Diferenciální algebra

Diferenciální okruhy , pole a algebry se nazývají okruhy , pole a algebry vybavené derivací – unární operací, která splňuje pravidlo součinu . Přirozeným příkladem diferenciálního pole je pole racionálních funkcí jedné komplexní proměnné , operace derivace odpovídá derivaci vzhledem k . Teorii vytvořil Joseph Ritt (1950) a jeho student Ellis Kolchin [1] [2] . $C(t)$ $t$

Definice

Diferenciální kroužky

Diferenciální kruh je kruh R vybavený jedním nebo více endomorfismy ( derivacemi )

\částečné \dvojtečka R\do R

splňující pravidlo produktu

\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})

pro jakýkoli . Zdůrazňujeme, že pravidlo může selhat v nekomutativním kruhu. V neindexové formě zápisu, pokud - násobení v kruhu, pak bude mít pravidlo součinu formu $r_{1},r_{2}\v R$ $d(xy)=xdy+ydx$ $M\dvojtečka R\krát R\to R$

\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id}\otimes \partial ).

kde je mapování páru na pár . $f\okrát g$ $(x,y)$ $(f(x),g(y))$

Diferenční pole

Diferenciální pole je pole K vybavené derivací. Diferenciace se musí ve formuláři řídit Leibnizovým pravidlem

\částečné (uv)=u\,\částečné v+v\,\částečné u

protože násobení v poli je komutativní. Diferenciace musí být také distributivní s ohledem na sčítání:

\částečné (u+v)=\částečné u+\částečné v

Pole konstant diferenciálního pole se nazývá . $K$ $k=\{u\in K|\částečné (u)=0\}$

Diferenciální algebra

Diferenciální algebra přes pole K je K -algebra A , ve které derivace komutují s polem. To znamená pro všechny a : $k\in K$ $x\v A$

\ \částečné (kx)=k\částečné x

V neindexové formě, pokud je morfismus kruhů, který definuje násobení skaláry v algebře, pak $\eta\dvojtečka K\to A$

\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial )

Stejně jako v jiných případech musí diferenciace splňovat Leibnizovo pravidlo pro násobení v algebře a být lineární s ohledem na sčítání. To znamená pro všechny a : $a,b\v K$ $x,y\v A$

\částečné (xy)=(\částečné x)y+x(\částečné y)

\částečné (ax+by)=a\,\částečné x+b\,\částečné y

Diferenciace v Lieově algebře

Odvození Lieovy algebry je lineární zobrazení , které splňuje Leibnizovo pravidlo: $L$ $\delta \dvojtečka L\to L$

\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]

Pro jakýkoli operátor - diferenciace na , která vyplývá z identity Jacobi . Jakékoli takové odvození se nazývá vnitřní . $a\in L$ $\operatorname {ad} (a)$ $L$

Příklady

Jestliže je algebra s jednotkou , pak , protože . Například v diferenciálních polích charakteristiky 0 tvoří racionální prvky podpole v poli konstant. $A$ $\partial(1)=0$ $\částečné (1)=\částečné (1\krát 1)=\částečné (1)+\částečné (1)$

Jakékoli pole lze považovat za pole konstant.

V poli existuje přirozená struktura diferenciálního pole, definovaná rovností : z axiomů pole a diferenciace vyplývá, že se bude jednat o diferenciaci vzhledem k . Vyplývá to například z komutativnosti násobení a Leibnizova pravidla, že $\mathbb {Q} (t)$ $\partial(t)=1$ $t$

\částečné (u^{2})=u\částečné (u)+\částečné (u)u=2u\částečné (u)

Neexistuje žádné řešení diferenciální rovnice v diferenciálním poli , ale může být rozšířeno na pole obsahující funkci , která má řešení této rovnice. $\mathbb {Q} (t)$ $\částečné (u)=u$ $e^{t}$

Diferenciální pole, které má řešení pro jakýkoli systém diferenciálních rovnic, se nazývá diferenciálně uzavřené pole . Taková pole existují, i když v algebře nebo geometrii přirozeně nevznikají. Jakékoli diferenciální pole (o omezeném výkonu ) je zabudováno do většího diferenciálně uzavřeného pole. Diferenciální pole jsou studována v diferenciální Galoisově teorii .

Přirozenými příklady derivací jsou parciální derivace , Lieovy derivace , Pincherleova derivace a komutátor s ohledem na daný prvek algebry. Všechny tyto příklady úzce souvisejí s obecnou myšlenkou diferenciace.

Prstenec pseudodiferenciálních operátorů

Diferenciální kruhy a diferenciální algebry jsou často studovány pomocí kruhu pseudodiferenciálních operátorů nad nimi:

R((\xi ^{{-1))))=\left\{\součet _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\v R\vpravo \}.

Násobení v tomto kruhu je definováno jako

(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\součet _{{k=0}}^{m}r(\částečné ^{k}s){m \vyberte k}\ xi ^{{m+nk}}.

Zde je binomický koeficient . Všimněte si identity ${m \vyberte k}$

\xi ^{{-1}}r=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}(\částečné ^{n}r)\xi ^{{-1 -n}}

následující z

{-1 \vyberte n}=(-1)^{n}

r\xi ^{{-1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\xi ^{{-1-n}}(\částečné ^{n}r).

Stupňovaná diferenciace

Dovolit být odstupňovaná algebra , být homogenní lineární zobrazení, . se nazývá homogenní derivace jestliže při působení na homogenní prvky . Odstupňovaná derivace je součtem homogenních derivací se stejným . $A$ $D$ $d=\left|D\right|$ $D$ $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{{|a||D|}}aD(b)$ $\epsilon=\pm 1$ $A$ $\epsilon$

Jestliže , definice je stejná jako běžná diferenciace. $\epsilon=1$

Pokud tedy pro liché . Takové endomorfismy se nazývají primitivní deriváty . $\epsilon=-1$ $D(ab)=D(a)b+(-1)^{{|a|}}aD(b)$ $\left|D\right|$

Příklady anti-derivátů jsou vnější a vnitřní deriváty diferenciálních forem .

Stupňované deriváty superalgeber (tj. -gradované algebry) se často nazývají superderiváty . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Poznámky

↑ Ritt, Joseph Fels (1950). Diferenciální algebra. New York: AMS Colloquium Publications (svazek 33).
↑ Kolchin, ER (1985), Diferenciální algebraické grupy , sv. 114, Pure and Applied Mathematics, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417640-9 , < https://books.google.com/books?isbn=0124176402 >

Viz také

Diferenciální Galoisova teorie
diferenciál Kähler
Diferenciálně uzavřené pole
D-modul je algebraická struktura, na které působí několik diferenciálních operátorů.

Literatura

Buium diferenciální algebra a diofantická geometrie, Hermann (1994).
I. Kaplansky Diferenciální algebra, Hermann (1957).
E. Kolchin Diferenciální algebra a algebraické grupy, 1973.
D. Marker, M. Messmer a A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid Přednášky o diferenciální Galoisově teorii, Americká matematika. společnost, 1994.

Domovská stránka Davida Markera obsahuje několik článků o diferenciálních polích.

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"