Skupina typu lež

Fráze grupa typu Lie obvykle znamená konečnou grupu , která úzce souvisí se skupinou racionálních bodů reduktivní lineární algebraické grupy s hodnotami v konečném poli . Termín „skupina Lieova typu“ nemá obecně přijímanou přesnou definici [1] , ale důležitá množina konečných jednoduchých grup Lieova typu má přesnou definici a tvoří většinu grup v klasifikaci jednoduchých konečných grup .

Název "skupiny Lieova typu" odráží úzké spojení s (nekonečnými) Lieovými grupami , protože kompaktní Lieovu grupu lze považovat za racionální body redukovaných lineárních algebraických grup nad polem reálných čísel .

Klasické skupiny

Prvním přístupem k této otázce byla definice a podrobné studium tzv. klasických grup nad konečnými a dalšími Jordanovými poli [2] . Tyto skupiny studovali Leonard Dixon a Jean Dieudonné . Emil Artin zkoumal řády takových skupin, aby klasifikoval náhody.

Klasická skupina je, zhruba řečeno, speciální lineární , ortogonální , symplektická nebo unitární skupina. Tam je několik menších variací těchto skupin, který být získán tím, že vezme odvozené podskupiny nebo skupiny centrálního faktoru , který dává projektivní lineární skupiny . Skupiny lze budovat na konečných polích (nebo jakýchkoli jiných polích) v podstatě stejným způsobem jako na reálných číslech. Odpovídají řadám A n , B n , C n , D n , 2 A n , 2 D n skupin Chevalley a Steinberg [3] .

Chevalley groups

Chevalleyovy grupy jsou v podstatě Lieovy grupy nad konečnými poli. Teorie byla podrobně zvážena v teorii algebraických grup a v pracích Chevalleyho [4] o teorii Lieových algeber , prostřednictvím kterých byl rozlišován koncept Chevalleyových grup . Chevalley zkonstruoval Chevalleyův základ (podobný celočíselným formám, ale přes konečná tělesa) pro všechny složité jednoduché Lieovy algebry (nebo spíše jejich univerzální obalové algebry ), které lze použít k definování odpovídajících algebraických grup přes celá čísla. Zejména mohl získat body s hodnotami v jakémkoli konečném poli. Pro Lie algebry A n , B n , C n a D n to dává známé klasické grupy, ale jeho konstrukce také dává grupy spojené s výjimečnými Lieovými algebrami E 6 , E 7 , E 8 , F 4 a G 2 . Dixon již zkonstruoval jednu ze skupin typu G 2 (někdy nazývané skupiny Dixon ) v roce 1905 [5] a jednu z typu E 6 v roce 1961 [6] .

Steinberg skupiny

Konstrukce Chevalley nedává všechny známé klasické grupy - zůstávají unitární grupy a nerozdělené ortogonální grupy . Steinberg [7] našel modifikaci konstrukce Chevalley, která dává těmto skupinám a dvěma novým rodinám 3 D 4 a 2 E 6 . Druhou z těchto čeledí objevili téměř ve stejnou dobu, z úplně jiného úhlu pohledu, sýkorky [8] . Tato konstrukce zobecňuje obvyklou konstrukci unitární grupy z obecné lineární grupy.

Unitární grupa vzniká následovně: obecná lineární grupa nad komplexními čísly má automorfismus diagramu , který je dán inverzí Dynkinova diagramu A n (což odpovídá získání inverzně transponované matice), a automorfismus pole , který je dán komplexem konjugace . Unitární grupa je pevnou bodovou grupou součinu těchto dvou automorfismů.

Stejným způsobem má mnoho Chevalleyových skupin automorfismy generované automorfismy jejich Dynkinových diagramů a automorfismy pole generované automorfismy konečného pole. Analogicky s případem unitárních grup vytvořil Steinberg rodinu grup tím, že vzal pevné body součinu automorfismu diagramu a automorfismu pole.

To dává:

Skupiny typu 3 D 4 nemají nad reálnými čísly žádná analoga, protože komplexní čísla nemají automorfismus řádu 3. Symetrie diagramu D 4 generují Trinity .

Skupiny Suzuki-Rie

Michio Suzuki [9] našel nové nekonečné řady grup, které na první pohled nesouvisí se známými algebraickými grupami. Rimhak Rhee [10] [11] věděl, že algebraická grupa B 2 má "komplementární" automorfismus charakteristiky 2, jejíž druhá mocnina má Frobeniův endomorfismus . Zjistil, že pokud má konečné pole charakteristiky 2 také automorfismus, jehož čtverec má Frobeniovu mapu, pak analogie Steinbergovy konstrukce dává Suzukiho grupy. Pole s takovým automorfismem jsou pole řádu 2 2 n + 1 a odpovídající skupiny jsou skupiny Suzuki

2B2 ( 22n + 1 ) = Suz ( 22n + 1 ) .

(Přísně vzato, skupina Suz(2) není považována za skupinu Suzuki, protože není jednoduchá - je to Frobeniova skupina řádu 20.). Ree dokázal najít dvě nové rodiny

2 F 4 (2 2 n +1 )

a

2 G 2 (3 2 n +1 )

jednoduché grupy s využitím skutečnosti, že F 4 a G 2 mají další automorfismy s charakteristikami 2 a 3. (Zhruba řečeno, s charakteristikou p lze ignorovat šipky na hranách násobnosti p v Dynkinových diagramech.) Menší skupiny 2 F 4 (2) typu 2 F 4 nejsou jednoduché, ale mají jednoduché podgrupy s indexem 2, nazývané skupiny Tits (pojmenované po matematikovi Jacques Titsovi ). Nejmenší skupina 2 G 2 (3) typu 2 G 2 není jednoduchá, ale má jednoduchou normální podgrupu indexu 3 izomorfní k A 1 (8).

V klasifikaci jednoduchých konečných grup , Reeovy grupy

2 G 2 (3 2 n +1 )

jsou skupiny, jejichž strukturu je obtížné explicitně vysvětlit. Tyto skupiny sehrály velkou roli při objevu první moderní sporadické skupiny. Skupiny mají involuční centralizátory tvaru Z /2 Z × PSL(2, q ) pro q = 3 n a při studiu skupin s involučním centralizátorem tvaru Z /2 Z × PSL(2, 5) Janko našel sporadická skupina J 1 .

Suzukiho grupy jsou pouze konečné neabelovské jednoduché grupy s řádem nedělitelným 3. Mají řád 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) −1 ).

Spojení s konečnými jednoduchými grupami

Konečné grupy Lieova typu byly po cyklických , symetrických a střídavých grupách mezi prvními grupami uvažovanými matematiky. Projektivní speciální lineární grupy nad jednoduchými konečnými poli PSL(2, p ) sestrojil Évariste Galois ve 30. letech 19. století. Systematické studium konečných grup Lieova typu začalo teorémem Camille Jordana , že projektivní speciální lineární grupa PSL(2, q ) je prvočíslo pro . Tato věta je zobecněna na projektivní grupy vyšších dimenzí a dává důležitou nekonečnou rodinu PSL( n , q ) konečných jednoduchých grup . Jiné klasické skupiny studoval Leonard Dixon na počátku 20. století. V padesátých létech, Claude Chevalley si uvědomil, že, po vhodném přeformulování, mnoho teorémů o polojednoduchých Lieových grupách připustí analogii pro algebraické grupy přes libovolné pole k , vést ke konstrukci grup nyní známých jako Chevalley grupy . Navíc, stejně jako v případě kompaktních jednoduchých Lieových grup, se odpovídající grupy ukáží jako téměř jednoduché jako abstraktní grupy ( Titsova věta o jednoduchosti ). Přestože již v 19. století bylo známo, že existují další konečné jednoduché grupy (např. Mathieuovy grupy ), postupně se vyvinula víra, že lze vyjmenovat téměř všechny konečné jednoduché grupy, s vhodným rozšířením Chevalleyovy konstrukce spolu s cyklickými a střídajícími se grupami. skupiny. Navíc výjimky, sporadické grupy , mají mnoho společných vlastností s konečnými grupami Lieova typu a zejména je lze sestrojit a popsat na základě jejich geometrie ve smyslu sýkorek.

Tato důvěra se změnila ve větu - klasifikaci jednoduchých konečných grup . Zkoumání seznamu konečných jednoduchých grup ukazuje, že skupiny typu Lie nad konečným polem zahrnují všechny konečné jednoduché grupy jiné než cyklické grupy, střídavé grupy, skupinu sýkorek a 26 sporadických jednoduchých grup .

Malé skupiny typu Lie

Obecně platí, že konečná grupa spojená s endomorfismem jednoduše spojenou jednoduchou algebraickou grupou je univerzální centrální rozšíření jednoduché grupy, takže jde o dokonalou grupu (tj. stejnou jako její komutant ) a má triviální Schurův multiplikátor . Některé z menších skupin ve výše uvedených rodinách však buď nejsou dokonalé, nebo mají Schurův multiplikátor větší než „očekávané“.

Případy, kdy skupina není dokonalá

Případy, kdy je skupina dokonalá, ale Schurův multiplikátor je větší, než se očekávalo (pod frází „ Schurův multiplikátor má další faktorovou skupinu ..., takže Schurův multiplikátor jednoduché skupiny má řád ... a ne . .. “ je zkráceno na „ Schurův multiplikátor má ..., pořadí ... a ne ... “):

Mezi různými malými skupinami typu Lie (a střídajícími se grupami) existuje řada matoucích „náhodných“ izomorfismů. Například skupiny SL(2, 4), PSL(2, 5) a alternující skupina 5 prvků jsou izomorfní.

Úplný seznam těchto výjimek viz Seznam konečných jednoduchých skupin . Mnohé z těchto speciálních vlastností jsou spojeny s určitými jednoduchými sporadickými skupinami.

Střídavé grupy se někdy chovají, jako by byly grupy typu Lie nad polem s jedním prvkem . Některé z malých alternujících skupin mají také výjimečné vlastnosti. Alternativní grupy mají obvykle vnější skupinu automorfismu řádu 2, ale střídající se grupa na 6 prvcích má vnější grupu automorfismu řádu 4 . Střídavé skupiny mají obvykle Schurův multiplikátor řádu 2, ale skupiny na 6 nebo 7 prvcích mají Schurův multiplikátor řádu 6 .

Problémy se zápisem

Bohužel neexistuje žádná zavedená notace pro konečné grupy Lieova typu a literatura obsahuje desítky nekompatibilních a matoucích notačních systémů pro tyto grupy.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ diskuze mathoverflow . Získáno 23. srpna 2017. Archivováno z originálu 9. března 2017.
  2. ↑ Jordánsko, 1870 .
  3. ↑ V ruskojazyčné literatuře je četba Steinberga běžnější, ale nepanuje shoda na četbě tohoto příjmení, v jednom článku lze najít četby Steinberga i Steinberga zároveň.
  4. ↑ Chevalley, 1955 .
  5. ↑ Dickson, 1905 .
  6. ↑ Dickson, 1901 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Sýkory, 1958 .
  9. ↑ Suzuki, 1960 .
  10. ↑ Ree, 1960 .
  11. ↑ Ree, 1961 .
  12. ↑ 1 2 ATLAS , str. xi Archivováno 21. září 2013 na Wayback Machine

Literatura