Funkční parita

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. října 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Liché a sudé se nazývají funkce , které mají symetrii vzhledem ke změně znaménka argumentu. Tento pojem je důležitý v mnoha oblastech matematické analýzy , jako je teorie mocninných řad a Fourierových řad . Název je spojen s vlastnostmi mocninných funkcí: funkce je sudá, když je sudá, a lichá, když je lichá. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

Lichá funkce je funkce, která obrátí svou hodnotu, když se změní znaménko nezávislé proměnné (její graf je symetrický podle středu souřadnic).
Sudá funkce je funkce, která při změně znaménka nezávisle proměnné nemění svou hodnotu (její graf je symetrický podle osy y).
Ani sudá, ani lichá funkce (nebo obecná funkce ). Tato kategorie zahrnuje funkce, které nespadají do předchozích 2 kategorií.

Přísná definice

Definice jsou zavedeny pro jakoukoli doménu definice symetrickou s ohledem na nulu , například segment nebo interval . $X \subset \mathbb{R}$

Funkce je volána, i když je rovnost $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Funkce se nazývá lichá, pokud je rovnost

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Funkce, které nepatří do žádné z výše uvedených kategorií, se nenazývají ani sudé, ani liché (neboli generické funkce).

Funkce, které nabývají nulové hodnoty v celé své definiční oblasti a tato definiční oblast je symetrická vzhledem k nule, jsou sudé i liché; například funkce f ( x ) = 0 a f ( x ) = 0/ x . Jakákoli funkce, která je sudá i lichá, je shodně rovna nule v celém svém oboru definice.

Vlastnosti

Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku . $Ó$
Graf sudé funkce je symetrický podle osy y . $Oj$
Libovolná funkce může být jednoznačně reprezentována jako součet lichých a sudých funkcí: $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

kde

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

Funkce g ( x ) ah ( x ) se nazývají lichá část a sudá část funkce f ( x ) .

Součet , rozdíl a obecně jakákoli lineární kombinace sudých funkcí je sudá a liché funkce jsou liché. Sudé funkce tedy tvoří lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel, totéž platí pro liché funkce.
Součin dvou funkcí stejné parity je sudý.
Součin dvou funkcí různé parity je lichý.
Složení dvou lichých funkcí je liché.
Složení sudé funkce s lichou je sudé.
Složení libovolné funkce se sudým číslem je sudé (ale ne naopak).
Derivace sudé funkce je lichá a lichá funkce je sudá.
Pro určité integrály sudých funkcí rovnost

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

V souladu s tím, pro určité integrály lichých funkcí, rovnost

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

To implikuje vztahy pro nevlastní integrály sudých funkcí:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

a z lichých funkcí:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(vp označuje hlavní hodnotu Cauchyho nevlastního integrálu).

Rozšíření sudé funkce Maclaurinovy řady obsahuje pouze členy se sudými mocninami a lichou funkci pouze s lichými.
Expanze ve Fourierově řadě periodické sudé funkce obsahuje pouze členy s kosiny a periodická lichá funkce obsahuje pouze členy se siny.
Sudé funkce tvoří komutativní algebru nad oborem reálných čísel. To však neplatí pro liché funkce, protože jejich množina není při násobení uzavřena (součin dvou lichých funkcí je sudá funkce).

Příklady

Všude dole $x\in \mathbb {R} .$

Liché funkce

Umocňování s lichým exponentem celého čísla: kde je libovolné celé číslo . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\in \mathbb{Z}$
Signum : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
Krychlová odmocnina a obecně odmocnina jakéhokoli kladného lichého stupně $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Goniometrické funkce : sinusový tangens kotangens kosekans $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\jméno operátora {tg} x,$ $f(x)=\jméno operátora {ctg} x,$ $f(x)=\název operátora {cosec} x.$
Inverzní goniometrické funkce : arkussinus arkustangens arkosekans $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\jméno operátora {arctg} x,$ $f(x)=\název operátora {arccosec} x.$
Hyperbolické funkce : hyperbolický sinus, hyperbolický tangens, hyperbolický kotangens a hyperbolický kosekans.
Inverzní hyperbolické funkce : areaine, areatangent, areakottangent, areacosekans.
Speciální a generické funkce :
- Gudermannova funkce a inverzní Gudermannova funkce $f(x)=\operatorname {gd} x=\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} x)$ $f(x)=\jméno operátora {arcgd} x=\jméno operátora {oblouk} (\sec x).$
- integrální sinus $f(x)=\název operátora {Si} x.$
- Chybová funkce a inverzní chybová funkce $f(x)=\jméno operátora {erf} x$ $f(x)=\operatorname {erf} ^{-1}x.$
- Dawsonova funkce .
- Chi-funkce Legendre .
- Mathieuovy funkce se i ( x ) .
- Funkce Rademacher .

Sudé funkce

Umocňování s exponentem sudého celého čísla: kde je libovolné celé číslo . $f(x)=x^{2k},$ $k\in \mathbb{Z}$
Absolutní hodnota (modul) : $f(x)=|x|.$
Konstantní funkce : $f(x)=a.$
Goniometrické funkce: kosinus sekans $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sec x$
Hyperbolické funkce: hyperbolický kosinus, hyperbolický sekant.
Speciální a generické funkce:
- Diracova delta funkce $f(x)=\delta(x).$
- Gaussova funkce pro b =0. $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)$
- Dirichletova funkce .
- Cardinal sine sinc x (normalizované i nenormalizované).
- Mathieuovy funkce ce i ( x ) .

Literatura

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Funkce a grafy. Základní triky . - M. : Nauka, 1968. - (Knihovna Fyzikální a matematické školy, číslo 2). (Anglický překlad: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 a 1998)