Rozšíření skupiny

Rozšíření skupiny je skupina , která obsahuje danou skupinu jako normální podskupinu . V problému rozšíření je zpravidla dána normální podskupina a kvocientová skupina a hledá se rozšíření tak , že existuje nebo ekvivalentně taková , že existuje krátká přesná posloupnost : $N$ $Q$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $G$

1\to N\to G\to Q\to 1

V tomto případě se říká, že jde o rozšíření o [1] (někdy se používá jiná formulace: skupina je rozšíření o [2] [3] ). $G$ $Q$ $N$ $G$ $N$ $Q$

Rozšíření se nazývá centrální rozšíření , pokud podskupina leží ve středu skupiny . $N$ $G$

Příklady

Skupiny jsou také rozšíření s . $\mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Zřejmým rozšířením je přímý produkt : if , then je rozšířením a . Jestliže je polopřímý součin skupin a ( ), pak je rozšíření s . $G=K\times H$ $G$ $H$ $K$ $G$ $K$ $H$ $G=K\rtimes H$ $G$ $H$ $K$

Výrobky věnců skupin uvádějí další příklady rozšíření.

Vlastnosti

Pokud to požadujeme a jsme abelovské grupy , pak množina tříd izomorfismu rozšíření grupy o danou (abelovskou) grupu je ve skutečnosti grupa, která je izomorfní k : $G$ $Q$ $Q$ $N$

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Ext funktor ). Některé další obecné třídy rozšíření jsou známy, ale neexistuje žádná teorie, která by zvažovala všechna možná rozšíření současně, v tomto smyslu je problém skupinového rozšíření obvykle považován za obtížný.

Protože každá konečná grupa má maximální normální podgrupu s jednoduchou faktorovou grupou , lze všechny konečné grupy sestrojit jako kompoziční řady , kde každá grupa je rozšířením o nějakou jednoduchou grupu . Tato skutečnost se stala jedním z důležitých podnětů pro řešení problému klasifikace jednoduchých konečných grup . $G$ $N$ $G/N$ $\{A_{i}\}$ $A_{{i+1}}$ $A_{i}$

Klasifikace rozšíření

Řešení problému rozšíření znamená klasifikovat všechna rozšíření skupiny pomocí , nebo přesněji vyjádřit všechna taková rozšíření v termínech matematických entit, které jsou v určitém smyslu jednodušší (snadno vypočítatelné nebo dobře srozumitelné). Obecně je tento úkol velmi obtížný a všechny nejužitečnější výsledky klasifikují rozšíření, která splňují některé další podmínky. $H$ $K$

Pro klasifikační problém je důležitým konceptem ekvivalence rozšíření; rozšíření se říká:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

jsou ekvivalentní (nebo kongruentní), pokud existuje skupinový izomorfismus, díkydiagram komutativní : $T:G\to G'$

Ve skutečnosti stačí mít skupinu homomorfismu. Kvůli předpokládané komutativitě diagramu je zobrazení nuceno být izomorfismem krátkým lemmatem na pěti homomorfismech .

Může se stát, že rozšíření a nejsou ekvivalentní, ale jsou izomorfní jako grupy. Například existují neekvivalentní rozšíření Kleinovy čtyřskupiny pomocí [4] , ale až do izomorfismu existují pouze čtyři skupiny řádu 8 obsahující podgrupu normálního řádu s kvocientovou grupou izomorfní ke Kleinově čtyřskupině . $1\to K\to G\to H\to 1$ $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ $G$ $G'$ $osm$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Triviální rozšíření

Triviální rozšíření je rozšíření:

1\to K\to G\to H\to 1

což je ekvivalentní rozšíření:

1\to K\to K\times H\to H\to 1

kde šipky doleva a doprava představují zahrnutí a projekci každého faktoru . $K\times H$

Klasifikace dělených nástavců

Rozdělené rozšíření je rozšíření:

1\to K\to G\to H\to 1

s homomorfismem tak, že přechod od do s a poté zpět na faktorovým mapováním krátké přesné sekvence generuje mapování identity na , to znamená . V této situaci se obvykle říká, že to rozdělí výše uvedenou přesnou sekvenci . $s\dvojtečka H\to G$ $H$ $G$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Rozdělení rozšíření lze velmi snadno klasifikovat, protože rozšíření je rozděleno tehdy a pouze tehdy, když je skupina polopřímým produktem a . Polopřímé součiny lze samy snadno klasifikovat, protože odpovídají homomorfismům jedna ku jedné , kde je skupina automorfismu . $G$ $K$ $H$ $H\to \operatorname {Aut} (K)$ $\operatorname {Aut} (K)$ $K$

Centrální expanze

Centrálním rozšířením skupinyje krátká přesná sekvence skupin $G$

1\to A\to E\to G\to 1

takové, které leží v ( středu skupiny ). Soubor tříd izomorfismu rozšíření centrální skupiny s (kde působí triviálně na ) je osobní korespondence s cohomologickou skupinou . $A$ $Z(E)$ $E$ $G$ $A$ $G$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Příklady centrálních rozšíření lze zkonstruovat tak, že vezmete libovolnou skupinu a jakoukoli abelovskou skupinu , nastavení rovné . Tento druh příkladu rozdělení (rozdělené rozšíření ve smyslu problému rozšíření, protože je podskupinou ) je málo zajímavý, protože odpovídá prvku v podle výše uvedené korespondence. Vážnější příklady se nalézají v teorii projektivních reprezentací v případech kde projektivní reprezentace nemohou být zvednuty k obyčejným lineárním reprezentacím . $G$ $A$ $E$ $A\times G$ $G$ $E$ $0$ $H^{2}(G,A)$

V případě konečných dokonalých grup existuje univerzální dokonalé centrální rozšíření .

Podobně centrálním rozšířením Lieovy algebry je přesná posloupnost $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

ten, který je uprostřed . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak {e))$

Existuje obecná teorie centrálních rozšíření u odrůd Maltsev [5] .

Skupiny lži

V teorii Lieových grup vznikají centrální rozšíření ve spojení s algebraickou topologií . Zhruba řečeno, centrální rozšíření Lieových grup o diskrétní grupy jsou stejné jako krycí grupy . Přesněji řečeno, spojený krycí prostor spojené Lieovy grupy je přirozeným centrálním rozšířením grupy s projekcí ${\displaystyle G^{\ast ))$ $G$ $G$

\pi \colon G^{*}\to G

je skupina homomorfismu a je surjektivní. (Struktura skupiny závisí na volbě mapování prvku identity na prvek identity .) Například, když je univerzální kryt skupiny , jádro je základní skupinou skupiny , o které je známo, že je abelovská. ( H-prostor ). Naopak, jestliže Lieova grupa a jednotlivá centrální podgrupa jsou dány , kvocientová grupa je Lieova grupa a je jejím krycím prostorem. ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ ${\displaystyle G^{\star ))$ $G$ $\pi$ $G$ $G$ $Z$ $G/Z$ $G$

Obecněji, jestliže grupy a v centrálním rozšíření jsou Lieovy grupy a zobrazení mezi nimi jsou homomorfismy Lieových grup, pak je-li Lieova algebra grupy , algebra je , a algebra je , pak je centrální rozšíření grupy Lieova algebra podle . V terminologii teoretické fyziky se generátory algebry nazývají centrální náboje . Tyto generátory leží ve středu algebry . Podle Noetherova teorému odpovídají generátory grup symetrie konzervovaným veličinám a nazývají se náboje . $A$ $E$ $G$ $G$ $\mathfrak g$ $A$ ${\mathfrak a}$ $E$ ${\mathfrak {e))$ ${\mathfrak {e))$ $\mathfrak g$ $\mathbf {a}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak {e))$

Základní příklady centrálních rozšíření jako krycích skupin:

spinorové grupy , které dvojitě pokrývají speciální ortogonální grupy , které (v sudé dimenzi) dvojnásobně pokrývají projektivní ortogonální grupu ;
metaplectic groups které pokrývají symplektické skupiny dvakrát .

Případ zahrnuje základní skupinu, která je nekonečnou cyklickou skupinou ; zde je centrální rozšíření dobře známé z teorie modulárních forem pro případ forem s váhou . Odpovídající projektivní reprezentace je Weylova reprezentace zkonstruovaná z Fourierovy transformace , v tomto případě na reálné ose . Metaplectic skupiny také se objeví v kvantové mechanice . $SL_{2}(\mathbf {R} )$ ${\tfrac {1}{2))$

Viz také

Rozšíření Lie Algebra
Prodloužení prstenu
Algebra Virasoro
Rozšíření HNN
Rozšíření topologické skupiny

Poznámky

↑ V obecné algebře se nejčastěji předpokládá , že rozšíření struktury je struktura , ve které je podstruktura, tedy konkrétně je definováno rozšíření pole ; ale v teorii grup (možná kvůli zápisu ) byla zavedena odlišná terminologie a důraz není kladen na , ale na kvocientovou skupinu , takže se má za to, že je rozšířena pomocí . $K$ $Rozrušený K$ $K$ $\operatorname {Ext} (Q,N)$ $N\subset G$ $Q$ $Q$ $N$
↑ Poznámka 2.2. . Získáno 15. března 2019. Archivováno z originálu dne 26. května 2019. (neurčitý)
↑ Brown, Porter, 1996 , str. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , str. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Literatura

David S. Dummit, Richard M. Foote. abstraktní algebra. - třetí edice. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homologie. — M .: Mir, 1966.
Taylor RL Pokrývající skupiny nespojených topologických skupin // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1994. - T. 115 . — s. 97–110 .
Brown R., Porter T. O Schreierově teorii neabelovských rozšíření: zobecnění a výpočty // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Centrální rozšíření v odrůdách Malt'sev // Teorie a aplikace kategorií. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Morandi PJ Group Extensions a $H^{3}$ .
Skupinová rozšíření . Názvy skupin . Datum přístupu: 14. června 2019. (neurčitý)