Přineste křivku

Bringova křivka (také nazývaná Bring surface ) je křivka daná pomocí

Název křivky dal Klein [1] po Erlandu Samuelu Bringovi, který podobnou konstrukci studoval v roce 1786 v diplomové práci prezentované na univerzitě v Lundu .

Automorfismy křivky jsou symetrická grupa S 5 řádu 120, daná permutacemi 5 souřadnic . Jedná se o největší možnou skupinu automorfismů komplexní křivky 4. druhu.

Křivka může být realizována jako trojitý kryt , rozvětvený ve 12 bodech, a je to Riemannův povrch spojený s malým hvězdicovitým dvanáctistěnem . Povrch má 4 rody. Úplná skupina symetrie (včetně odrazů) je přímý produkt , který má řád 240.

Základní oblast a systola

Bringovu křivku lze získat jako Riemannovu plochu identifikací stran hyperbolického šestiúhelníku (viz základní polygon ), její kresba je zobrazena vpravo. Dvanáctúhelník (o ploše , podle Gauss-Bonnetova vzorce ) lze rozložit pomocí 240 (2,4,5) trojúhelníků. Akce, které přenášejí jeden z těchto trojúhelníků na druhý, poskytují kompletní skupinu povrchových automorfismů (včetně odrazů). Pokud jsou odrazy ignorovány, dostaneme 120 výše zmíněných automorfismů. Všimněte si, že 120 je méně než 252, maximální počet automorfismů zachovávajících orientaci možný pro povrch rodu 4, podle Hurwitzovy teorému o automorfismu . Povrch Bring tedy není povrch Hurwitz . To také říká, že neexistuje žádný Hurwitzův povrch rodu 4.

Kompletní skupina symetrie má následující reprezentaci:

kde je akce identity, je rotace řádu 5 kolem středu základního mnohoúhelníku, je rotace řádu 2 ve vrcholu, kde se setkávají 4 (2,4,5) trojúhelníky v dlaždici, a je odrazem kolem reálná osa. Z této reprezentace lze pomocí GAP vypočítat informace o lineární reprezentaci skupiny symetrií Bringovy plochy . Skupina má konkrétně čtyři jednorozměrné, čtyři čtyřrozměrné, čtyři pětirozměrné a dvě šestirozměrné neredukovatelné reprezentace a máme

podle očekávání.

Systola povrchu má délku

Stejně jako Kleinova kvartika ani Bringův povrch nemaximalizuje délku systoly mezi kompaktními Riemannovými povrchy ve své topologické kategorii (tj. mezi povrchy stejného rodu), přestože maximalizuje velikost skupiny automorfismu. Systola je (zřejmě) maximalizována povrchem označeným jako M4 v Schmutzově práci [2] . Délka systoly M4 je

a má násobek 36.

Spektrální teorie

O spektru povrchu Bring je známo jen málo, ale tento směr výzkumu může být zajímavý. Bolzův povrch a Kleinova kvartika mají největší skupiny symetrie mezi kompaktními Riemannovými povrchy negativního zakřivení rodu 2 a 3, v tomto pořadí, a poté se předpokládalo, že maximalizují první kladné vlastní číslo ve spektru laplaciánu. Na podporu této domněnky existují silné numerické důkazy, zejména v případě povrchu Bolza, ačkoli rigorózní důkaz zůstává otevřeným problémem. V souladu s tím lze rozumně předpokládat, že Bringův povrch maximalizuje první kladnou vlastní hodnotu Laplaceova operátoru (mezi povrchy v topologické třídě).

Viz také

• Povrch Bolza
• Kleinův kvartik
• povrch Macbeath
• První tři z Hurwitz

Poznámky

1. ↑ Klein, 2003 , s. 157.
2. ↑ Schmutz, 1993 .

Literatura

• Erland Samuel Bring, Sven Gustaf Sommelius. Meletemata quædam mathematica circa transformem æquationem algebraicarum. - Univerzita v Lundu, 1786. - (Promotionschrift).
• Edge WL Bringova křivka // ​​Journal of the London Mathematical Society. - 1978. - T. 18 , no. 3 . — S. 539–545 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 .
• Felix Klein. Přednášky o dvacetistěnu a řešení rovnic pátého stupně . - New York: Dover Publications , 2003. - (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0-486-49528-6 .
• Riera G., Rodriguez R. The period matrices of Bring's curve // ​​​​Pacific J. Math.. - 1992. - Vol. 154 , no. 1 . — S. 179–200 . - doi : 10.2140/pjm.1992.154.179 .
• Plochy Schmutze P. Riemanna s nejkratší geodetikou maximální délky // GAFA. - 1993. - svazek 3 , vydání. 6 . — S. 564–631 . - doi : 10.1007/BF01896258 .
• Matyáš Weber. Keplerov malý hvězdicový dvanáctistěn jako Riemannův povrch  // Pacific J. Math .. - 2005. - T. 220 . — S. 167–182 . - doi : 10.2140/pjm.2005.220.167 .