Bod (geometrie)

Bod je jedním ze základních ( nedefinovaných ) matematických objektů , jejichž vlastnosti jsou dány systémem axiomů . Není striktně možné reprezentovat bod jako nedělitelný prvek odpovídajícího matematického prostoru , definovaného v geometrii , matematické analýze a dalších odvětvích matematiky [1] .

Zároveň se v různých částech matematiky může pojem bodu lišit. V prostorech se souřadnicovým systémem je bod dán množinou jeho souřadnic a je s ní obvykle identifikován. Pojem bod se však používá i v prostorech bez souřadnicového systému (například v topologii nebo v teorii grafů ) [1] .

Geometrické body, obecně řečeno, nemají žádné měřitelné charakteristiky ( délka , plocha , objem atd.), kromě souřadnic. Ve specifických oblastech matematiky mohou mít určité typy speciální vlastnosti a názvy – například singulární body , limitní body , kritické body atd. [1] Ve fyzice se zavádí pojem hmotný bod , kterému je přiřazena určitá hodnota. hmotnostních a dynamických charakteristik (rychlost, zrychlení atd.).

Bod v euklidovské geometrii

Euclidův první axiom, v jeho Principia , definoval bod jako “objekt bez částí”. V moderní axiomatice Euclidean geometrie , bod je primární pojetí , definovaný jediný seznamem jeho vlastností- axiómy .

Ve zvoleném souřadnicovém systému může být jakýkoli bod dvojrozměrného euklidovského prostoru reprezentován jako uspořádaná dvojice ( x ; y ) reálných čísel . Podobně bod v n - rozměrném euklidovském prostoru (nebo vektorovém či afinním prostoru) může být reprezentován jako n-tice ( a 1 , a 2 , … , a n ) n čísel .

Mnoho objektů v euklidovské geometrii sestává z nekonečné množiny bodů, které odpovídají určitým axiomům. Například přímka je nekonečná množina bodů tvaru , kde c 1 ... c n a d jsou konstanty a n je rozměr prostoru. Existují podobné konstrukce, které definují rovinu , úsečku a další související pojmy. Úsečka sestávající pouze z jednoho bodu se nazývá degenerovaná úsečka. $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rbrace }$

Kromě definování bodů a objektů spojených s body Euclid také postuloval klíčovou myšlenku, že jakékoli dva body mohou být spojeny přímkou. To umožnilo sestrojit téměř všechny v té době známé geometrické pojmy. Euklidův postulát bodů však nebyl úplný ani konečný a obsahoval také ustanovení, která nevyplývala přímo z jeho axiomů, jako je řazení bodů na přímce nebo existence určitých bodů. Moderní rozšíření systému Euclid tyto nedostatky odstraňují.

Bodová kóta

Ve všech obecných definicích dimenze je bod objektem nulové dimenze, ale v různých pojetích dimenze je popsán odlišně.

Vektorový prostor

Dimenzí vektorového prostoru je maximální velikost lineárně nezávislé podmnožiny. Ve vektorovém prostoru sestávajícím z jediného bodu (který musí být nulovým vektorem 0) neexistuje žádná lineárně nezávislá podmnožina. Samotný nulový vektor není lineárně nezávislý, protože existuje netriviální lineární kombinace, která jej činí nulou: . $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$

Topologická dimenze

Topologická dimenze topologického prostoru X je definována jako minimální hodnota n taková, že každý konečný otevřený kryt X připouští konečný otevřený kryt X, který zjemňuje , ve kterém žádný bod není zahrnut ve více než n + 1 prvcích. Pokud takové minimum n neexistuje, říká se, že prostor má nekonečnou krycí dimenzi. $\mathcal{A}$ ${\mathcal {B}}$ $\mathcal{A}$

Bod je nulový rozměr vzhledem k rozměru krytu, protože každý otevřený kryt prostoru má upřesnění sestávající z jedné otevřené sady.

Hausdorffův rozměr

Nechť X je metrický prostor . Jestliže S ⊂ X a d ∈ [0, ∞), pak Hausdorffova množina v d-rozměrném prostoru S je infimum množiny čísel δ ≥ 0, pro kterou existuje nějaká (indexovaná) množina metriky pokrývající S s r i > 0 pro každé i ∈ I vyhovující . $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$

Hausdorffova dimenze metrického prostoru X je definována jako

\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Bod má Hausdorffův rozměr 0, protože může být pokryt jedinou koulí o libovolně malém poloměru.

Geometrie bez bodů

Pojetí bodu je základní ve většině oblastí geometrie a topologie, ale tam jsou matematické pojmy, které v principu odmítají pojetí bodu, například nekomutativní geometrie a bezbodová topologie . V těchto přístupech není „prostor bez bodů“ definován jako množina , ale prostřednictvím nějaké struktury (algebraické nebo logické), která vypadá jako dobře známý funkční prostor na množině: algebra spojitých zobrazení nebo algebra množin. , resp. Přesněji řečeno, takové struktury zobecňují známé funkční prostory takovým způsobem, že operace "nabývat hodnotu v tomto bodě" nemusí být definována. Studie takových struktur jsou obsaženy v některých spisech Alfreda Whiteheada .

Hmotnost bodu a Diracova delta funkce

Pro řadu teorií ve fyzice a matematice je užitečné použít takový abstraktní objekt jako bod, který má nenulovou hmotnost nebo náboj (to je běžné zejména v klasické elektrodynamice , kde jsou elektrony reprezentovány jako body s nenulovým nábojem). - nulový poplatek). Diracova delta funkce nebo δ-funkce není funkcí reálné proměnné, ale je definována jako zobecněná funkce : spojitá lineární funkcionál na prostoru diferencovatelných funkcí. Nerovná se nule pouze v bodě , kde se stává nekonečnem takovým způsobem [2] , že jeho integrál nad jakýmkoli okolím je roven 1. Fyzikální interpretace funkce delta je idealizovaná hmotnost bodu nebo bodový náboj [3]. . Tuto funkci zavedl anglický teoretický fyzik Paul Dirac . Při zpracování signálu se často označuje jako symbol (nebo funkce) jednoho pulzu [4] . Diskrétním analogem Diracovy δ-funkce je Kroneckerův symbol , který je obvykle definován v konečné doméně a nabývá hodnot 0 a 1. $x=0$ $x=0$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Point // Matematický encyklopedický slovník . - M . : Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 585 . — 847 s.
↑ Weisstein, Eric W. Delta Function na webu Wolfram MathWorld .
↑ Arfken & Weber, 2000 , str. 84
↑ Bracewell, 1986 , kapitola 5

Literatura

Arfken, G. B. & Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5. vydání), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0 .
Bracewell, R. N. (1986), Fourierova transformace a její aplikace (2. vydání), McGraw-Hill .
Clarke, Bowman , 1985, Jednotlivci a body, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
Gerla, G. , 1995, Pointless Geometries in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Příručka incidenční geometrie: budovy a základy . Severní Holandsko: 1015-31.
Whitehead, A.N. , 1920. Koncept přírody . Cambridge Univ. Lis. 2004 brožovaná, Prometheus Books. Být 1919 Tarnerových přednášek dodávaných na Trinity College .

Odkazy

Point (anglicky) na webu PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Point (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Definice bodu
Stránky s definicí bodů

Tematické stránky	FMA
Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus
V bibliografických katalozích	GND : 4298379-4