Matematika ve starověkém Egyptě

Tento článek je součástí přehledu Historie matematiky .

Článek je věnován stavu a vývoji matematiky ve starověkém Egyptě v období přibližně od 30. do 3. století před naším letopočtem. E.

Nejstarší staroegyptské matematické texty pocházejí z počátku 2. tisíciletí před naším letopočtem. E. Matematika se pak používala v astronomii, navigaci, zeměměřictví, při stavbě budov, přehrad, kanálů a vojenských opevnění. V Egyptě neexistovaly žádné peněžní platby, jako samotné peníze. Egypťané psali na papyrus , který se špatně zachoval, a proto jsou naše znalosti o matematice Egypta mnohem menší než o matematice Babylonu nebo Řecka . Byl pravděpodobně vyvinut lépe, než si lze představit z dokumentů, které se k nám dostaly – je známo [1] , že řečtí matematici studovali s Egypťany [2] .

Nevíme nic o vývoji matematických znalostí v Egyptě, ani ve starověku, ani v pozdějších dobách. Po nástupu Ptolemaiovců začíná mimořádně plodná syntéza egyptské a řecké kultury .

Zdroje

Hlavní dochované prameny pocházejí z období Říše středu , rozkvětu starověké egyptské kultury:

Papyrus z Ahmese nebo Papyrus z Rindy je nejobsáhlejší rukopis obsahující 84 matematických úloh. Napsáno kolem roku 1650 před naším letopočtem. E.
Moskevský matematický papyrus (25 úloh), cca 1850 př. Kr e., 544 × 8 cm.
Takzvaný " kožený svitek ", 25 × 43 cm.
Papyri from Lahuna (Kahuna) , obsahující řadu pasáží na matematická témata.
Berlínský papyrus , kolem roku 1300 př. E.
Káhirské dřevěné tablety (Akhmimské tablety).
Reisnerův papyrus , přibližně 19. století před naším letopočtem E.

Z Nové říše k nám přišlo několik fragmentů výpočetní povahy .

Autoři všech těchto textů jsou nám neznámí. Kopie, které se k nám dostaly, jsou většinou kopie zkopírované během Hyksóského období . Nositelé vědeckého poznání se tehdy nazývali písaři a ve skutečnosti byli státními či chrámovými úředníky.

Všechny úkoly z Ahmesova papyru (zaznamenaného kolem roku 1650 př. n. l.) jsou aplikovaného charakteru a souvisejí s praxí výstavby, vymezováním pozemků atd. Úkoly nejsou seskupeny podle metod, ale podle předmětu. Většinou se jedná o úlohy na hledání obsahů trojúhelníku, čtyřúhelníků a kružnice, různé operace s celými čísly a alikvotními zlomky , proporcionální dělení, hledání poměrů, umocňování na různé mocniny, určování aritmetického průměru , aritmetické posloupnosti , řešení rovnic. prvního a druhého stupně s jednou neznámou [3] .

Neexistuje absolutně žádné vysvětlení ani důkaz. Požadovaný výsledek je buď uveden přímo, nebo je uveden stručný algoritmus pro jeho výpočet.

Tento způsob prezentace, typický pro vědu zemí starověkého Východu, naznačuje, že se tam matematika vyvíjela prostřednictvím induktivních zobecnění a důmyslných dohadů, které netvořily žádnou obecnou teorii. Přesto je v papyru řada důkazů, že matematika ve starověkém Egyptě oněch let měla nebo alespoň začala získávat teoretický charakter. Egyptští matematici tak byli schopni extrahovat kořeny (celé číslo) a zvýšit na mocninu [4] , řešit rovnice, byli obeznámeni s aritmetickým a geometrickým postupem a dokonce ovládali základy algebry : při řešení rovnic speciální hieroglyfová „hromada“ označil neznámo.

Číslování (zápis čísel)

Staroegyptské číslování , tedy psaní čísel, bylo podobné římské : nejprve existovaly samostatné ikony pro 1, 10, 100, ... 10 000 000, kombinované aditivně (sčítání). Egypťané obvykle psali zprava doleva a nejdříve se psaly nejméně významné číslice čísla, takže pořadí čísel nakonec odpovídalo našemu. V hieratickém písmu již existují samostatné symboly pro čísla 1-9 a zkratky pro různé desítky, stovky a tisíce [5] .

Jakékoli číslo ve starověkém Egyptě bylo možné zapsat dvěma způsoby: slovy a čísly. Chcete-li například napsat číslo 30, můžete použít běžné hieroglyfy:

nebo napište totéž v číslech (tři desítky znaků):

Hieroglyfy pro zobrazení čísel

jeden

deset

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

Egypťané prováděli násobení kombinací zdvojování a sčítání. Dělení spočívalo ve výběru dělitele, tedy jako akce inverzní k násobení.

Speciální ikony označovaly zlomky formuláře a . Neměli však obecný koncept zlomku a všechny nekanonické zlomky byly reprezentovány jako součet alikvotních zlomků . Typická rozšíření byla shrnuta v těžkopádných tabulkách. ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {2}{3))$ ${\frac {m}{n}}$

Příklady obrázků běžných zlomků

1/2

1/3

2/3

1/4

1/5

Příklad zápisu zlomků z Rhindského papyru [6]

5 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 7 + 1 ⁄ 14 (= 5 5 ⁄ 7 )

Aritmetika

Znaky sčítání a odčítání

Ahmův papyrus (asi 1550 př. n. l.) používal hieroglyf pro sčítání nebo odčítání

nebo

Pokud se směr "noh" tohoto hieroglyfu shodoval se směrem psaní (jak již bylo zmíněno, Egypťané obvykle psali zprava doleva), pak to znamenalo "sčítání", jinak - "odčítání". V Moskevském matematickém papyru (kolem roku 1850 př. n. l.) však pár nohou směřujících ke konci čáry znamenal umocnění čísla [7] [8] .

Doplnění

Pokud je výsledkem sčítání číslo větší než deset, zapíše se desítka se stoupajícím hieroglyfem.

Například : 2343 + 1671

Shromažďujeme všechny stejné typy hieroglyfů dohromady a dostáváme:

Pojďme se transformovat:

Konečný výsledek vypadá takto:

Násobení

Staroegyptské násobení je sekvenční metoda násobení dvou čísel. K násobení čísel nepotřebovali znát násobilky, ale stačilo jen umět čísla rozložit na více základů, tyto násobky násobit a sčítat.

Egyptská metoda spočívá v rozkladu nejmenšího ze dvou faktorů na násobky a jejich následném vynásobení druhým faktorem.

Rozklad

Egypťané používali systém rozšiřování nejmenšího faktoru na násobky, jejichž součet by byl původní číslo.

Pro správný výběr násobku jste museli znát následující tabulku hodnot:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Příklad rozšíření čísla 25:

Násobitel pro číslo "25" je 16.
25–16 = 9,
Násobitel pro číslo "9" je 8,
9–8 = 1,
Násobitel pro číslo "1" je 1,
1-1 = 0

„25“ je tedy součtem tří členů: 16, 8 a 1.

Příklad: vynásobte „13“ „238“:

✔	1 x 238	= 238
✔	4 x 238	= 952
✔	8 x 238	= 1904

	13 x 238	= 3094

Je známo, že 13 = 8 + 4 + 1. Každý z těchto členů je třeba vynásobit 238. Dostaneme: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Staří Egypťané rozlišovali dělení dvěma od dělení jinými čísly, protože jejich algoritmus násobení používal dělení dvěma jako jeden z mezikroků [9] .

Rovnice

Příklad úkolu z Papyrus Ahmes :

Najděte číslo, pokud je známo, že přičtením 2/3 k němu a odečtením od výsledku jeho třetiny dostanete 10 .

Geometrie

Výpočet oblastí

V oblasti geometrie znali Egypťané přesné vzorce pro oblast obdélníku, trojúhelníku a lichoběžníku. Plocha libovolného čtyřúhelníku se stranami a, b, c, d byla vypočtena přibližně jako ; tento hrubý vzorec poskytuje přijatelnou přesnost, pokud se číslo blíží obdélníku. $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$

Egypťané předpokládali, že plocha kruhu S o průměru d se rovná ploše čtverce, jehož strana je 8/9 průměru: Toto pravidlo odpovídá aproximaci ≈ 3,1605 (chyba menší než 1 % ) [10] .. $S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.$ $\pi \cca 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}$

Někteří badatelé [11] na základě 10. úlohy Moskevského matematického papyru věřili, že Egypťané znali přesný vzorec pro výpočet plochy koule, ale jiní vědci s tím nesouhlasí [12] [13] .

Výpočet objemů

Egypťané uměli vypočítat objemy rovnoběžnostěnu, válce, kužele a pyramid. Pro výpočet objemu komolého jehlanu použili Egypťané následující pravidlo (úloha č. M14 Moskevského matematického papyru ): mějme pravidelný komolý jehlan se stranou spodní základny a , horní b a výškou h ; pak byl objem vypočten podle následujícího (správného) vzorce:

V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3)).

Starověký papyrusový svitek nalezený v Oxyrhynchus naznačuje, že Egypťané mohli také vypočítat objem komolého kužele. Tyto znalosti využili při stavbě vodních hodin . Například je známo, že za Amenhotepa III. byly v Karnaku postaveny vodní hodiny .

Egyptský trojúhelník

Egyptský trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s poměrem stran 3:4:5. Plutarchos v prvním století o tomto trojúhelníku napsal ve své eseji „O Isis a Osiris “: „Egypťané zjevně porovnávají povahu Univerzálnosti s nejkrásnějším z trojúhelníků. Možná právě proto byl tento trojúhelník nazýván egyptským [14] . Řečtí učenci skutečně uvedli, že v Egyptě se ke konstrukci pravého úhlu používalo lano rozdělené na 12 částí.

Egyptský trojúhelník aktivně využívali ke stavění pravých úhlů egyptští geodeti a architekti například při stavbě pyramid. Historik Van der Waerden se pokusil tuto skutečnost zpochybnit, pozdější studie to však potvrdily [15] . V každém případě neexistuje žádný důkaz, že by Pythagorova věta v obecném případě byla známa ve starověkém Egyptě (na rozdíl od starověkého Babylonu ) [16] .

Viz také

Poznámky

↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. Dekret. cit., str. 125: „Thales cestoval do Egypta a přinesl geometrii do Hellas“ (z Proklova komentáře k Euklidovi).
↑ „Podle většiny názorů byla geometrie poprvé objevena v Egyptě a vznikla z měření ploch“ // Proclus Diadochus. V primum Euclidis Elementorum. - Lipsko, 1873. - S. 64.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 21-33..
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 24..
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. třicet.
↑ Gardiner Alan H. Egyptská gramatika: úvod do studia hieroglyfů 3. vyd., rev. Londýn: 1957, str. 197.
↑ Florian Cajori . Historie matematických notací. - Dover Publications , 1993. - S. pp. 229-230. — ISBN 0486677664 .
↑ Karpinski, Louis C. Algebraický vývoj mezi Egypťany a Babyloňany // The American Mathematical Monthly : journal. - 1917. - Sv. 24 , č. 6 . — S. 259 . - doi : 10.2307/2973180 . — .
↑ Jean-Luc Chabert. Historie algoritmů: Od oblázku k mikročipu . - Springer Berlin Heidelberg, 1999. - 524 s. — ISBN 9783540633693 . Archivováno 21. února 2019 na Wayback Machine
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 30-32..
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum v Moskvě. - Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. - Berlin: Springer, 1930. - S. 157.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 31-32..
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka, s. 44-45
↑ Prasolov V. V. Kapitola 1. Starověký Egypt a Babylon // Dějiny matematiky . - (nezveřejněno), 2013. - s. 5. Archivní kopie ze dne 18. dubna 2015 na Wayback Machine
↑ Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka . Moskva: Fizmatlit, 1959, s. 13, poznámka pod čarou
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 31..

Literatura

Van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka . — M .: Nauka, 1959. — 456 s.
Veselovský I. N. Egyptská věda a Řecko. Trudy IIE, 2, 1948, str. 426-498.
Vygodsky M. Ya. Aritmetika a algebra ve starověkém světě. - M .: Nauka, 1967.
Depman I. Ya. Historie aritmetiky. Průvodce pro učitele . - Ed. druhý. - M . : Vzdělávání, 1965. - 416 s.
Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T.I.
Neugebauer O. Přednášky o dějinách starověkých matematických věd . - Moskva-Leningrad, 1937.
Raik A.E. Dvě přednášky o egyptské a babylonské matematice // Historický a matematický výzkum . - M .: Fizmatgiz , 1959. - č. 12 . - S. 271-320 .
Raik A.E. Eseje o historii matematiky ve starověku. Saransk: Mordovský stát. nakladatelství, 1977.
Gillings RJ Matematika v době faraonů. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Architektura a matematika ve starověkém Egyptě. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrodel, 1958.

Odkazy

Matematika // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Historie matematiky
Země a éry	prehistorické období Starověký Egypt Babylon Starověká Čína Starověké Řecko Indie Arménie Říše Inků islámské země Rusko
Tematické sekce	Algebra Analytická geometrie Aritmetický Variační počet Geometrie Diferenciální geometrie a topologie Kombinatorika Kryptografie Lineární algebra Logaritmy Matematická analýza Neeuklidovská geometrie Teorie pravděpodobnosti teorie množin Topologie Trigonometrie funkční analýza
viz také	infinitezimální Reálná čísla Iracionální čísla Komplexní čísla Matematický zápis Pokračující zlomky Záporná čísla Funkce