Thor (povrch)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Torus (toroid) je rotační plocha získaná rotací tvořící kružnice kolem osy, která leží v rovině této kružnice a neprotíná ji [1] .

Obecněji, torus je topologický prostor nebo hladká manifold ekvivalentní takovému povrchu.

Někdy nevyžadují, aby osa rotace neprotínala tvořící kružnici. V tomto případě, pokud osa rotace protíná generující kružnici (nebo se jí dotýká), pak se torus nazývá uzavřený , jinak otevřený [2] .

V multidimenzionálním případě je také definován pojem torus. Torus je příklad komutativní algebraické grupy a příklad Lieovy grupy .

Historie

Toroidním povrchem se poprvé zabýval starověký řecký matematik Archytas při řešení problému zdvojení krychle . Další starověký řecký matematik Perseus napsal knihu o spirálových čarách - řezech torusu rovinou rovnoběžnou s jeho osou.

Osa torusu

Osa rotace může protínat kruh, dotýkat se ho a být umístěna mimo kruh. V prvních dvou případech se torus nazývá uzavřený, v posledním - otevřený nebo prstenec [2] .

Změna vzdálenosti k ose otáčení

Kruh sestávající ze středů tvořících se kružnic se nazývá vodicí kružnice.

Topologické vlastnosti

Torus je povrch rodu 1 (koule s jednou rukojetí). Torus je kompaktní topologický prostor.

Torus má Euler-Poincare charakteristiku χ=0.

Rovnice

Parametrické

Torusová rovnice se vzdáleností od středu tvořící přímky k ose rotace R a s poloměrem tvořící přímky r může být dána parametricky jako:

\left\{{\begin{matrix}x(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\cos \varphi \\y(\varphi ,\psi )=&(R +r\cos \psi )\sin \varphi \\z(\varphi ,\psi )=&r\sin \psi \\\end{matrix}}\right.\qquad \varphi \in [0,2\pi ),\psi \in [-\pi ,\pi )

Algebraické

Neparametrická rovnice ve stejných souřadnicích a se stejnými poloměry má čtvrtý stupeň:

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}\left(x^ {2}+y^{2}\right)=0

Takový povrch má čtvrtý řád.

Existují další povrchy, které jsou difeomorfní k torusu a mají jiné pořadí.

y^{2}=x^{3}+x+1

, kde x, y jsou komplexní čísla. Složitá eliptická křivka , krychlový povrch.

\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=1\\z^{2}+t^{2}=1\\\end{matrix}}\ že jo.

Vložení torusu do 4-rozměrného prostoru. Toto je povrch 2. řádu. Zakřivení tohoto povrchu je 0.

Zakřivení povrchu

Torus v trojrozměrném prostoru má body pozitivního a negativního zakřivení . V souladu s Gauss-Bonnetovou větou je integrál křivosti po celém povrchu torusu roven nule.

Struktura skupiny

Vlastnosti

Povrchová plocha torusu jako důsledek prvního Guldenova teorému : . $S=4\pi ^{2}Rr$
Objem tělesa ohraničeného torusem ( pevný torus ), jako důsledek druhé Papp-Guldenovy věty : . $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$
Torus s vyříznutým diskem ("propíchnutý") lze spojitě obracet naruby ( topologicky , tedy řadou difeomorfismů ). V tomto případě dvě kružnice, které se na ní kolmo protínají („rovnoběžka“ a „poledník“), změní místo. [3]
Dva takové „děravé“ tori spojené dohromady lze deformovat tak, že jeden z tori „spolkne“ druhého. [čtyři]
Minimální počet barev potřebný k obarvení částí torusu tak, aby sousední oblasti měly různé barvy, je 7. Viz také Problém čtyř barev .

Sekce

Když je torus řezán tečnou rovinou , výsledná křivka čtvrtého řádu se ukáže jako degenerovaná: průsečík je spojením dvou kruhů nazývaných Villarceauovy kruhy .
- Konkrétně může být otevřený torus reprezentován jako rotační plocha kruhu spojené s osou rotace
Jedním z úseků otevřeného torusu je Bernoulliho lemniscate , další zakřivené čáry jsou grafické čáry a nazývají se Perseovy křivky [5] (spirály, řezy torusu rovinou rovnoběžnou s jeho osou)
Některé průsečíky povrchu torusu s rovinou vypadají jako elipsa (křivka 2. řádu). Takto získaná křivka je vyjádřena algebraickou rovnicí 4. řádu [6] .

Zobecnění

Vícerozměrný torus

Zobecněním 2-rozměrného torusu je vícerozměrný torus (také n - torus nebo hypertorus ):

{\mathbf {T}}^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}}_{n}.

Povrch revoluce

Anuloid je speciální případ rotační plochy .

Viz také

Poznámky

↑ Matematická encyklopedie, 1985, v.5, s. 405
↑ 1 2 Koroljov Jurij Ivanovič. Deskriptivní geometrie: Učebnice pro střední školy. 2. vyd. . - Nakladatelství "Peter", 2008. - S. 172. - 256 s. — ISBN 9785388003669 . Archivováno 17. února 2017 na Wayback Machine
↑ Kroky k invertování torusu byly uvedeny v „Topology“ od Alberta Tuckera a Herberta Baileyho v Scientific American , leden 1950.
↑ Podrobnosti viz článek M. Gardnera v Scientific American , březen 1977. Další paradoxy související s tori lze nalézt v článcích M. Gardnera, publikovaných v Scientific American v prosinci 1972 a prosinci 1979.
↑ Teoretické základy řešení úloh v deskriptivní geometrii: Tutoriál
↑ Průsečík koule a torusu rovinou. Příklad konstrukce "čáry řezu" na povrchu kombinovaného rotačního tělesa . Získáno 4. listopadu 2011. Archivováno z originálu 4. března 2016. (neurčitý)

Literatura

Savelov A. A. Rovinné křivky: Systematika, vlastnosti, aplikace. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 s. Znovu vydáno 2002, ISBN 5-93972-125-7

Kompaktní povrchy a jejich ponoření do trojrozměrného prostoru

Třída homeoformity kompaktního triangulovaného povrchu je určena orientovatelností, počtem hraničních složek a Eulerovou charakteristikou.

žádná hranice

Orientační	Koule (rod 0) Thor (rod 1) "Osm" (rod 2) " Preclík " (rod 3) ...
Neorientovatelný	Skutečná projektivní rovina rod 1; Bojová plocha římský povrch Kleinova láhev (rod 2) Povrch ptáka (rod 3) ...

s okrajem

Disk
- polokoule
Stuha
- Prsten
- Válec
Pás Mobius
- Möbiův pás
Koule se třemi otvory...

Související
pojmy

Vlastnosti	Konektivita kompaktnost Triangulace nebo hladkost Orientovatelnost
Charakteristika	Počet prvků ohraničení Rod Eulerova charakteristika
Operace	Připojený součet řezání otvorů Přilepení rukojeti Připevnění Möbiova proužku Ponoření