bodu je:

P=\varphi M

, kde je potenciální energie, je velikost hmoty.

P

M

Někdy se používá formalismus s kladným potenciálem, gravitující hmoty v tomto případě tvoří „potenciální hrby“, nikoliv „jámy“, čáry gradientu potenciálu z gravitujících hmot nevycházejí, ale naopak do nich vstupují. V předchozím zápisu:

spojení potenciálního pole s polem hmotnostní hustoty: ,

\Delta \varphi =\nabla ^{2}\varphi =\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi =-4\pi G\rho

případ sféricky symetrické hmotnosti: ,

\varphi =G{M \over r}

dopad na hmotný bod: nebo ,

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}={\partial \varphi \over \partial x^{j}}

{\ddot {x}}=\operatorname {grad} \varphi

potenciální energie .

P=-\varphi M

Newtonova teorie a její přeformulovaná verze od Lagrange (se zavedením variačního principu) samozřejmě nebere v úvahu relativistické efekty, a proto je nyní nelze považovat za přijatelnou teorii gravitace. Nicméně Newtonova teorie, jako teorie potvrzená experimentem s určitým stupněm přesnosti, podle principu korespondence , by měla být reprodukována jakoukoli teorií gravitace jako limit pro slabé gravitační pole a nízké rychlosti těles.

Mechanické modely (1650–1900)

Newton na otázku o příčinách gravitace odpověděl: "Nevymýšlím si hypotézy." Jeho následovníci nebyli v této věci tak úzkostliví a předložili mnoho mechanických verzí vysvětlení gravitace. Z modifikací Newtonovy teorie vyniká Le Sageova teorie (korpuskulární model) a její modifikace . Poincaré ( 1908 ) porovnal všechny do té doby známé teorie a dospěl k závěru, že správná je pouze Newtonova teorie. Zbývající modely předpovídají velmi vysoké nadsvětelné rychlosti gravitační interakce , což by zase mělo vést k velmi rychlému zahřátí Země v důsledku srážek jejích částic s částicemi, které způsobují gravitační přitažlivost těles, která není pozorována.

Zde je krátký seznam těchto teorií:

René Descartes (1644) a Christian Huygens (1690) použili k vysvětlení gravitace víry tělísek vyplňujících veškerý prázdný prostor.
Robert Hooke (1671) a James Challis (1869) předpokládali, že každé těleso vyzařuje vlny, které způsobují, že přitahuje jiná tělesa. Nicolas Fatio de Duillier (1690) a Georges-Louis Le Sage (1748) navrhli korpuskulární model využívající efekt stínování jednoho těla do druhého proudy krvinek, které neustále přicházejí ze všech směrů ( Le Sageova teorie gravitace ). Později podobný model vyvinul Hendrik Anton Lorenz , ale místo tělísek použil elektromagnetické vlny.
Isaac Newton (1675) a Riemann (1853) tvrdili, že přitažlivost těles je důsledkem interakce s proudy éteru.
Newton (1717) a Leonhard Euler (1760) navrhli model, podle kterého se éter v blízkosti těles stává řídkým, což má za následek sílu směřující k tělu.
Kelvin (1871) navrhl pulsující model gravitace a elektromagnetismu.

Odchylky v pohybu nebeských těles od těch vypočítaných podle newtonovské teorie vedly k úvaze o gravitačních zákonech, které jsou odlišné od newtonských. Například k vysvětlení odchylek v pohybu Měsíce byl kdysi použit Clairautův vzorec

F=m_{1}m_{2}\left({\frac {G}{r^{2}}}+{\frac {H}{r^{4}}\right)\,,

a pak Hilla (ta, ale s jinými parametry, které se neshodují s těmi měsíčními, byla použita S. Newcombem (1895) při vývoji teorie pohybu vnitřních planet Sluneční soustavy a sestavování slunečních tabulek , jejichž prostřednictvím pak byla určena druhá efemerida )

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{{2+\delta }}}}\,,\quad |\delta |\ll 1\,.

S rozvojem nebeské mechaniky se ukázalo, že tyto odchylky nevyžadují úpravu teorie gravitace, ale jsou způsobeny jinými důvody [1] .

V současné době existují i různé „vírové“ a „éterodynamické“ teorie gravitace, někdy i elektromagnetismu (vypracovali V. A. Atsukovskij, Voronkov, Leonov, Rykov a další autoři). V zásadě na ně lze vztáhnout všechny stejné Poincarého námitky, takže většina vědců považuje takové pokusy v současnosti za pseudovědecké .

Elektrické modely (1870–1900)

Konec 19. století byl poznamenán rozšířením teorií gravitace spojené se zákony získané elektromagnetické interakce, jako jsou zákony Webera , Gausse , Riemanna a Maxwella [2] [3] . Tyto modely měly vysvětlit jediný anomální výsledek nebeské mechaniky: nesoulad ve vypočítaném a pozorovaném pohybu perihelia Merkuru . V roce 1890 se Levymu podařilo získat stabilní oběžné dráhy a správnou míru posunu perihélia kombinací Weberových a Riemannových zákonů. Další úspěšný pokus učinil P. Gerber v roce 1898 [4] . Protože se však počáteční elektrodynamické potenciály ukázaly jako nesprávné (např. Weberův zákon nebyl zahrnut do konečné Maxwellovy teorie elektromagnetismu), byly tyto hypotézy zamítnuty jako svévolné [5] [6] . Některé další pokusy, které již používaly Maxwellovu teorii (například teorie H. Lorentze z roku 1900 ), poskytly příliš malou precesi [7] [8] [9] .

Lorentzovy invariantní modely (1905–1910)

Kolem roku 1904-1905 položily práce H. Lorentze , A. Poincarého a A. Einsteina základ speciální teorie relativity , vylučující možnost šíření jakýchkoli interakcí rychleji, než je rychlost světla . Vyvstal tedy úkol nahradit Newtonův gravitační zákon jiným, kompatibilním s principem relativity, ale poskytujícím téměř newtonovské efekty při nízkých rychlostech a gravitačních polích. Takové pokusy učinili A. Poincaré (1905 a 1906), G. Minkowski (1908) a A. Sommerfeld (1910) [9] . Všechny uvažované modely však vykazovaly příliš malý posun perihelia [10] . V roce 1907 Einstein dospěl k závěru, že pro popis gravitačního pole je nutné zobecnit tehdejší teorii relativity, dnes nazývanou speciální. Od roku 1907 do roku 1915 Einstein důsledně směřoval k nové teorii, přičemž jako vodítko používal svůj princip relativity .

Einstein ( 1912 ), Einstein a Grossman ( 1913 )

Einsteinova publikace z roku 1912 (ve dvou částech) je pouze historicky důležitá. V té době věděl o gravitačním rudém posuvu a vychylování světla . Einstein pochopil, že Lorentzovy transformace jsou obecně nesprávné v přítomnosti gravitačního pole, ale použil je jako heuristiku. Tato teorie tvrdila, že rychlost světla je konstantní hodnota v prostoru bez hmoty, ale mění se v přítomnosti hmotných těles, čímž vzniká gravitační efekt. Teorie byla omezena na stacionární gravitační pole a zahrnovala princip nejmenší akce :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,\quad \eta _{ {\mu \nu }}=diag\{-c^{2}(x^{i}),1,1,1\}.

Poté již Einstein a Grossman ( 1913 ) použili pseudo-Riemannovu geometrii a tenzorovou analýzu :

\delta \int ds=0\,,\qquad ds^{2}=g_({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

V jejich práci se již rovnice elektrodynamiky přesně shodovaly s rovnicemi v obecné teorii relativity. Kromě toho byla použita další rovnice (ne vždy platí v obecné relativitě)

T^{{\mu \nu }}=\kappa \rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}\,,

vyjádření tenzoru energie-hybnosti jako funkce hustoty hmoty.

Dvě teorie Nordströma (1912), (1913)

Prvním Nordströmovým (1912) přístupem bylo pokusit se udržet Minkowského metriku a rychlost světla konstantní zavedením závislosti hmotnosti na potenciálu gravitačního pole Za předpokladu, že splňuje rovnici $C$ $\varphi\,.$ $\varphi$

\Box \varphi =\rho \,,

kde je hustota energie klidové hmoty, a je Dalambertian , a zavádí závislost $\rho$ $\Box$

m=m_{0}\exp(\phi /c^{2})\,,

Nordström navrhl následující rovnici

-{\partial \varphi \over \partial x^{\mu }}={\tečka {u}}_{\mu }+{u_{\mu } \over c^{2}{\tečka {\varphi }}}\,,

kde je 4-rychlost a tečka značí diferenciaci s ohledem na čas. $u$

Nordströmův druhý pokus (1913) vešel do dějin jako první vnitřně konzistentní relativistická teorie pole gravitace. Z variačního principu (všimněte si, že se používá spíše Paisova (1989) notace než Nordströmova):

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=\eta _({\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

kde je skalární pole, v této teorii následovaly následující pohybové rovnice $\psi$

-{\částečné T^{{\mu \nu }} \přes \částečné x^{\nu }}=T{1 \přes \psi }{\částečné \psi \přes \částečné x_{\mu }}\ ,.

Tato teorie byla Lorentzova invariantní, obsahovala zákony zachování, správně reprodukovala Newtonovu limitu a vyhovovala slabému principu ekvivalence .

Abraham ( 1914 )

Přibližně ve stejné době Abraham vyvíjel alternativní model, ve kterém rychlost světla závisela na gravitačním potenciálu. Abrahamova ( 1914 ) recenze různých gravitačních modelů je známá jako jedna z nejlepších ve svém oboru, ale jeho vlastní model neobstál při zkoumání.

Einstein a Fokker ( 1914 )

Tato teorie byla prvním pokusem formulovat výslovně kovariantní teorii gravitace. Po zapsání

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

g_{{\mu \nu }}=\psi ^{2}\eta _{{\mu \nu }}\,,

Einstein a Fokker ukázali identitu konstrukce Einstein-Grossmann (1913) a Nordström (1913). Dodatečná rovnice pro gravitační pole byla postulována v následujícím tvaru:

T\,\propto\,R,

to znamená, že stopa tenzoru energie-hybnosti je úměrná skalárnímu zakřivení časoprostoru.

Obecná teorie relativity

Einsteinova teorie, obsažená ve dvou článcích z let 1916 a 1917, se dnes nazývá obecná teorie relativity. Einstein zcela opustil Minkowského metriku a získal:

\delta \int \psi ds=0\,,

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,,

R_{{\mu \nu }}=8\pi G(T_{{\mu \nu }}-g_{{\mu \nu }}T/2)\,,

což lze také napsat jako

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\,.

O pět dní dříve než Einstein poslal Hilbert k publikaci dílo „Základy fyziky“, obsahující v podstatě stejné rovnice, ale odvozené z variačního principu ve vztahu k Mieově elektrodynamice . Prioritním otázkám je věnována část samostatného článku " Otázky priority v teorii relativity ". Hilbert byl první, kdo zapsal správnou Einstein-Hilbertovu akci pro obecnou teorii relativity:

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\,,

kde je Newtonova gravitační konstanta , je skalární zakřivení (Ricciho skalární) časoprostoru, je determinantem matice složek metrických tenzorů a je působením negravitačních polí (hmotné částice, elektromagnetické pole atd.) . $G$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Obecná teorie relativity je tenzorová teorie, protože všechny její rovnice obsahují pouze tenzorové veličiny. Nordstemovy teorie jsou na druhé straně skalární, protože gravitační pole v nich je skalární . Dále budou zvažovány i skalárně-tenzorové teorie, které kromě GR tenzorů obsahují i skalární veličiny (jednu nebo více), a také další v současnosti rozšířené varianty obsahující vektorová pole.

Teorie od roku 1917 do 80. let

Hlavní zdroje: Will (1986) [11] , Will (2006). Viz také Ni (1972), Trader (1973), Lang (2002), Turyshev (2007).

Tato část obsahuje přehled alternativ k obecné teorii relativity vyvinutých po ní, ale před objevením rysů diferenciální rotace galaxií, což vedlo k hypotéze o existenci temné hmoty .

Zahrnují teorie (uvedené v chronologickém pořadí, hypertextové odkazy vedou na příslušné části tohoto článku):

Whitehead (1922) , Cartan (1922, 1923) , Firtz a Pauli (1939), Birkhov ( 1943) , Milne (1948), Thiry (1948), Papapetrou ( 1954a , 1954b) , Littlewood (1953) (195) ) ) ), Bergman (1956) , Belinfante a Zweigart (1957) , Yilmaz (Yilmaz) (1958, 1973), Brans a Dicke (1961) , Whitrow a Morduk (Whitrow & Morduch) (1960, 1965) , (1 Kustaanheim), Kustaanheimo a Nuotio (1967), Deser a Lauren (1968) , Page a Tapper (1968) , Bergman (1968) , Bollini-Giambini-Tiomno (1970) , Nordvedt (1970), Wagoner (1970) , Rosen ( 1971 ) 1975, 1975 ), Nee ( 1972 , 1973), Will a Nordvedt (1972) , Hellings a Nordvedt (1973) , Lightman a Lee (1973) , Lee-Lightman-Nee (1974), Bekenstein (1977) Barker ( 19198), ) , Restall (1979) .

Tyto teorie obecně nezahrnují kosmologickou konstantu , sčítat ji nebo kvintesenci je zahrnuto v sekci o nedávných teoriích (viz také Einstein-Hilbert akce ). Také nezahrnují, pokud není uvedeno jinak, další skalární nebo vektorové potenciály, a to z toho prostého důvodu, že tyto potenciály a kosmologická konstanta nebyly považovány za nutné, dokud nebylo objeveno zrychlení expanze vesmíru prostřednictvím pozorování vzdálených supernov .

Klasifikace teorií gravitace

Teorie gravitace lze s jistou mírou přiblížení rozdělit do několika kategorií. Většina teorií má:

' akce ' (viz princip nejmenší akce - variační princip , založený na konceptu akce);
Lagrangeova hustota ;
metrický .

Pokud má teorie například Lagrangovu hustotu, pak je její děj integrálem v časoprostoru $L\,,$ $S$

S\,\propto \,\int {\sqrt {-g}}Ld^{4}x\,.

V této rovnici se obvykle, i když ne nutně, přechází na souřadnice, ve kterých $g=-1\,.$

Téměř všechny konzistentní teorie gravitace působí . Toto je jediný známý způsob, jak automaticky zajistit, že zákony zachování energie , hybnosti a momentu hybnosti jsou zahrnuty do teorie (ačkoli lze snadno zkonstruovat takovou akci, která poruší zákony zachování). Původní verze Modified Newtonian Dynamics (MOND) z roku 1983 neměla žádný účinek.

Několik teorií funguje, ale postrádá lagrangeovskou hustotu. Dobrým příkladem je teorie Whiteheada (1922), jejíž působení není lokální.

Teorie gravitace je metrickou teorií pouze tehdy, pokud ji lze vyjádřit matematicky ve formě, která splňuje následující dvě tvrzení:

Podmínka 1. Existuje metrický podpisový tenzor (nebo, který je nepodstatný ), který vyjadřuje měření vlastního času a vlastní délky způsobem obvyklým pro teorii relativity: $g_{\mu \nu }$ $(-,+,+,+)$ $(+,-,-,-)$

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\,.

Podmínka 2. Hmota a pole vystavená působení gravitačního pole se pohybují v souladu s rovnicí

\nabla \cdot T=0\,,

kde je tenzor energie-hybnosti veškeré hmoty a negravitačních polí a je kovariantní derivace odpovídající metrice. $T$ $\nabla$

Jakákoli teorie gravitace s nesymetrickou metrikou zjevně není metrickou teorií, ale každá metrická teorie může být přeformulována tak, že podmínky 1 a 2 jsou v nové formulaci porušeny. ${\displaystyle g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu ))$

Metrické teorie zahrnují (od jednoduchých po složité):

Skalární teorie (mezi nimi jsou konformně ploché teorie a stratifikované teorie s konformně pruhovanými prostorovými sekcemi)
- Nordstrom, Einstein-Fokker, Whitrow-Morduch, Littlewood, Bergman, Page-Tupper, Einstein (1912), Rosen (1971), Papapetru, Nee, Yilmaz, [Kolman], Lee-Lightman-Nee;
Bimetrické teorie
- Rosen (1975), Restall, Lightman-Lee;
Kvazilineární teorie (mezi nimi lineární teorie s pevným rozchodem)
- Whitehead, Deser-Loren, Bollini-Giambini-Tiomno (Bollini-Giambini-Tiomno);
Tenzorové teorie
- Einstein (1915) - GR;
Skalárně-tenzorové teorie
- Tiry (Thiry), Jordan, Brans-Dicke, Bergman, Wagoner, Nordvedt, Bekenstein;
Teorie vektorových tenzorů
- Will-Nordvedt, Hellings-Nordvedt;
Jiné metrické teorie

(Viz také část Moderní teorie )

Mezi nemetrické teorie patří Cartan, Belinfante-Zweigart a některé další.

Zde je třeba říci pár slov o Machově principu , protože mnohé z těchto teorií jsou na něm založeny nebo jsou jím motivovány, například teorie Einsteina-Grossmanna (1913), Whiteheada (1922), Brans-Dickeho (1961). ). Machův princip lze považovat za mezistupeň mezi newtonovskými a einsteinovskými představami [12] :

Newton: Zvolený referenční rámec je spojen s absolutním prostorem a časem.
Mach: Význačná vztažná soustava souvisí s rozložením hmoty ve vesmíru.
Einstein: Neexistuje žádný vyhrazený referenční rámec.

Zatím všechny pokusy o odhalení experimentálních důsledků Machova principu nebyly úspěšné, ale nelze jej zcela odmítnout.

Skalární teorie

Mnoho teorií, zejména Littlewood (1953), Bergman (1956), Yilmaz (1958), Whitrow a Morduch (1960, 1965) a Page-Tupper (1968), lze odvodit jednotně způsobem, který uvádí Page a Tupper.

Podle Page a Tuppera (1968), kteří uvažovali o všech teoriích zmíněných v předchozím odstavci, kromě teorie Nordströma (1913), má obecná skalární teorie gravitace rovnice pohybu hmot bodu odvozené z principu nejmenší akce. následujícího formuláře:

\delta \int f(\varphi /c^{2})ds=0\,,

kde bude skalární pole pro statický bodový zdroj

\varphi=GM/r\,,

a může nebo nemusí záviset na Funkce mají následující tvar: $C$ $\varphi\,.$ $f(\varphi /c^{2})$

v Nordström (1912)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c=c_{\infty }\,;

v Littlewoodu (1953) a Bergmanovi (1956)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}-(\varphi /c^{2})^{2}/2)\,,\qquad c=c_ {\infty }\,;

ve Whitrow a Morduch (1960)

f(\varphi /c^{2})=1\,,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,;

ve Whitrow a Morduch (1965)

f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2})\,,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \ ,;

u Page and Tupper's (1968)

f(\varphi /c^{2})=\varphi /c^{2}+\alpha (\varphi /c^{2})^{2}\,,\qquad c_{\infty }^{2 }/c^{2}=1+4(\varphi /c_{\infty }^{2})+(15+2\alpha )(\varphi /c_{\infty }^{2})^{2 }\,.

Page a Tupper (1968) také dosáhli shody s Yilmazovou (1958) teorií až do druhého řádu (viz též Yilmazova teorie gravitace ) v r. $\alpha=-7/2\,.$

Gravitační výchylka světla ve skalárních teoriích musí být nulová, pokud rychlost světla není konstantní. Vzhledem k tomu, že proměnlivost rychlosti světla a jeho nulová odchylka jsou v rozporu s experimentálními daty, vyhlídky na životaschopnou skalární teorii gravitace vypadají velmi chmurně. Navíc, pokud jsou parametry skalární teorie upraveny tak, aby bylo dosaženo správného vychýlení světla, bude gravitační červený posuv nejčastěji nesprávný .

Nee (1972) zvážil některé ze skalárních teorií a vypracoval dvě další. V prvním a priori Minkowského časoprostor a vesmírná časová souřadnice spolu s běžnou hmotou a negravitačními poli vytvářejí skalární pole. Toto skalární pole funguje spolu se všemi ostatními jako zdroj pro metriku.

Odpovídající akce (Mizner-Thorn-Wheeler (1973) ji dejte bez člena ): $\varphi R$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\,,

L_{\varphi }=\varphi R-2g^{{\mu \nu }}\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\phi \,,

kde je působení hmoty. Rovnice skalárního pole: $S_{m}$

\Box \varphi =4\pi T^{{\mu \nu }}[\eta _({\mu \nu }}e^{{-2\varphi }}+(e^{{2\varphi } }+e^{{-2\varphi )))\částečné _{\mu }t\částečné _{\nu }t]\,,

kde je univerzální časová souřadnice. Tato teorie je konzistentní a úplná, ale pohyb sluneční soustavy jako celku vzhledem k průměrné distribuci hmoty ve vesmíru vede k významnému rozdílu mezi jejími předpověďmi a experimentálními daty. $t$

Ve druhé Neeově teorii (1972) existují dvě libovolné funkce , které definují metriku: $f(\varphi )$ $k(\varphi )\,,$

ds^{2}=e^{{-2f(\varphi )}}dt^{2}-e^{{2f(\varphi )}}[dx^{2}+dy^{2}+dz^ {2}]\,,

\eta ^{{\mu \nu }}\částečné _{\mu }\částečné _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )\,.

Nee (1972) zmiňuje Rosenovu (1971) teorii jako redukovanou na dvě skalární pole a , která definují metriku takto: $\varphi$ $\psi$

ds^{2}=\varphi ^{2}dt^{2}-\psi ^{2}[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}]\,.

V teorii Papapetroua (1954a) má gravitační část Lagrangianu tvar:

L_{\varphi }=e^{\varphi }(\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi }}\partial _{\alpha }\varphi \partial _{\alpha } \varphi +\textstyle {\frac {3}{2}}e^({\varphi }}\partial _{0}\varphi \partial _{0}\varphi )\,.

Později Papapetrou (1954b) zavádí druhé skalární pole . Potom bude gravitační Lagrangian: $\chi$

L_{\varphi }=e^{{(3\varphi +\chi )/2}}(-\textstyle {\frac {1}{2}}e^{{-\varphi }}\částečné _{\ alpha }\varphi \partial _{\alpha }\varphi -e^{{-\varphi }}\partial _{\alpha }\varphi \partial _{\chi }\varphi +\textstyle {\frac {3} {2}}e^{{-\chi }}\partial _{0}\varphi \partial _{0}\varphi )\,.

Bimetrické teorie

Bimetrické teorie obsahují obvyklý metrický tenzor a Minkowského metriku (nebo metriku konstantního zakřivení nebo jinou metriku „pozadí“) a mohou také zahrnovat jiná skalární a vektorová pole.

Akce v bimetrické teorii Rosena (1973, 1975) má tvar:

S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\eta ^({\mu \nu }}g^{{\alpha \beta }}g ^{{\gamma \delta }}(g_{{\alpha \gamma |\mu }}g_{{\alpha \delta |\nu }}-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{{ \alpha \beta |\mu }}g_{{\gamma \delta |\nu }})+S_{m}\,,

kde svislá čára "|" označuje kovariantní derivaci konzistentní s metrickou Pole rovnice mohou být zapsány jako: $\eta\,.$

\Box _{\eta }g_{{\mu \nu }}-g^({\alpha \beta }}\eta ^{{\gamma \delta }}g_{{\mu \alpha |\gamma }} g_{{\nu \beta |\delta }}=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{{\mu \nu }}-\textstyle {\frac {1}{2} }g_{{\mu \nu }}T)\,.

Lightman a Lee (1973) vyvinuli metrickou teorii založenou na nemetrické teorii Belinfanteho a Zweigarta (1957a, 1957b), známé jako teorie BSLL. Zavádí tenzorové pole a dvě konstanty , takže akce vypadá takto: ${\displaystyle B_{\mu \nu ))$ $(B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu })$ $A$ $F\,,$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{{\mu \nu |\alpha }}B_{{\mu \nu | \alpha }}+fB_{{,\alpha }}B^{{,\alpha }})+S_{m}\,,

a tenzor energie-hybnosti je odvozen z následující rovnice:

a\Box _{\eta }B^{{\mu \nu }}+f\eta ^({\mu \nu }}\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g /\eta }}T^{{\alpha \beta }}(\částečné g_{{\alpha \beta }}/\částečné B_{\mu }\nu )\,.

V Rastallovi (1979) je metrika algebraickou funkcí Minkowského metriky a vektorového pole [13] . V tomto případě akce:

S={1 \přes 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}F(N)K^{{\mu ;\nu }}K_{{\mu ;\nu }}+S_{m},

kde a (ve Willově knize (1986) jsou uvedeny rovnice pole pro a ). $F(N)=-N/(2+N)\;$ $N=g^{{\mu \nu }}K_{\mu }K_{\nu }\;$ $T^{{\mu \nu }}\;$ $K_{\mu }\;$

Podle formálních rysů bimetrické teorie zahrnují teorii gravitačních poruch časoprostoru - GR, linearizovaných na libovolném pozadí časoprostoru, a také Logunovův RTG se spolupracovníky.

Kvazilineární teorie

Ve Whiteheadově (1922) teorii je fyzikální metrika algebraicky konstruována z Minkowského metrických a materiálových polí, takže neexistují žádná vyrovnávací pole: $G\;$ $\eta\;$

g_{{\mu \nu }}(x^{\alpha })=\eta _({\mu \nu }}-2\int _({\Sigma ^{-}}}{y_{\mu } ^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }d\Sigma _{\ alfa }]^{-},

kde horní index (-) označuje veličiny vypočtené podél světelného kužele minulého bodu s ohledem na metriku a $x^{\alpha }\;$ $\eta \;,$

(y^{\mu })^{-}=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-}\;,

(y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0\;,

w^{-}=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-}\;,

(u_{\mu })=dx^{\mu }/d\sigma \;,

d\sigma ^{2}=\eta _{{\mu \nu }}dx^{\mu }dx^{\nu }\;.

Teorie Desera a Laurena (1968) a Bolliniho-Giambini-Thiomna (1970) jsou teorie lineárního pevného měřidla. Vezmeme-li jako model kvantovou teorii pole a kombinují Minkowského časoprostor s měřidlo-invariantní akcí spin-2 tenzorového pole (tj. gravitonového pole) , uvedli tito autoři $h_{{\mu \nu }}\;$

g_{{\mu \nu }}=\eta _{{\mu \nu }}+h_{{\mu \nu }}\;.

Jejich akce:

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}[2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_{{\ mu \lambda }}^{{|\lambda }}-2h_{{|\nu }}^({\mu \nu }}h_({\lambda |\mu }}^{{\lambda }}+h_ {{\nu |\mu }}^{\nu }h_{\lambda }^{{\lambda |\mu }}-h^({\mu \nu |\lambda }}h_{{\mu \nu |\lambda }}]+S_{m}\;.

Bianchiho identity odpovídající této částečné invarianci měřidla se však ukázaly jako chybné . Navrhované teorie se snaží dostat z tohoto rozporu postulováním porušení symetrie gravitačního působení zavedením pomocných gravitačních polí interagujících s . $h_{{\mu \nu }}\;$

Skalárně-tenzorové teorie

Viz také Skalárně-tenzorové teorie gravitace a Brans-Dickeho teorie

Tyto teorie obsahují alespoň jeden volný parametr, na rozdíl od obecné teorie relativity, kde žádné volné parametry nejsou ( kosmologický člen nelze v současnosti považovat za volný parametr teorie, protože je určen experimentálně).

Ačkoli 5-rozměrná Kaluza-Kleinova teorie není obvykle považována za skalár-tensor, nicméně po (přibližném) oddělení 4-rozměrné metriky se redukuje na jednu s jediným skalárním a jediným vektorovým polem. Pokud se tedy metrická složka v 5. dimenzi považuje za skalární gravitační pole a nevěnuje se pozornost smíšeným složkám metriky v 5. a dalších dimenzích, které dávají vektorové (podle Kalužovy představy elektromagnetické) pole , pak může být Kaluza-Kleinova teorie považována za předchůdce skalárně-tenzorových teorií gravitace, které zaznamenal Thiry (1948).

Mezi skalární tenzorové teorie patří: teorie Scherera (1941), Thiryho (1948), Jordana (1955), Branse a Dickeho (1961), Bergmana (1968), Nordvedta (1970), Wagonera (1970), Bekensteina (1977) a Barker (1978).

Akce v těchto teoriích je integrálem Lagrangeovy hustoty $S\;$ $L_{\varphi }\;:$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;,

L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^({\mu \nu ))\částečné _{\mu }\varphi \částečné _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi)\;,

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {g}}G_{N}L_{m}\;,

a podle definice

T^{{\mu \nu }}={2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{{\mu \nu }}}\;,

kde je nějaká bezrozměrná funkce, odlišná v různých teoriích, funkce hraje roli GR kosmologické konstanty, je bezrozměrná normalizační konstanta fixující hodnotu gravitační konstanty v současné epoše. Ke skalárnímu poli lze přidat libovolný potenciál. $\omega (\varphi )\;$ $\lambda (\varphi )\;$ $G_{N}\;$ $G\;$

Takový postup byl aplikován bez omezení v teoriích Bergmana (1968) a Wagonera (1970). Speciální případy zahrnují teorie:

Nordvedt (1970) — ( Vynecháme , dále v této části je jeho úvod diskutován dále v části Kosmologická konstanta a kvintesence .) $\lambda=0\;;$ $\lambda$
Bransa-Dicke (1961) - konstanta; $\omega\;$
Bekenshtein (1977) - teorie proměnné hmotnosti - zavádějící parametry a získané z kosmologického řešení, definuje funkci tak, že $r\;$ $q\;,$ $\varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{{-r}}\;$ $F\;,$

\omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\phi )[(1-6q)qf(\phi )- 1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{{-2}}\;;

Barker (1978) - teorie konstantní G -

\omega (\varphi )=(4-3\phi )/(2\varphi -2)\;.

Tato změna umožňuje teoriím skalárních tenzorů v limitě reprodukovat v současné epoše výsledky, které jsou libovolně blízké obecné relativitě. Rozdíly v raném vesmíru však mohou být značné. $\omega (\varphi )\;$ $\omega \rightarrow \infty \;$

Dokud budou předpovědi obecné teorie relativity potvrzeny experimentálně, nelze obecné skalárně-tenzorové teorie (včetně Brans-Dickeovy teorie) zavrhnout, ale protože experimenty stále odpovídají předpovědím obecné relativity s větší a větší přesností, parametry skalární tenzor je teoriím kladen stále více omezení.

Hellingsovy a Nordvedtovy teorie

Teorie Hellingsa a Nordvedta (1973) a Willa a Nordvedta (1972) jsou obě vektorové tenzory. Kromě metrického tenzoru mají časové vektorové pole . Gravitační působení má tvar: $K_{\mu }\;$

S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{{\mu \nu }}-\varepsilon F_{{\mu \nu }}F^{{\mu \nu }}+\tau K_{{\mu ;\nu } }K^{{\mu ;\nu }}]+S_{m}\;,

kde , , a jsou konstanty a $\omega\;$ $\eta\;$ $\varepsilon\;$ $\tau \;$

F_{{\mu \nu }}=K_{{\nu ;\mu }}-K_{{\mu ;\nu }}\;.

Rovnice pole této teorie pro a jsou uvedeny ve Willovi (1986). $T^{{\mu \nu }}\;$ $K_{\mu }\;$

Teorie Willa a Nordwetta (1972) je zvláštním případem předchozí pro

\omega =\eta =\varepsilon =0\;;\qquad \tau =1\;,

zatímco teorie Hellings a Nordvedt (1973)

\tau =0\;;\qquad \varepsilon =1\;;\qquad \eta =-2\omega \;.

Tyto teorie vektorových tenzorů jsou semikonzervativní, to znamená, že mají zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti, ale mohou být přítomny i účinky privilegované vztažné soustavy. Když , tyto teorie se redukují na obecnou relativitu, takže podobně jako teorie skalárních tenzorů ani teorie vektorových tenzorů nemohou být vyvráceny žádným experimentem potvrzujícím obecnou relativitu. $\omega=\eta=\varepsilon=0\;$

Nemetrické teorie

(viz také Einstein-Cartanova teorie a Cartanovo spojení )

Cartanova teorie je zvláště zajímavá jak proto, že je nemetrická, tak i proto, že je velmi stará. Stav Cartanovy teorie je nejasný. Will (1986) tvrdí, že všechny nemetrické teorie jsou v rozporu s Einsteinovým principem ekvivalence (EPE) a měly by být proto vyřazeny. V pozdějším článku Will (2001) toto tvrzení změkčuje vysvětlením experimentálních kritérií pro testování nemetrických teorií k uspokojení EPE. Mizner, Thorne a Wheeler (1973) tvrdí, že Cartanova teorie je jedinou nemetrickou teorií, která projde všemi experimentálními testy, a Turyshev (2007) uvádí, že tato teorie vyhovuje všem současným experimentálním omezením. Následuje stručný přehled Cartanovy teorie navazující na Trautmanovu (1972).

Cartan (1922, 1923) navrhl jednoduché zobecnění Einsteinovy teorie gravitace zavedením prostoročasového modelu s metrickým tenzorem a lineárním spojením spojeným s metrickým, ale ne nutně symetrickým. Antisymetrická část spojení, torzní tenzor, je v této teorii spojena s hustotou vnitřního momentu hybnosti ( spinu ) hmoty. Nezávisle na Cartanovi vyvinuli podobné myšlenky Siama , Kibble a Hale v letech 1958 až 1966.

Zpočátku byla teorie vyvinuta ve formalismu diferenciálních forem , ale zde bude prezentována v tenzorovém jazyce. Hustota Lagrangovy gravitace v této teorii se formálně shoduje s hustotou obecné teorie relativity a je rovna skaláru zakřivení:

L={1 \over 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,

zavedení torze však upravuje spojení, které se již nerovná Christoffelovým symbolům, ale rovná se jejich součtu s tenzorem zkroucení

\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\mu }=\left\{{^({\ \mu \ }}_{{\;\nu \lambda \;}}}\right\}+ K_{{\nu \lambda }}^{\mu }\;,

K_{{\mu \nu \lambda ))=Q_({\mu \nu \lambda ))+Q_({\lambda \nu \mu ))+Q_({\nu \lambda \mu )),\qquad Q_{{\mu \nu \lambda }}={\frac 12}(\Gamma _({\mu \nu \lambda }}-\Gamma _({\mu \lambda \nu }})\;,

kde je antisymetrická část lineárního spojení - kroucení. Předpokládá se, že lineární spojení je metrické , což snižuje počet stupňů volnosti vlastní nemetrickým teoriím. Pohybové rovnice této teorie zahrnují 10 rovnic pro tenzor energie-hybnosti, 24 rovnic pro kanonický spinový tenzor a pohybové rovnice pro hmotná negravitační pole: $Q_{{\mu \nu \lambda }}\;$

R_{{\mu \nu }}-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}R+4{B^{{[\alpha }}}_({\beta \mu }}{B^ {{\beta ]}}}_{{\alpha \nu }}+2B_({\beta \alpha \mu }}{B_{\nu }}^({\beta \alpha }}-B_{{\ mu \beta \alpha }}{B_{\nu }}^{{\beta \alpha }}-

-{\frac 12}g_{{\mu \nu }}(4{{B_{{\alpha }}}^{{\beta }}}_{{[\lambda }}{B^{{\alpha \lambda ))}_{{\beta ]}}+B_({\alpha \beta \gamma }}B^({\alpha \beta \gamma }})=\kappa T_{{\mu \nu }} \;,

{Q^{\lambda }}_{{\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\ lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{{\mu \nu }}\;,

{\frac {\částečné L}{\částečné \phi _{A))}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda }){\frac {\částečné L}{\částečné \nabla _{ \lambda }\phi _{A}}}=0\;,

kde je metrický tenzor energie-hybnosti hmoty, je kanonický spinový tenzor a je stopa tenzoru kroucení (viz Ivanenko , Pronin, Sardanashvili , Gauge Theory of Gravity (1985)). $T_{{\mu \nu }}={\frac \delta {\delta g^{{\mu \nu }}}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;$ $s_{{\mu \nu }}^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{{\mu \nu }}}}\;$ ${B^{\lambda }}_{{\mu \nu }}={Q^{\lambda }}_({\mu \nu }}+{\delta _{\mu }}^{\lambda } Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;$ $Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{{\mu \lambda }}\;$

Zakřivení časoprostoru v tomto případě není Riemannovské, ale na Riemannově časoprostoru je Lagrangián redukován na Lagrangián obecné relativity. Účinky nemetričnosti v této teorii jsou tak malé, že je lze zanedbat i u neutronových hvězd . Zdá se, že jedinou oblastí silné divergence je možná velmi raný vesmír. Atraktivním rysem této teorie (a jejích modifikací) je možnost získání nesingulárních „bounce“ řešení pro Velký třesk (viz Minkevich et al. (1980)).

Některé rovnice nemetrické teorie od Belinfanteho a Zweigarta (1957a, 1957b) již byly diskutovány v části o bimetrických teoriích .

Testování alternativních teorií gravitace

Vývoj teorií a jejich testování se vyvíjely ruku v ruce v průběhu 20. století i později. Většinu šeků lze zařadit do následujících tříd (viz Will (2001)):

Nejjednodušší základy.
Einsteinův princip ekvivalence (EPE).
Parametrizovaný postnewtonovský formalismus (PPN).
Silná gravitační pole.
Gravitační vlny .

Teorie neověřené na základě

Podrobnosti viz Misner, Thorne a Wheeler (1973), Ch. 39 a Will (1986), tabulka 2.1.

Ne všechny teorie gravitace jsou si rovny. Pouze několik z velkého počtu z nich, které existují v literatuře, je dostatečně životaschopných, aby bylo možné je srovnávat s obecnou relativitou.

Na počátku 70. let sestavila skupina vědců z Caltechu , včetně Thorna, Willa a Nee (viz Nee (1972)), seznam teorií gravitace 20. století . U každé teorie položili následující otázky:

(i) je teorie konzistentní?
(ii) je kompletní?
(iii) souhlasí s několika standardními odchylkami se všemi dosud provedenými experimenty?

Pokud teorie nesplňovala tato kritéria, nebylo ve spěchu ji okamžitě zahodit. Pokud byla teorie ve svých základech neúplná, skupina se ji pokusila doplnit malými změnami, obvykle redukující teorii v nepřítomnosti gravitace na speciální teorii relativity. Například pro sedm různých teorií byla hustota hmoty, která generuje gravitaci, vypočítána jako i jako stopa tenzoru . tím, že parametru přiřadíme hodnotu 1, když jsou redukovány na teorii Brans-Dicke (1961) a jsou hodné další úvahy. $\rho ^{*}=T_{{\mu \nu }}u^{\mu }u^{\nu }\;,$ $T\;.$ $\eta\;$

V této části je kritérium „konzistence se všemi dosud provedenými experimenty“ nahrazeno kritériem „konzistence s většinou důsledků newtonovské mechaniky a speciální teorie relativity“. Jemnější body budou diskutovány později.

Sebekonzistence nemetrických teorií zahrnuje požadavek na absenci tachyonů , pólů duchů, pólů vyššího řádu a problémy v chování polí v nekonečnu.

Sebekonzistence metrických teorií je nejlépe ilustrována popisem několika teorií, které tuto vlastnost nemají. Klasickým příkladem je teorie spinu 2 pole (teorie Fiertze a Pauliho (1939)), ve které rovnice pole implikují, že se gravitující tělesa pohybují po přímých liniích, zatímco pohybové rovnice způsobují, že se tělesa odchylují od přímočarých trajektorií. Yilmazova teorie (Yilmaz, 1971, 1973) obsahuje tensorové gravitační pole používané k definování metrického tenzoru; ale tato teorie je matematicky neudržitelná, protože funkční závislost metriky na tenzorovém poli není dobře definována.

Aby byla teorie gravitace úplná, musí být schopna popsat výsledky jakéhokoli myslitelného experimentu. To znamená, že musí zahrnovat elektromagnetismus a všechny ostatní teorie potvrzené experimentem. Například jakákoli teorie, která nedokáže z prvních principů předpovědět pohyb planet nebo chování atomových hodin, je neúplná. Milneova (1948) teorie je neúplná, protože nezahrnuje popisy gravitačního rudého posuvu.

Teorie Whitrowa a Morducha (1960, 1965), Kustaanheima (1966) a Kustaanheima a Nuotia (1967) jsou buď neúplné, nebo nekonzistentní. Zavedení Maxwellových rovnic do teorie bude neúplné, pokud popisují vývoj pole na plochém pozadí časoprostoru, a nekonzistentní, protože tyto teorie předpovídají nulový gravitační červený posuv pro vlnovou teorii světla ( Maxwellovy rovnice ) a nenulový posun pro korpuskulární teorii ( fotony ). Dalším, zjevnějším příkladem je newtonovská gravitace kombinovaná s Maxwellovými rovnicemi: v tomto případě je světlo jako fotony vychylováno gravitačním polem (ačkoli dvakrát slabší než v obecné teorii relativity), ale světelné vlny nikoli.

Jako příklad nesouladu s newtonovskou fyzikou lze uvést teorii Birkhoffa (1943), která poměrně dobře předpovídá relativistické efekty, ale vyžaduje, aby se zvukové vlny v hmotě šířily rychlostí světla, což je zcela v rozporu s experimentem.

Moderním příkladem absence relativistické složky je Milgrom MOND, o kterém bude řeč dále .

Einsteinův princip ekvivalence (EPE)

EPE má tři složky.

První složkou EPE je univerzálnost „ volného pádu “, známá jako princip slabé ekvivalence (WEP). Tato univerzálnost se rovná ekvivalenci (přesněji přísné úměrnosti) gravitační a setrvačné hmoty. Parametr se používá jako míra maximálního povoleného porušení POC. První experimenty byly provedeny Galileem , který objevil univerzálnost volného pádu pro tělesa různých hmotností, a Newtonem , který jej omezil na 10 −3 pro dřevo a železo . Nejslavnější experimenty Eötvöse v letech 1890-1900, které daly moderní limit - $\eta\;$ $\eta\;$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-9}}\;,$ $\eta \leq 5\cdot 10^{{-13}}\;.$

Druhým je lokální Lorentzova invariance (LLI). Při absenci gravitačních účinků musí být rychlost světla konstantní. Porušení tohoto ustanovení se měří parametrem . První speciální experimenty, nyní interpretované jako testy LLI, hledání „ éterového větru “, provedli Michelson a Morley v 80. letech 19. století. a omezena velikostí (viz Michelson-Morleyův experiment ). V současné době $\delta \;.$ $\delta \;$ $5\cdot 10^{{-3}}\;$ $\delta \leq 10^{{-21}}\;.$

Třetí složkou je lokální prostoročasová invariance (LSTI), která zahrnuje prostorovou i časovou invarianci.

Schiffova domněnka uvádí , že jakákoli úplná samokonzistentní teorie gravitace, která zahrnuje princip slabé ekvivalence (WEP), nutně zahrnuje také EPE . Tato domněnka vypadá věrohodně, alespoň u teorií, ve kterých je zákon zachování energie splněn (na druhou stranu k němu existují i exotické protipříklady).

Nejznámějším pracovním nástrojem pro popis odchylek od EPE je tzv. formalismus vyvinutý Lightmanem a Leem v roce 1973. V tomto případě je uvažován vliv gravitačního pole na maximální rychlost částic a na rychlost šíření elektromagnetické interakce. Přesněji se omezuje na zvážení elektromagnetické interakce nabitých bezstrukturních testovacích částic ve statickém sféricky symetrickém gravitačním poli. Navzdory omezením tohoto formalismu má dostatečnou přesnost, aby například odmítl nemetrickou teorii Belinfanteho a Zweigarta (1957) jako nekonzistentní s experimentálními daty. $TH\varepsilon\mu\;$

Teorie gravitace, jak již bylo zmíněno, mohou být metrické a nemetrické. V metrických teoriích jsou trajektorie volně padajících bodových těles geodetiky prostoročasové metriky, takže tyto teorie splňují EPE. Na druhé straně, bez výjimky, všechny známé nemetrické teorie umožňují narušení EPE, ačkoli v některých teoriích (například Einstein-Cartan ) jsou tyto odchylky tak malé, že neumožňují přímé experimentální ověření.

Parametrizovaný post-newtonovský (PPN) formalismus

Viz také Předpovědi obecné relativity , Misner, Thorne, Wheeler (1973) a Will (1986).

Práce na standardním, spíše než ad-hoc, formalismu pro testování alternativních modelů gravitace začal Eddington v roce 1922 a dokončil Will a Nordvedt v roce 1972 (viz Nordtvedt & Will (1972) a Will & Nordtvedt (1972)). Tento formalismus je založen na newtonovské fyzice a popisuje malé odchylky od ní, popsané standardní sadou parametrů PPN. Vzhledem k tomu, že jsou studovány odchylky od newtonovské fyziky, je formalismus použitelný pouze ve slabých oblastech. Speciální efekty silných polí je nutné studovat zvlášť pro každou teorii, která bude předmětem dalšího zvažování.

10 parametrů PPN zahrnuje: $\gamma \;,$ $\beta\;,$ $\eta \;,$ $\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alpha _{3}\;,$ $\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta _{4}\;:$

$\gamma\;$ je míra zakřivení prostoru gravitující hmotou, která se rovná 0 v Newtonově gravitaci a 1 v obecné relativitě.
$\beta\;$ je míra nelinearity při aplikaci gravitačních polí, rovná 1 pro obecnou relativitu.
$\eta\;$ popisuje účinky privilegovaného postavení.
$\alpha _{1}\;,$ $\alpha _{2}\;,$ $\alpha_{3}\;$ měřit velikost a povahu účinků preferovaného referenčního rámce. Všechny teorie, ve kterých alespoň jeden z parametrů není roven 0, se nazývají teorie s privilegovaným referenčním rámcem. $\alpha\;$
$\zeta _{1}\;,$ $\zeta _{2}\;,$ $\zeta _{3}\;,$ $\zeta _{4}\;,$ $\alpha_{3}\;$ popsat odchylky od globálních zákonů zachování. V teoriích gravitace, které obsahují celou sadu zákonů zachování: 4 pro energii-hybnost a 6 pro moment hybnosti, se všechny tyto parametry musí rovnat 0.

Silná pole a gravitační vlny

Parametry PPN jsou měřítkem účinků slabých gravitačních polí. Silná pole jsou pozorována u kompaktních objektů, jako jsou bílí trpaslíci , neutronové hvězdy a černé díry . Experimentální možnosti pro testování teorií gravitace v silných polích zahrnují popis stability a fluktuací bílých trpaslíků a neutronových hvězd, zpomalení pulsarů , vývoj drah blízkých dvojhvězd (a zejména binárních pulsarů ) a horizontu černých děr . .

Obecná teorie relativity předpovídá určité vlastnosti gravitačních vln, zejména jejich příčnou dráhu, dva stavy polarizace , rychlost vlnění rovnou rychlosti světla a sílu záření soustavy astronomických těles. Mnoho alternativních teorií gravitace, dokonce se shodujících s obecnou relativitou z hlediska parametrů PPN, se od ní ve vlastnostech gravitačních vln rozchází. Některé teorie vedou například k závěru, že rychlost gravitačních vln je mnohem větší než rychlost světla. Pokud ano, pak dojde k porušení principu kauzality , případně k ovlivnění zvolené inerciální vztažné soustavy v prázdném prostoru, nicméně je to těžko zjistitelné. Také rozdíly ve vlastnostech gravitačních vln v takových teoriích mohou ovlivnit velikost radiačního odporu (spojeného s emisí gravitačních vln) v blízkých binárních systémech, která již byla naměřena.

Kosmologické kontroly

Většina kosmologických testů gravitačních teorií byla vyvinuta nedávno. Teorie, které mají za cíl eliminovat temnou hmotu, jsou omezeny tvarem rotačních křivek galaxií , vztahem Tully-Fisher , rychlejší rotací trpasličích galaxií a pozorováním gravitační čočky kupami galaxií.

Pro teorie vyvinuté k nahrazení inflační fáze expanze vesmíru je přímým testem velikost nehomogenit ve spektru CMB .

Teorie, které zahrnují nebo nahrazují standardní temnou energii , musí splňovat známé výsledky na závislosti jasnosti supernov na kosmologickém rudém posuvu a stáří vesmíru.

Dalším testem by mohla být pozorovatelná prostorová plochost vesmíru. V obecné relativitě může kombinace baryonové hmoty, temné hmoty a temné energie vytvořit vesmír přesně plochý. Jak je tento výsledek zpřesňován, jsou uvalena omezení na teorie, které nahrazují temnou hmotu a temnou energii.

Výsledky testu

Parametry PPN pro různé teorie

(Podrobnosti viz Will (1986) a Nee (1972). Misner, Thorne, Wheeler (1977) uvádějí tabulku překladů notace Nee a Will.)

Obecná teorie relativity existuje již více než 90 let, ale zatím všechny alternativní teorie padají jedna za druhou pod náporem experimentálních dat. Tuto pozici nejjasněji ilustruje parametrizovaný post-newtonovský formalismus (PPN).

Následující tabulka obsahuje parametry PLO pro mnoho teorií gravitace. Pokud se hodnota v buňce shoduje s názvem sloupce, pak je celý vzorec příliš složitý na to, aby se zde dal reprodukovat.

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	$\alpha _{3}$	$\zeta_{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
Einstein (1916) - OTO	jeden	jeden	0	0	0	0	0	0	0	0
Skalárně-tenzorové teorie
Bergmann (1968), Wagoner (1970)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
NordtVedt (1970), Bekenstein (1977)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
Brans-Dicke (1961)	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	jeden	0	0	0	0	0	0	0	0
Teorie vektorových tenzorů
Hellings Nordtvedt (1973)	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Will Nordtvedt (1972)	jeden	jeden	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Bimetrické teorie
Rosen (1975)	jeden	jeden	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Rastall (1979)	jeden	jeden	0	0	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Lightman Lee (1973)	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Stratifikované teorie
Lee Lightman Ni (1974)	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Ni (1973)	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha_{1}$	$\alpha_2$	0	0	0	0	0
Skalární teorie
Einstein (1912) (ne GR!)	0	0		−4	0	−2	0	−1	0	0†
Whitrow Morduch (1965)	0	−1		−4	0	0	0	−3	0	0†
Rosen (1971)	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	−4	0	−1	0	0
Papetrou (1954a, 1954b)	jeden	jeden		−8	−4	0	0	2	0	0
Ni (1972) (vrstvené)	jeden	jeden		-osm	0	0	0	2	0	0
Yilmaz (1958, 1962)	jeden	jeden		−8	0	−4	0	−2	0	−1†
Page-Tupper (1968)	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gama$	0	$-2-2\gama$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{{4}}$
Nordström (1912)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0†
Nordström (1913), Einstein-Fokker (1914)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni (1972) (plochý)	−1	1− q		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Whitrow Morduch (1960)	−1	1− q		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood (1953), Bergman (1956)	−1	$\textstyle {\frac 12}$		0	0	0	0	−1	0	0†

† Teorie je neúplná a může nabývat dvou významů. Zobrazí se hodnota nejbližší 0. $\zeta _{{4}}$

Všechny experimentální výsledky o pohybu velkých a malých planet a satelitů za rok 2007 jsou v souladu s obecnou relativitou, takže formalismus PPN okamžitě vylučuje všechny skalární teorie uvedené v tabulce.

Úplný seznam parametrů PPN je neznámý pro teorii Whiteheada (1922), Deser-Lorena (1968) a Bolliniho-Giambini-Thiomna (1970), ale pro ně , což je v přímém rozporu s GR a experimentem. Zejména tyto teorie předpovídají špatnou amplitudu zemského přílivu a odlivu. $\beta=\xi$

Teorie, které neuspějí v jiných testech

Všechny známé nemetrické teorie, jako například Belinfante a Zweigart (1957a, 1957b), s výjimkou Einstein-Cartanovy teorie , odporují experimentálním omezením platnosti Einsteinova principu ekvivalence.

Stratifikované teorie Nee (1973), Lee, Lightman a Nee (1974) a další nepředpovídají posun perihelia Merkuru.

Bimetrické teorie Lightmana a Leeho (1973), Rosena (1975) a Rastalla (1979) neprojdou zkouškou v silných gravitačních polích.

Skalární tenzorové teorie zahrnují obecnou relativitu jako speciální limitující případ, ale jsou v souladu s jejími parametry PST pouze tehdy, když se shodují s obecnou relativitou. Jak se experimentální kontroly zpřesňují, odchylky teorií skalárních tenzorů od obecné teorie relativity mizí.

Totéž platí pro teorie vektorových tenzorů. Navíc teorie vektorových tenzorů jsou polokonzervativní; mají nenulovou hodnotu , což by mohlo způsobit měřitelné účinky při zemských přílivech a odlivech. $\alpha_2$

Tyto úvahy neponechávají žádné teorie jako věrohodné alternativy k obecné teorii relativity (snad kromě Cartanovy (1922) teorie, která může porušovat EPP).

To byla situace v době, kdy objevy v kosmologii vyvolaly vývoj moderních alternativ.

Moderní teorie: z 80. let 20. století. k dnešnímu dni

Tato část popisuje alternativy k obecné teorii relativity vyvinuté po zveřejnění pozorování diferenciální rotace galaxií, což vedlo k hypotéze " temné hmoty ".

Detailní srovnání těchto teorií se souhrnem všech experimentálních dat nebylo provedeno.

Mezi popsané teorie patří Bekensteinovy (2004) a 3 Moffatovy teorie : (1995), (2002) a (2005a, b). Zahrnují kosmologickou konstantu nebo další skalární nebo vektorový potenciál, který plní stejnou funkci.

Důvody pro vznik nových teorií

Motivem pro vývoj hlavního počtu nových alternativ obecné teorie relativity jsou astronomická pozorování posledních let, která vedla k potřebě zavést do astrofyziky a kosmologie pojmy jako „inflace“, „temná hmota“ a „temná energie“. na základě obecné teorie relativity. Nové teorie se snaží popsat stejná experimentální data bez použití takových konceptů, které se tvůrcům těchto teorií zdají být chybné nebo umělé. Hlavní myšlenkou je, že gravitace by měla být v souladu s obecnou relativitou alespoň v rámci sluneční soustavy v současné epoše, ale může se výrazně lišit v galaktických měřítcích i mimo ně, stejně jako v raném vesmíru.

Mezi fyziky se postupně rozšířila představa, že klasický scénář velkého třesku naráží na potíže, z nichž dva nejzávažnější byly problém horizontu a pozorování, že ve velmi raném vesmíru, v době, kdy se měly tvořit kvarky , prostě neexistoval t dostatek prostoru, aby vesmír obsahoval alespoň jeden kvark. K překonání těchto potíží byl vyvinut inflační model . Jeho alternativou byla řada teorií, ve kterých byla rychlost světla v raném vesmíru vyšší než nyní.

Objev specifického chování rotačních křivek galaxií byl pro vědeckou komunitu překvapením. Vznikly dvě alternativy: buď je ve Vesmíru mnohem více nesvítící hmoty, než se dosud myslelo, nebo je samotná teorie gravitace ve velkém měřítku nesprávná. V současnosti převládá názor první s tzv. „studenou temnou hmotou“, ale cesta k poznání její reality vedla přes různé pokusy vyvinout teorii gravitace, která kromě pozorovatelných nevyžaduje i neviditelné hmoty, a ty teorie mají stále své příznivce mezi fyziky a astronomy.

Objev zrychlené expanze vesmíru Perlmutterovou skupinou vedl k rychlému oživení myšlenky kosmologické konstanty, stejně jako kvintesence jako alternativy k ní. Byla vyvinuta alespoň jedna nová teorie gravitace, která vysvětluje Perlmutterovy výsledky ze zcela odlišné perspektivy.

Dalším nedávným experimentálním výsledkem, který vyvolává zájem o teorie mimo GR, je anomálie Pioneer . Velmi rychle se zjistilo, že alternativní teorie gravitace mohou vysvětlit kvalitativní rysy pozorovaného účinku, ale ne jeho velikost. Jakýkoli známý model, který přesně reprodukuje anomálii, se silně odchyluje od obecné relativity a v důsledku toho je v rozporu s jinými experimentálními výsledky [14] . Navíc existují předběžné údaje naznačující, že efekt může být způsoben nerovnoměrným tepelným vyzařováním různých konstrukčních prvků těchto zařízení [15] .

Kosmologická konstanta a kvintesence

(viz také Kosmologická konstanta , Einstein-Hilbertova akce , Kvintesence (kosmologie) )

Kosmologická konstanta v Einsteinových rovnicích je velmi stará myšlenka sahající až k samotnému Einsteinovi (1917). Úspěch Friedmannova modelu Vesmíru , ve kterém [16] , vedl k převládnutí názoru, že se rovná nule, ale Perlmutterovy výsledky o zrychlení rozpínání Vesmíru daly nový dech. $\lambda\;$ $\lambda=0\;$ $\Lambda \neq 0\;$

Uvažujme nejprve, jak kosmologická konstanta ovlivňuje rovnice newtonovské gravitace a obecné teorie relativity, a poté nastíníme možnosti jejího zařazení do dalších teorií gravitace.

V Newtonově teorii sčítání mění Newton-Poissonovu rovnici z $\lambda\;$

\nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \;

před

\nabla ^{2}\phi -\Lambda \phi =4\pi \rho \;.

V obecné relativitě, zavedení kosmologického termínu mění Einstein-Hilbert akci od

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;

před

S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}d^{4}x+S_{m}\;,

s odpovídající změnou v rovnicích pole od

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2)\;

před

T^{{\mu \nu }}={1 \over 8\pi G}(R^{{\mu \nu }}-g^({\mu \nu }}R/2+\Lambda g^ {{\mu \nu )))\;.

V alternativních metrických teoriích gravitace lze tuto konstantu zavést zcela podobným způsobem.

Kosmologická konstanta není jediným způsobem, jak získat zrychlení rozpínání vesmíru v obecné teorii relativity a alternativních teoriích gravitace. Jeho roli může úspěšně hrát skalární potenciál ve skalárně-tenzorových teoriích. Obecně platí, že pokud teorie obsahuje skalární gravitační pole , pak přidání termínu ke gravitační části akce může pro různé typy této funkce reprodukovat jakoukoli předem určenou historii kosmologické expanze. Úvahy o jednoduchosti a přirozenosti vedou k takovým závislostem , že zrychlení expanze je v raném vesmíru velké a do současné epochy klesá. Toto pole se nazývá kvintesence. $\lambda (\varphi )\;$ $\varphi \;,$ $\lambda (\varphi )\;$ $\lambda (\varphi )\;$ $\varphi\;$

Podobná technika funguje i v případě vektorových gravitačních polí, která se objevují v teorii Rastalla (1979) a vektorových tenzorových teoriích. Přidání členu ke gravitačnímu působení vede k napodobení kosmologické konstanty. $K^{\mu }K^{\nu }g_{{\mu \nu }}\;$

Relativistická MOND (Modified Newtonian Dynamics)

(Více podrobností viz Modifikovaná Newtonova dynamika , Skalární vektorová tenzorová teorie gravitace a Bekenstein (2004).

Původní teorie MOND byla vyvinuta Milgromem v roce 1983 jako alternativa k „temné hmotě“. Odchylky od newtonovské povahy gravitace ( ) jsou pozorovány při určitém zrychlení, nikoli při určité vzdálenosti. MOND úspěšně vysvětluje vztahy Tully-Fisher: svítivost galaxie se mění úměrně čtvrté mocnině její rychlosti rotace. Tato teorie také ukazuje, proč jsou odchylky od očekávaného rotačního vzoru největší u trpasličích galaxií. ${\displaystyle F\sim r^{-2))$

Původní teorie měla několik nedostatků:

i. Nezahrnoval relativistické efekty. ii. Porušilo zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti. iii. Bylo to protichůdné, protože předpovídalo různé galaktické dráhy plynu a hvězd. iv. Znemožnilo to vypočítat gravitační čočku galaktických kup.

V roce 1984 problémy ii. a iii. byly vyřešeny nalezením lagrangeovské formy této teorie (anglicky AQUAL). Relativistická verze získaného Lagrangianu, odpovídající teorii skalárního tenzoru, byla zamítnuta, protože poskytovala vlny skalárního pole šířící se rychleji než rychlost světla. Nerelativistický Lagrangian má následující formu:

L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {|\nabla \varphi |^{2} \over a_{0}^{2}}\right\rbrack -\rho\varphi\;.

Jeho relativistická verze

L=-{a_{0}^{2} \přes 8\pi G}{\tilde f}(L^{2}g^({\mu \nu }}\částečné _{\mu }\phi \ částečné _{\nu }\phi )\;

má nestandardní hromadný termín. Zde jsou libovolné funkce omezeny pouze požadavky správného chování teorie v Newtonově a MOND limitě. $F\;$ $\tilde f$

V roce 1988 byla navržena verze teorie s přídavným skalárním polem (angl. PCC), řešící problémy předchozí verze, ale její předpovědi se ukázaly být v rozporu s údaji o posunu perihélia Merkuru a gravitačním čočkování galaxií a jejich kupami.

V roce 1997 byla MOND úspěšně začleněna do Sandersovy relativistické stratifikované teorie, ale tato teorie, jako každá stratifikovaná teorie, má značné problémy s účinky vybraných referenčních rámců.

Bekenstein (2004) vytvořil tenzor-vektor-skalární model (TeVeS). Má dvě skalární pole a také vektorové pole Akce se dělí na gravitační, skalární, vektorovou a hmotnou část. $\varphi\;$ $\sigma \;,$ $U_{\alpha }\;.$

S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}\;.

Gravitační část je stejná jako v obecné relativitě,

S_{s}=-\textstyle {\frac {1}{2}}\int [\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{ ,\beta }+\textstyle {\frac {1}{2}}Gl^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})]{\sqrt {-g}}d^ {4}x\;,

S_{v}=-{K \přes 32\pi G}\int [g^{{\alpha \beta }}g^{{\mu \nu }}U_{{[\alpha ,\mu ]}} U_{{[\beta ,\nu ]}}-2(\lambda /K)(g^{\mu }\nu U_{\mu }U_{n}u+1)]{\sqrt {-g} }d^{4}x\;,

S_{m}=\int L({\tilde g}_{{\mu \nu )),f^{\alpha },f_{{|\mu ))^{\alpha },\cdots ){\ sqrt {-g}}d^{4}x\;,

kde podle definice , , je charakteristická délka a jsou konstanty, hranaté závorky kolem indexů označují antisymetrizaci, je Lagrangiánův faktor , a je Lagrangián převeden z plochého časoprostoru na libovolně zakřivený s metrikou . $h^{{\alpha \beta }}=g^{{\alpha \beta }}-U^{\alpha }U^{\beta }\;$ $l\;$ $k\;$ $K\;$ $U_{{[\alpha ,\mu ]}}\;$ $\lambda\;$ ${\tilde g}^{{\alpha \beta }}=e^{{2\phi }}g^{{\alpha \beta }}+2U^{\alpha }U^{\beta }\operatorname { sh}(2\varphi)\;$ $L\;$ ${\tilde g}^{{\alpha \beta }}\;$

$F\;$ je opět libovolná funkce a byla uvedena jako příklad funkce, která dává správné asymptotické chování; všimněte si, že pro tuto funkci není definováno. $F(\mu )=\textstyle {\frac 34}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }\;$ $\mu=1\;$

Údaje o statistice slabé gravitační čočky, publikované v roce 2010, jsou v rozporu s původním Bekensteinovým modelem a mají také potíže s vysvětlením účinků při srážkách galaxií [17] .

Moffatovy teorie gravitace

V roce 1995 Moffat vyvinul nemetrickou asymetrickou teorii gravitace (NTG). Argumentovalo se, že postrádá horizonty černých děr, ale Burko a Ori (1995) ukázali, že tomu tak není a černé díry mohou v takové teorii gravitace existovat.

Moffat později tvrdil, že jeho teorie vysvětlila rotační křivky galaxií bez zapojení „temné hmoty“. Damour, Dezer a McCarthy (1993) kritizovali NTG za nepřijatelné asymptotické chování.

Matematická formulace teorie není obtížná, ale složitá, takže to, co následuje, je pouze stručný nástin. Teorie zavádí asymetrický tenzor a Lagrangeova hustota se dělí na dvě části: gravitační a hmotnou $g_{{\mu \nu }}\;$

L=L_{R}+L_{M}\;,

navíc Lagrangian hmoty má stejný tvar jako v obecné relativitě a $L_{M}\;$

L_{R}={\sqrt {-g}}[R(W)-2\lambda -\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}g^({\mu \nu }}g_{{[ \mu \nu ]}}]-\textstyle {\frac 16}g^({\mu \nu }}W_{\mu }W_{\nu }\;,

kde je člen zakřivení podobný, ale ne identický se skalárním zakřivením GR a jsou kosmologické konstanty, je antisymetrická část a je spojení získané specifickým rekurzivním způsobem. Jako první přiblížení $R(W)\;$ $\lambda\;$ $\mu ^{2}\;$ $g_{{[\nu \mu ]}}\;$ $g_{{\nu \mu }}\;,$ $W_{\mu }\;$ $W_{\mu }\cca -2g_{{[\mu \nu ]}}^{{,\nu }}\;.$

Moffatova teorie (2002) je prohlašována jejím autorem za skalárně-tensorovou bimetrickou teorii gravitace a jednu z mnoha teorií, ve kterých byla rychlost světla v raném vesmíru vyšší. Tyto teorie jsou přiváděny k životu zejména touhou vyhnout se „horizontálnímu problému“ bez vyvolání inflace. Gravitační konstanta v této teorii je proměnná, navíc se snaží vysvětlit nedostatek jasnosti supernov termíny, které nezahrnují zrychlení rozpínání vesmíru, čímž riskuje předpovědi příliš krátké doby pro existenci vesmíru. . $G\;$

V obecném smyslu tato teorie vypadá nepřesvědčivě. Působení je rozděleno na gravitační, skalární a hmotnou část. Rovnice gravitačního a skalárního pole se shodují se standardními rovnicemi Brans-Dickeho teorie s kosmologickou konstantou a skalárním potenciálem, ale zahrnují Minkowského metriku. Pouze výraz materiál používá neplochou metriku, což je

g_{{\mu \nu }}=\eta _{{\mu \nu }}+B\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi \;,

kde má rozměr čtverce délky. Tato teorie alespoň neprojde testem na Lorentzovu invarianci a vychýlení světla v gravitačním poli. $B\;$

Antisymetrická tenzorová metrická teorie ( Moffat (2005a)) předpovídá rotační křivky galaxií bez použití pojmů „temná hmota“ nebo MOND a údajně je také schopna úspěšně vysvětlit gravitační čočky v kupách galaxií. Má proměnnou , která se zvyšuje na svou konečnou současnou hodnotu asi milion let po velkém třesku. $G\;$

Tato teorie obsahuje antisymetrická tenzorová a vektorová pole. Akce zahrnuje 4 pojmy: gravitační, pole, interakce a materiál $A_{{\mu \nu }}\;$ $J_{\mu }\;$

S=S_{G}+S_{F}+S_{{FM}}+S_{M}\;.

Podmínky gravitace a hmoty se shodují s podmínkami obecné relativity s kosmologickou konstantou. Působení pole a interakční člen antisymetrického pole s hmotou mají tvar:

S_{F}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}(\textstyle {\frac 1{12}}F_({\mu \nu \rho }}F^{{\mu \ nu \rho }}-\textstyle {\frac 14}\mu ^{2}A_({\mu \nu }}A^({\mu \nu }})\;,

S_{{FM}}=\int d^{4}x\epsilon ^({\alpha \beta \mu \nu }}A_{{\alpha \beta }}\částečné _{\mu }J_{\nu }\;,

kde

F_{{\mu \nu \rho }}=\částečné _{\mu }A_{{\nu \rho }}+\částečné _{\rho }A_{{\mu \nu }}\;,

a je symbolem Levi-Civita . Interakce má Pauliho formu a je měřidlo invariantní pro jakýkoli zdrojový proud, který zase vypadá jako hmotné fermionové pole , spojené s baryonovým a leptonovým číslem . $\epsilon ^{{\alpha \beta \mu \nu }}\;$

Moffatova (2005b) skalární-tensor-vektorová teorie gravitace obsahuje tenzorová, vektorová a tři skalární pole , , , ale její rovnice pole jsou poměrně jednoduché. Působení se dělí na gravitační, vektorovou, skalární a hmotnou část: $K_{\mu }$ $G\;$ $\omega\;$ $\mu\;$

S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}\;.

$S_{G}\;$ má standardní tvar, s výjimkou zavedení násobiče pod integrál $G\;.$

S_{K}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g))\omega (\textstyle {\frac 14}B_({\mu \nu ))B^{{\mu \nu } }+V(K))\;,

kde $B_{{\mu \nu }}=\částečné _{\mu }K_{\nu }-\částečné _{\nu }K_{\mu }\;,$

S_{S}=-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}({1 \over G^{3}}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\ nabla _{\mu }G\nabla _{\nu }GV(G))+

{\quad ^{{}}}+{1 \over G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\omega \nabla _{\nu }\omega -V(\omega))+

{\quad ^{{}}}+{1 \over \mu ^{2}G}({\frac 12}g^{{\mu \nu }}\nabla _{\mu }\mu \nabla _ {\nu }\mu -V(\mu )))\;.

Potenciál pro vektorové pole se volí v následující formě:

V(K)=-\textstyle {\frac 12}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\phi _{\mu }-\textstyle {\frac 14}g(\varphi ^{\mu } \varphi _{\mu })^{2}\;,

kde je vazebná konstanta. Potenciální funkce skalárních polí nebyly specifikovány. $G\;$

Poznámky

↑ Bronshten V. A. Jak se Měsíc pohybuje? - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1990. - 208 s. - 117 000 výtisků. — ISBN 5-02-014071-6 .
↑ Bogorodsky A.F. Kapitola 2 // Univerzální gravitace. - Kyjev: Naukova Dumka, 1971. - 128 s. - 6600 výtisků.
↑ Obchodník G.-Yu. Kapitola I // Relativita setrvačnosti = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitat der Tragheit. Berlín, 1972 / Per. s ním. K. A. Bronniková. Za redakce prof. K. P. Stanyukoviče. - M. : Atomizdat, 1975. - 128 s. - 6600 výtisků.
↑ Gerber, P. Die räumliche und zeitliche Ausbreitung der Gravitation (německy) // Zeitschrift für mathematische Physik. - 1898. - T. 43 . - S. 93-104 .
↑ Zenneck, J. Gravitace (německy) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - T. 5 . - S. 25-67 . (nedostupný odkaz)
↑ Rosever N. T. Perihelion Merkuru. Od Le Verriera k Einsteinovi = Roseveare NT Merkurovo perigelium od Le Verriera k Einsteinovi / Per. z angličtiny. A. S. Rastorguev, ed. V. K. Abalakina. — M .: Mir, 1985. — 246 s. — 10 000 výtisků.
↑ Lorentz, H.A. Úvahy o gravitaci (neopr.) // Proc. Akad. Amsterdam. - 1900. - T. 2 . - S. 559-574 .
↑ Pais, Abraham. (1989) Vědecká činnost a život Alberta Einsteina. Za. z angličtiny. V. I. a O. I. Matsarskikh; Ed. A. A. Logunová. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] s., [4] s. ill., 22 cm - ISBN 5-02-014028-7 . Ruský překlad knihy Pais, Abraham. „Jemný je Pán…“: VĚDA A ŽIVOT Alberta EINSTEINA. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.
↑ 1 2 Vizgin V.P. Kapitola I, oddíl 2. // Relativistická teorie gravitace (počátky a vznik. 1900-1915). — M .: Nauka, 1981. — 352 s. - 2000 výtisků.
↑ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimenzionální pohyb v gravitaci, 1905–1910 , v Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer) . — T. 3: 193–252
↑ Existuje také pozdější anglické vydání Willa (1993).
↑ Výše uvedená formulace principu plně neodpovídá původním Máchovým výrokům, blíže viz článek Máchův princip .
↑ Will (1986) uvádí tuto teorii jako bimetrickou, i když ji lze také klasifikovat jako vektorovou.
↑ L. Iorio a J. Giudice, Co nám říkají oběžné pohyby vnějších planet Sluneční soustavy o anomálii Pioneer? Nová astronomie 11 (2006) 600
↑ Byl nalezen důvod abnormálního zrychlení Pioneerů . Datum přístupu: 31. ledna 2012. Archivováno z originálu 20. listopadu 2011. (neurčitý)
↑ Friedmanovy dva klíčové kosmologické články zvažují obecná řešení odpovídající . $\Lambda \neq 0\;$
↑ Einstein prošel kosmickým testem: Nature News . Získáno 10. února 2011. Archivováno z originálu 21. dubna 2011. (neurčitý)

Literatura

Gilbert D. (1915) ZÁKLADY FYZIKY (První zpráva) // Albert Einstein a teorie gravitace / Per. s němčinou, angličtinou, francouzštinou - M.: Mir, 1979. - S. 133-145.
Ruský překlad
Hilberta D. Die Grundlagen der Physik // Nachrichten K. Gesellschaft Wiss. Göttingen, Math.-fyz. Klasse, 1915, Heft 3, S. 395.
Vizgin V. P. Relativistická teorie gravitace (původy a vznik, 1900-1915). — M.: Nauka, 1981. — 352 s.
Vizgin V.P. Jednotné teorie v 1. třetině 20. století. — M.: Nauka, 1985. — 304 s.
Pais A. Vědecká činnost a život Alberta Einsteina / Per. z angličtiny. V. I. a O. I. Matsarskikh; Ed. A. A. Logunová. - M.: Nauka, 1989. - 566, [1] str. — ISBN 5-02-014028-7 .
Ruský překlad knihy
Pais, Abraham. „Jemný je Pán…“: VĚDA A ŽIVOT Alberta EINSTEINA. — OXFORD UNIVERSITY PRESS, 1982.
Will K. Teorie a experiment v gravitační fyzice / Per. z angličtiny. — M.: Energoatomizdat , 1985. — 296 s.
Ruský překlad knihy
Will, Clifford M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge Univ. Press, 1981.
Existuje pozdější anglické vydání, viz Will (1993).
Barker, BM (1978) Obecná skalární tenzorová teorie gravitace s konstantním G, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ…219…5B (nedostupný odkaz)
Bekenstein, JD (1977) Jsou klidové hmotnosti částic proměnlivé? Physical Review D 15, 1458-1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1 (odkaz není k dispozici)
Bekenstein, JD (2004) Revidovaná teorie gravitace pro modifikované newtonovské dynamické paradigma. Phys. Rev. D70, 083509
Belinfante, FJ a Swihart, JC (1957a) Fenomenologická lineární teorie gravitace Část I, Ann. Phys. 1,168
Belinfante, FJ a Swihart, JC (1957b) Fenomenologická lineární teorie gravitace Část II, Ann. Phys. 2, 196
Bergman, O. (1956) Skalární teorie pole jako teorie gravitace, Amer. J Phys. 24, 39
Bergmann, PG (1968) Komentáře k teorii skalárních tenzorů, Int. J. Theor. Phys. 1, 25-36
Birkhoff, GD (1943) Hmota, elektřina a gravitace v plochém časoprostoru. Proč. Nat Acad. sci. US 29, 231-239
Bollini, CG, Giambiaga, JJ, and Tiomno, J. (1970) Lineární teorie gravitace, Nuovo Com. Lett. 3, 65-70
Brans, C. a Dicke, RH (1961) Machův princip a relativistická teorie gravitace. Phys. Rev. 124, 925-935
Burko, Lior M. & Ori, Amos (1995) Poznámky ke vzniku černých děr v nesymetrické gravitaci. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9507009
Cartan, E. (1922) Sur une generalisation de la pojem de courbure de Riemann st les espaces a torze. Akad. sci. Paříž, Comptes Rend. 174, 593-595
Cartan, E. (1923) Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee. Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure Ser. 3, 40, 325-412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf
Damour, T., Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) Nesymetrická gravitace má nepřijatelnou asymptotiku, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf (nedostupný odkaz)
Deser, S. a Laurent, B. E. (1968) Gravitace bez vlastní interakce, Annals of Physics 50, 76-101
Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355-369
Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 443
Einstein, A. a Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
Einstein, A. a Fokker, AD (1914) Die Nordstromsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalkuls. Annalen der Physik 44, 321-328
Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
Einstein, A. (1917) Uber die Spezielle und die Allgemeinen Relativatatstheorie, Gemeinverstandlich, Vieweg, Braunschweig
Fierz, M. a Pauli, W. (1939) O relativistických vlnových rovnicích pro částice s libovolným spinem v elektromagnetickém poli. Proč. Royal Soc. Londýn 173, 211-232
Hellings, WH a Nordtveldt Jr, K. (1973) Vektor-metrická teorie gravitace, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
Ivanenko, D. a Sardanashvily G. (1983) Gauge treatment of gravitace, Physics Reports 94, 1-45
Jordan, P. (1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
Kustaanheimo, P. (1966) Závislost na trase gravitačního rudého posuvu. Phys. Lett. 23, 75-77
Kustaanheimo, P. E. a Nuotio, V. S. (1967) Publ. Astron. obs. Helsinky č. 128
Lang, R. (2002) Experimentální základy obecné relativity, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt Archivováno 1. března 2008 na Wayback Machine
Lee, DL, Lightman, AP a Ni, WT (1974) Zákony zachování a variační principy v metrických teoriích gravitace, Physical Review D 10, 1685-1700, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v10/ i6/p1695_1 (nedostupný odkaz)
Lightman, AP a Lee, DL (1973), Nová dvoumetrická teorie gravitace s předchozí geometrií, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
Littlewood, D. E. (1953) Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 49, 90-96
Milne E.A. (1948) Kinematická relativita, Clarendon Press, Oxford
Misner, CW, Thorne, KS a Wheeler, JA (1973) Gravitation, W. H. Freeman & Co.
Moffat, JW (1995) Nesymetrická gravitační teorie, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf (odkaz není k dispozici)
Moffat, JW (2002) Bimetrická gravitační teorie, proměnná rychlost světla a stmívání supernov, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf (mrtvý odkaz)
Moffat, JW (2005a) Gravitační teorie, křivky rotace galaxií a kosmologie bez temné hmoty, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf (odkaz není k dispozici)
Moffat, JW (2005b) Scalar-tensor-vector gravity theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf (nedostupný odkaz)
Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
Ni, W.T. (1972) Teoretické rámce pro testování relativistické gravitace IV, The Astrophysical Journal 176, 769-796
Ni, W.T. (1973) Nová teorie gravitace, Physical Review D 7, 2880-2883
Nordtvedt Jr, K. (1970) Post-newtonovská metrika pro obecnou třídu skalárních tenzorových gravitačních teorií s pozorovacími důsledky, The Astrophysical Journal 161, 1059
Nordtvedt Jr, K. a Will CM (1972) Zákony zachování a preferované rámce v relativistické gravitaci II, The Astrophysical Journal 177, 775
Nordstrom, G. (1912), Relatiovitatsprinzip und Gravitation. Phys. Zeitschr. 13, 1126
Nordstrom, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitatsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
Pais, A. (1982) Subtle is the Lord, Clarendon Press
Page, C. a Tupper, BOJ (1968) Skalární gravitační teorie s proměnnou rychlostí světla, Mon. Ne. R. Astr. soc. 138, 67-72
Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
Papapetrou, A. (1954b) Math. Nach., 12, 129 & Math. Nach., 12, 143
Poincare, H. (1908) Science and Method
Rastall, P. (1979) Newtonovská teorie gravitace a její zobecnění, Canadian Journal of Physics 57, 944-973
Rosen, N. (1971) Teorie gravitace, Physical Review D 3, 2317
Rosen, N. (1973) Bimetrická teorie gravitace, Obecná teorie relativity a gravitace 4, 435-447.
Rosen, N. (1975) Bimetrická teorie gravitace II, Obecná relativita a gravitace 6, 259-268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf (odkaz není k dispozici)
Scherrer, W. (1941) Zur Theorie der Elementarteilchen. Verhandlungen der Schweizer Naturforschenden Gesellschaft 121, 86-87.
Thiry, Y. (1948) Les rovnice unitaire de la theorie de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (Paříž) 226, 216
Trautman, A. (1972) O Einstein-Cartanových rovnicích I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
Turyshev, SG (2007) Tests of Relativistic Gravity in 21st Century: History, Recent Progress and Future Directions, http://www.zarm.uni-bremen.de/Q2C2/presentations/turyshev.pdf Archivováno 1. března 2008 na Wayback Stroj
Wagoner, RV (1970) Skalární tenzorová teorie a gravitační vlny, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
Whitehead, A. N. (1922) Principy relativity, Cambridge Univ. lis
Whitrow, GJ a Morduch, G.E. (1960) Obecná teorie relativity a Lorentzovy invariantní teorie gravitace, Nature 188, 790-794
Whitrow, GJ a Morduch, G. E. (1965) Relativistické teorie gravitace, Vistas in Astronomy 6, 1-67
Will, CM (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge Univ. lis
Will, CM (2001) The Confrontation between General Relativity and Experiment, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will
Will, CM a Nordtvedt Jr, K. (1972) Zákony zachování a preferované rámce v relativistické gravitaci I, The Astrophysical Journal 177, 757
Yilmaz, H. (1958) Nový přístup k obecné relativitě, Phys. Rev. 111, 1417
Yilmaz, H. (1973) Nový přístup k relativitě a gravitaci, Annals of Physics 81, 179-200

Odkazy

Will, Clifford M. (2006-03-27). „Konfrontace mezi obecnou relativitou a experimentem“ . Živé recenze v relativitě . 9 (1): 3.arXiv : gr-qc/0510072 . Bibcode : 2006LRR.....9....3W . DOI : 10.12942/lrr-2006-3 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256066 . PMID28179873 . _