Nerovnost

Nerovnost v matematice je vztah spojující dvě čísla nebo jiné matematické objekty pomocí jednoho z níže uvedených znaků [1] .

Přísné nerovnosti

$a<b$ znamená méně než $A$ $b.$
$a>b$ znamená více než $A$ $b.$

Nerovnosti jsou ekvivalentní . Říkají, že znamení a jsou protikladná ; například výraz „znak nerovnosti byl obrácen“ znamená, že byl nahrazen výrazem nebo naopak. $a>b$ $b<a$ $>$ $<$ $<$ $>$

Nepřísné nerovnosti

$a\leqslant b$ znamená menší nebo rovno $A$ $b.$
$a\geqslant b$ znamená větší nebo rovno $A$ $b.$

Ruská tradice psaní znaků ⩽ a ⩾ odpovídá mezinárodní normě ISO 80000-2 . V zahraničí se někdy používají znaky ≤ a ≥ nebo ≦ a ≧. Říká se, že znaménka ⩽ a ⩾ jsou také protikladná .

Jiné typy nerovností

$a\neq b$ - znamená nerovná se . $A$ $b$
$a\gg b$ znamená, že hodnota je mnohem větší než $A$ $b.$
$a\ll b$ znamená, že hodnota je mnohem nižší než $A$ $b.$

Dále v tomto článku, pokud není uvedeno jinak, se pojem nerovnost týká prvních 4 typů.

V elementární matematice se studují numerické nerovnice (racionální, iracionální, trigonometrické, logaritmické, exponenciální). V obecné algebře , analýze , geometrii , nerovnosti jsou také uvažovány mezi objekty nenumerické povahy.

Související definice

Nerovnice se stejnými znaménky se nazývají stejnojmenné nerovnosti (někdy se používá výraz „stejný význam“ nebo „stejný význam“).

Je povolena dvojitá nebo dokonce vícenásobná nerovnost, která kombinuje několik nerovností do jedné. Příklad:

a<b<c

je zkratka pro dvojici nerovností: a

a<b

b<c.

Numerické nerovnosti

Číselné nerovnice obsahují reálná čísla ( u komplexních čísel není srovnání pro více či méně definováno ) a mohou obsahovat i symboly neznámých.Číselné nerovnice obsahující neznámé veličiny se dělí (podobně jako rovnice ) na algebraické a transcendentální. Algebraické nerovnosti se zase dělí na nerovnosti prvního stupně, druhého stupně a tak dále. Například nerovnost je algebraická prvního stupně, nerovnost je algebraická třetího stupně, nerovnost je transcendentální [2] . $(x,y,\dots).$ $18x<414$ $2x^{3}-7x+6>0$ $2^{x}>x+4$

Vlastnosti

Vlastnosti numerických nerovnic jsou v některých ohledech blízké vlastnostem rovnic [1] :

Na obě strany nerovnosti můžete přidat stejné číslo.
Z obou stran nerovnosti můžete odečíst stejné číslo. Důsledek: jako u rovnic lze libovolný člen nerovnice přenést do jiné části s opačným znaménkem. Z toho například vyplývá $a+b<c$ $a<cb.$
Obě strany nerovnosti lze vynásobit stejným kladným číslem.
Stejnojmenné nerovnosti lze sčítat: např. pokud a pak Nerovnice s opačnými znaménky lze obdobně odečítat člen po členu. $a<b$ $c<d,$ $a+c<b+d.$
Pokud jsou všechny čtyři části dvou nerovností kladné, pak lze nerovnosti vynásobit.
Pokud jsou obě části nerovnosti kladné, lze je zvýšit na stejnou (přirozenou) mocninu a také logaritmické s jakýmkoli základem (pokud je základ logaritmu menší než 1, musí být znaménko nerovnosti obráceno) .

Další vlastnosti

Tranzitivita : když a potom a podobně pro ostatní znamení. $a<b$ $b<c,$ $a<c$
Pokud jsou obě části nerovnosti vynásobeny nebo vyděleny stejným záporným číslem, pak se znaménko nerovnosti změní na opačné: větší než menší než , větší nebo rovno menší než nebo rovno atd.

Řešení nerovnic

Pokud nerovnost obsahuje symboly neznámých, pak její řešení znamená zjistit otázku, pro jaké hodnoty neznámých je nerovnost splněna. Příklady:

x^{2}<4

provedeno v

-2<x<2.

x^{2}>4

provádí, pokud nebo

x>2

x<-2.

x^{2}<-4

nikdy neprovedeno (žádná řešení).

x^{2}>-4

platí pro všechny ( identita ).

X

Pozor : pokud zvýšíte nerovnost obsahující neznámé na sudou mocninu, mohou se objevit „extra“ řešení. Příklad: je-li nerovnost na druhou: pak se objeví chybné řešení, které nevyhovuje původní nerovnosti. Všechna takto získaná řešení by proto měla být ověřena dosazením do původní nerovnosti. $x>3$ $x^{2}>9,$ $x<-3,$

Nerovnosti prvního stupně

Nerovnice prvního stupně má obecný formát: nebo kde (práce se znaky a je podobná). Chcete-li to vyřešit, vydělte nerovnost a pokud otočte znaménko nerovnosti [3] . Příklad: $ax>b$ $sekera<b,$ $a\neq 0$ $\geqslant$ $\leqslant$ $A$ $a<0,$

5x-11>8x+1.

Zde jsou podobné pojmy: nebo

-3x>12,

x<-4.

Systémy nerovnic prvního stupně

Pokud je stejná neznámá zahrnuta do více nerovností, je třeba řešit každou nerovnost samostatně a tato řešení pak porovnat, což je nutné provést společně.

Příklad 1 . Ze systému získáme dvě řešení: pro první nerovnost pro druhou: Jejich kombinací dostaneme odpověď: ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases))$ $x<2,$ $x>{2 \over 3}.$ ${2 \over 3}<x<2.$

Příklad 2 . Řešení: a Druhé řešení absorbuje první, takže odpověď je: ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x<2$ $x<{2 \over 3}.$ $x<{2 \over 3}.$

Příklad 3 . Řešení: a jsou nekompatibilní, takže původní systém nemá žádná řešení. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases))$ $x>2$ $x<{2 \over 3},$

Nerovnosti druhého stupně

Obecná forma nerovnosti druhého stupně (také nazývaná kvadratická nerovnost ):

x^{2}+px+q>0

nebo

x^{2}+px+q<0.

Pokud má kvadratická rovnice reálné kořeny , pak lze nerovnost zredukovat na tvar, resp. $x^{2}+px+q=0$ $x_{1},x_{2},$

(x-x_{1})(x-x_{2})>0

nebo

(x-x_{1})(x-x_{2})<0.

V prvním případě a musí mít stejné znaky, ve druhém - odlišné. Pro konečnou odpověď je třeba použít následující jednoduché pravidlo [4] . ${\displaystyle x-x_{1))$ ${\displaystyle x-x_{2))$

Čtvercová trojčlenka s různými reálnými kořeny je záporná v intervalu mezi kořeny a kladná mimo tento interval. $x^{2}+px+q$

Pokud by se ukázalo, že rovnice nemá žádné reálné kořeny, pak si její levá strana zachovává pro všechny stejné znaménko. Původní nerovnost druhého stupně je tedy buď identická, nebo nemá řešení (viz příklady níže [5] ). $x^{2}+px+q=0$ $X.$

Příklad 1 . Vydělením , dostaneme nerovnost do tvaru: Po vyřešení kvadratické rovnice dostaneme kořeny , takže původní nerovnost je ekvivalentní této: Podle výše uvedeného pravidla, což je odpověď. $-2x^{2}+14x-20>0.$ $-2,$ $x^{2}-7x+10<0.$ $x^{2}-7x+10=0,$ $x_{1}=2;x_{2}=5,$ $(x-2) (x-5)<0.$ $2<x<5,$

Příklad 2 . Podobně získáme, že a máme stejná znaménka, tedy podle pravidla, popř $-2x^{2}+14x-20<0.$ $x-2$ $x-5$ $x<2,$ $x>5.$

Příklad 3 . Rovnice nemá žádné skutečné kořeny, takže její levá strana si zachovává své znaménko pro všechny Levá strana je kladná, takže původní nerovnost je identita (pravda pro všechny ). $x^{2}+6x+15>0.$ $x^{2}+6x+15=0$ $X.$ $x=0$ $X$

Příklad 4 . Stejně jako v předchozím příkladu je i zde levá strana vždy kladná, takže nerovnost nemá řešení. $x^{2}+6x+15<0.$

Podobně faktoringem lze řešit nerovnosti vyšších stupňů. Dalším způsobem je sestavit graf levé strany a určit, jaká znaménka má v různých intervalech [6] .

Jiné nerovnosti

Existují také zlomkové racionální, iracionální, logaritmické a trigonometrické nerovnosti.

Některé dobře známé nerovnosti

Níže jsou uvedeny prakticky užitečné nerovnosti, které jsou shodně splněny, pokud neznámé spadají do zadaných hranic [7] .

$a+{1 \over a}\geqslant 2,$ kde Rovnost platí pouze pro $a>0.$ $a=1.$
${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ kde Význam: geometrický průměr dvou čísel nepřesahuje jejich aritmetický průměr . Rovnost nastává pouze tehdy, když $a,b>0.$ $a=b.$
Nerovnost o prostředcích
Bernoulliho nerovnost :

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,

kde je kladné číslo větší než 1.

x\geqslant -1,n

|a+b|\leqslant |a|+|b|

Důsledky této nerovnosti najdete v článku Absolutní hodnota .

Znaky nerovnosti v programovacích jazycích

Symbol "není se rovná" se v různých programovacích jazycích píše odlišně.

symbol	jazyky
!=	C , C++ , C# , Java , JavaScript , Perl , PHP , Python , Wolfram Language
<>	Základní , Pascal , 1C
~=	Lua
/=	Haskell , Fortran , Ada
#	Modula-2 , Oberon

Kódy znaků nerovnosti

symbol	obraz	Unicode		ruské jméno	HTML			Latex
symbol	obraz	kód	titul	ruské jméno	hexadecimální	desetinný	mnemotechnické pomůcky	Latex
<	$<$	U+003C	Méně než znamení	Méně	<	<	<	<, \textless
>	$>$	U+003E	Větší než znamení	Více	>	>	>	>, \textvětší
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Menší než nebo šikmo rovné	Méně nebo stejně	⩽	⩽	Ne	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Větší než nebo šikmo rovné	Více nebo stejné	⩾	⩾	Ne	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Menší nebo rovno	Méně nebo stejně	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Větší než nebo rovno	Více nebo stejné	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Mnohem méně než	Mnohem méně	≪	≪	Ne	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Mnohem větší než	Mnohem více	≫	≫	Ne	\gg

Viz také

Srovnání (programování)

Poznámky

↑ 1 2 Nerovnice // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 3. - S. 999.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 177.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 178.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 217-222.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 180-181.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 212-213, 219-222.
↑ Příručka elementární matematiky, 1978 , s. 174-176.

Literatura

Nerovnosti Beckenbach E.F. — M .: Mir, 1965.
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky . — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST , 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Hardy G. G., Littlewood D. I., Polia D. Nerovnosti. - M .: Zahraniční literatura, 1948.

Matematické znaky

Plus ( + )
mínus ( - )
Znaménko násobení ( · nebo × )
Znak dělení ( : nebo / )
Obelus ( ÷ )
kořenový znak ( √ )
Faktorový ( ! )
Integrální znak ( ∫ )
nabla ( ∇ )
Rovnítko ( = , ≈ , ≡ atd. )
Značky nerovnosti ( ≠ , > , < atd. )
Proporcionalita ( ∝ )
Závorky ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Svislý pruh ( | )
Lomítko, lomítko ( / )
Zpětné lomítko, zpětné lomítko ( \ )
Znak nekonečna ( ∞ )
Znak stupně ( ° )
Mrtvice ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Hvězdička ( * )
Procento ( % )
str./min ( ‰ )
Vlnovka ( ~ )
Karet ( ^ )
Circumflex ( ˆ)
Plus-mínus ( ± )
Znaménko mínus plus ( ∓ )
Oddělovač desetinných míst ( , nebo . )
Znak konce důkazu ( ∎ )